分類討論思想在高中數(shù)學解題中的應用

金傳朝

摘要：分類討論思想是當前數(shù)學解題應用十分廣泛的一種方式，其在處理復雜、綜合性問題中具有良好的效果，高中數(shù)學數(shù)學教師在教學中可以指引學生嘗試利用分類討論思想來解決問題，促進學生數(shù)學學習效果提升.

關(guān)鍵詞：分類討論思想；高中數(shù)學；解題

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2023）15-0044-03

很多時候，同一個題目有多種解題思路，在平常教學中教師就要特別注重指引學生將數(shù)學思想應用到解題過程中.分類討論思想的應用可以讓學生從更加簡單的角度來分析處理復雜數(shù)學問題.

1 高中數(shù)學解題中分類討論思想的應用價值

分類討論思想的應用大多是在綜合題目中，主要考查學生數(shù)學知識的應用能力，學生在解決這些問題時雖然通過強行計算也可以得出相應的答案，但是學生經(jīng)常會在計算中出現(xiàn)錯誤，從而影響到解題準確性.而分類討論思想的應用則可以讓學生更加輕松地對數(shù)學問題進行分析，在討論中得出正確的答案.對此在實際教學中，高中數(shù)學教師需要特別注重學生分類討論思想的應用，讓學生能借助分類討論的方法靈活地處理數(shù)學問題，促進學生學習效果提升.

2 高中數(shù)學解題中應用分類討論思想的基本原則

分類討論思想在數(shù)學解題中的應用可以幫助學生更好地轉(zhuǎn)變數(shù)學解題思維，對于學生解題能力提升十分有利.在實踐中高中數(shù)學教師應用分類討論思想引導學生解題時，還需要注意堅持相應的原則，主要包括：

一是堅持同一性原則，也就是在分類討論過程中，應該按照統(tǒng)一的標準對解題對象進行分類.分類討論思想應用中，明確研究對象是最基本的一個點，學生只有充分了解到研究對象的特征，才可以針對性地開展分類.同時在分類過程中需要注意選擇同一種屬性，避免在同一個組別中出現(xiàn)對象屬性交集的情況，為后續(xù)解決問題奠定基礎(chǔ).

二是堅持循序漸進原則.在分類討論中，如果遇到多次分類的狀況，則需要特別注意循序漸進，對研究對象逐層次的進行分類，這也需要學生保持思維清晰，不能忽視研究對象的某個屬性，避免出現(xiàn)分類討論失敗的情況.

3 分類討論思想在數(shù)學解題中的應用

3.1 在集合題中的應用

在高中數(shù)學教材中，集合是很重要的一個知識點，也是學生必須掌握的知識點.

例1已知集合A=-4，2a-1，a2，B=a-5，1-a，9，如果a∈R，9∈A∩B，求實數(shù)a的定值.

由于9∈A∩B，則可以判定9∈A，9∈B，那么2a-1=9或a2=9，從而得出a=5或a=±3，對a的情況進行分類討論：

當a=-3時，A=-4，-7，9，B=-8，4，9，符合題意；

當a=3時，A=-4，9，25，而B不滿足集合互異性要求；

當a=5時，A=-4，9，25，B=-8，4，9，符合題意.

綜上可得a=5或a=-3.

對于這類問題，相對比較簡單，學生通過分類討論可以很輕松地完成解題，需要注意的是教師要指引學生在完成解題后注重檢驗.

例2集合A=x|x2-x-2=0，B=x|x2+x+a=0，a∈R，A∪B=A，求實數(shù)a的取值范圍.

A=x|x2-x-2=0=-1，2，集合B是關(guān)于x的方程x2+x+a=0的解集，由于A∪B=A，得出BA，當B≠時，那么關(guān)于x的方程x2+x+a=0沒有實數(shù)根，Δ=1-4a＜0，即便a＞14，符合題意；當集合B中只有一個元素時，關(guān)于x的方程x2+x+a=0有兩個相等的實數(shù)根，Δ=1-4a=0，a=14，則B=x|x2+x+14=0=-12，集合B不是集合A的子集，不符合題意；當集合B中有兩個元素，即B=-1，2，關(guān)于x的方程x2+x+a=0有兩個根，分別是-1和2，由于-1+2=-1不成立，舍去；綜上可得a的取值范圍是14，+∞.

3.2 在函數(shù)問題中的應用

函數(shù)知識是高中數(shù)學的重難點知識之一，也是很多高中生在學習中最為頭痛的點.很多學生在學習中函數(shù)時，面對最值、單調(diào)性、極值等問題已經(jīng)感覺十分吃力，如果再加上參數(shù)問題，函數(shù)問題就會變得更加復雜，對此在實際教學中，便于學生能逐層次地解決問題.

