參數(shù)方程在圓錐曲線教學(xué)中的應(yīng)用

【摘要】本文論述參數(shù)方程知識對解決圓錐曲線問題的積極意義，分析參數(shù)方程知識與圓錐曲線知識的結(jié)合點，并通過高考真題、高三年級模擬試題的分析，闡述利用參數(shù)方程解決坐標(biāo)變換、橢圓的范圍、兩點間距離等問題的方法。

【關(guān)鍵詞】參數(shù)方程 圓錐曲線 教學(xué)應(yīng)用

【中圖分類號】G63 【文獻標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2023）11-0121-06

在高中階段，平面解析幾何包含直線與圓、圓錐曲線、坐標(biāo)系與參數(shù)方程等內(nèi)容。在高中數(shù)學(xué)教材中，直線與圓、圓錐曲線是平面解析幾何的主要內(nèi)容，參數(shù)方程則是選講內(nèi)容。雖然這幾部分內(nèi)容同屬于平面解析幾何知識，但在教材中的分布比較分散，且在高考中對參數(shù)方程知識的考查通常是通過選做題考查，這導(dǎo)致不少學(xué)生將參數(shù)方程知識與平面幾何知識割裂開來，尤其是在學(xué)習(xí)圓錐曲線知識時，不少學(xué)生不懂運用參數(shù)方程知識解決圓錐曲線的問題，致使學(xué)習(xí)效率低。因此，筆者認為，在圓錐曲線知識教學(xué)中，教師應(yīng)向?qū)W生詳細講解參數(shù)方程知識，從而促進學(xué)生數(shù)學(xué)聯(lián)想能力和解題能力的全面發(fā)展。

一、參數(shù)方程知識對解決圓錐曲線問題的積極意義

（一）參數(shù)方程在解決坐標(biāo)變換問題中的作用

坐標(biāo)變換問題是學(xué)習(xí)圓錐曲線知識的難點問題，解決這一問題的常規(guī)方法是相關(guān)點法，采用這個方法的難點如下：一為是設(shè)所求點為（x，y），還是設(shè)已知點為（x，y）；二為是用已知點的坐標(biāo)表示所求點的坐標(biāo)，還是用所求點的坐標(biāo)表示已知點的坐標(biāo)；三為容易與函數(shù)平移“左加右減，上加下減”的知識點混淆。

參數(shù)方程有一個區(qū)別于普通方程的重要特征：已知曲線參數(shù)方程的形式，可以得到曲線上點的坐標(biāo)的形式，即若曲線的參數(shù)方程為[x=f（t）y=g（t）]，則曲線上任意一點均可表示為（f（t），g（t））。也就是說，要確定曲線上某點的坐標(biāo)，只要確定這個點所對應(yīng)的參數(shù)值即可。因此，我們可以利用參數(shù)方程的這個重要特征解決坐標(biāo)變換問題，得出所求點的參數(shù)方程，再消去參數(shù)得到普通方程，這讓解題變得更為直觀且不易出錯。

（二）參數(shù)方程在解決兩個變量問題中的作用

圓和橢圓是圓錐曲線中常見的圖形，也是高考考查的熱點。圓的參數(shù)方程和橢圓的參數(shù)方程都可以利用平方關(guān)系“sin2[α]+cos2[α]=1”進行三角換元得到，因此用參數(shù)方程設(shè)出圓或橢圓上的點相較于用常規(guī)方法設(shè)點更為容易。

二、參數(shù)方程知識與圓錐曲線知識的結(jié)合點

在解決圓錐曲線問題時，采用常規(guī)方法會涉及兩個變量，這對學(xué)生來說無疑會增加解題難度。而參數(shù)方程只有一個變量，學(xué)生不用考慮多種不確定情形，就能有效減少出錯的情況。為了使學(xué)生更清楚參數(shù)方程與圓錐曲線的關(guān)系，筆者歸納出參數(shù)方程知識與圓錐曲線知識的四個結(jié)合點。

由以上四點可以看出，在一些與曲線參數(shù)方程的形式或幾何意義有關(guān)的問題中，使用參數(shù)方程設(shè)點，具有使問題變得直觀明了、減少運算量、提高正答率的作用。

三、運用參數(shù)方程知識解決圓錐曲線問題的策略

（一）利用參數(shù)方程解決坐標(biāo)變換的問題

由此可見，用參數(shù)方程解決坐標(biāo)變換問題，可大大降低錯誤率，并且在解題過程中不必考慮參數(shù)是否具有幾何意義。另外，我們還需要掌握常見的曲線方程化為參數(shù)方程的方法有三種：一是在圓、橢圓、雙曲線中利用平方關(guān)系進行三角換元；二是在直線方程中可令其中一個元為t，代入方程求解出另一個元；三是在拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，可令二次項為2pt，代入方程求解一次項，這樣可避免開方帶來的正負問題。

（二）利用參數(shù)方程解決橢圓的范圍問題

解決這道例題的常規(guī)方法是代入、消元，然后將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域問題，其難點是消元，易錯點是忽略[x0]的范圍。直接用橢圓的參數(shù)方程設(shè)點，然后將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域問題，并且在換元過程中不容易忽略范圍，從而避免了失誤。

（三）利用橢圓的參數(shù)方程和圓的參數(shù)方程解決兩點間距離的問題

由橢圓的參數(shù)方程和圓的參數(shù)方程的形式可知，橢圓或圓上任意一點都可以用只含有[α]的三角函數(shù)來表示，因此在解決兩點間距離的問題時，善用圓或橢圓的參數(shù)方程設(shè)點可減小運算量。教學(xué)操作要點如下：①根據(jù)題意用圓或者橢圓的參數(shù)方程設(shè)點；②代入兩點間距離公式。

由以上例子可見，由于橢圓和圓的參數(shù)方程都只有一個變量，用于設(shè)點解題可減少變量個數(shù)，從而減少運算量，提高解題正確率。在平時的教學(xué)中，教師要有意識地將橢圓或圓的參數(shù)方程和圓錐曲線聯(lián)系起來，拓寬學(xué)生的解題思路。

（四）利用直線的參數(shù)方程解決“有一個公共端點且共線的兩線段的長之和或積”的問題

以上三道例題的共同特點是：已知一條直線與圓錐曲線交于不同的兩點，所求為與兩線段的長之和或積相關(guān)，其中這兩條線段的一個共同端點為直線上一點（可已知可未知），另一個端點為直線與圓錐曲線的交點，有這個特征就可以用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義解題。解答過程中要求學(xué)生數(shù)形結(jié)合，注意直線所過定點是在圓錐曲線內(nèi)部還是外部，是否要求判別式大于0。

解析幾何是指用代數(shù)的方法研究幾何圖形的性質(zhì)，教師在教學(xué)過程中要幫助學(xué)生構(gòu)建完整的解析幾何的知識體系，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中也不能將選修4-4與整個解析幾何體系割裂開來。通過這樣的教學(xué)，可以使學(xué)生對參數(shù)方程及其中參數(shù)的幾何意義有充分的理解，加深學(xué)生對參數(shù)方程的理解，從而能夠充分發(fā)揮參數(shù)方程的解題優(yōu)勢，學(xué)會從參數(shù)方程的角度去審視問題，不斷增強思維的綜合性和靈活性，從而不斷提高解題的準(zhǔn)確率。

參考文獻

［1］課程教材研究所、中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究中心編著.坐標(biāo)系與參數(shù)方程［M］.北京：人民教育出版社，2005.

［2］李仕魁.一道極坐標(biāo)、參數(shù)方程視角下的橢圓高考題［J］.數(