例3函數(shù)s（x）=-12x2-ax+3x+2.x∈0，2a，a＞0，求函數(shù)s（x）的最大值M（a）.

在本題中，區(qū)間、對稱軸都涉及到參數(shù)，兩者的變化存在相互制約關(guān)系，因此在解題中必須對兩者的制約關(guān)系進行分類討論，討論標準是對稱軸位于區(qū)間的什么位置.

由于s（x）=-12x2-ax+3x+2=-12［x-（3-a）］2+12（3-a）2+2，對此可以將區(qū)間［0，2a］，a＞0看成是固定的，然后進行分類討論：

當0＜3-a＜2a，（a＞0），即0＜a＜1或2＜a＜3時，在區(qū)間［0，2a］中，函數(shù)s（x）先增后減，因此函數(shù)s（x）的最大值M（a）=s（3-a）=12（3-a）2+2；

當3-a＞2a，（a＞0），即1≤a≤2時，在區(qū)間［0，2a］中，函數(shù)s（x）是增函數(shù)，函數(shù)的最大值M（a）=s（2a）=-2a2+6a；

當3-a≤0，（a＞0），即a≥3，在區(qū)間［0，2a］中，函數(shù)s（x）是減函數(shù)，函數(shù)的最大值M（a）=s（0）=2；

綜上可得函數(shù)的最大值是M（a）=12（3-a）2+2，0＜a＜1或2＜a＜3;-2a2+6a，1≤a≤2;2，a≥3.

3.3 在一元二次不等式問題的應用

對于一元二次不等式的解法，與一元二次函數(shù)之間有比較緊密的聯(lián)系，在實際中，教師可以引導學生利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)處理一元二次不等式問題.需要注意的是在一元二次不等式解題中，經(jīng)常會將一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函數(shù)等三個“二次”放在一起應用，同時三者之間也有十分緊密的關(guān)系.

例4求關(guān)于x的不等式x2+（1-a）x-a＜0的解，已知a是常數(shù).

本題是一元二次不等式中比較簡單的情況，二次項系數(shù)沒有參數(shù)，不需要進行因式分解，但是兩個根中有參數(shù)，這也導致學生無法確定兩個根的大小關(guān)系，對圖像中零點位置確定造成了影響.因此在分類中需要學生根據(jù)兩個根的大小關(guān)系確立，即x1=x2、x1＜x2、x1＞x2三種狀況，在解題中學生可以根據(jù)二次函數(shù)圖像來得出一元二次不等式的解集.

在本題中，一元二次不等式可以等價為（x-a）（x+1）＜0，其對應的一元二次方程根是x1=-1，x2=a.

當a=-1時，x1=x2，原來的不等式解集是；

當a＞-1時，x1＜x2，原不等式的解集是x|-1＜x＜a；

當a＜-1時，x1＞x2，原不等式的解集是x|a＜x＜-1.

3.4 在導數(shù)問題中的應用

導數(shù)也是高中數(shù)學學習中的一個難點，在加入?yún)?shù)后題目會變得更加復雜，對參數(shù)進行分類討論又是高考中的一個?？键c.

例5求函數(shù)f（x）=ax2-a-lnx，（a∈R）的單調(diào)區(qū)間.

本題中導函數(shù)道德分子上二次函數(shù)屬于基本類型，含有一次項，需要注意的是二次項系數(shù)與0之間的大小關(guān)系，要對其進行分類討論.對于不含一次項的情況，則導函數(shù)兩個根時互為相反數(shù)，需要注意根是否在定義域中.

本題中函數(shù)的定義域是（0，+∞），f ′（x）=2ax-1x=2ax2-1x，

當a≤0時，f ′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）中單調(diào)遞減；

當a＞0時，設(shè)f ′（x）=0，可以得出x=12a或x=-12a（舍），令f ′（x）＞0，得出x＞12a；令f ′（x）＜0，得出0＜x＜12a；

因此可以得出當a≤0時，f（x）在0，12a上單調(diào)遞減；當a＞0時，f（x）在0，12a上單調(diào)遞減；在12a，+∞上單調(diào)遞增.

高中數(shù)學教師在組織學生解決數(shù)學問題時，需要結(jié)合學生的學習需求，靈活應用分類討論思想.讓學生能對問題進行分類探究，在逐層次思考中完成解題，提高學生的解題效率，促進學生學習效率的提升，強化學生的數(shù)學學習自信心.在實踐中，高中數(shù)學教師應該注重培養(yǎng)學生的分類討論思想，讓學生能學會用分類討論的方法處理問題.

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［責任編輯：李璟］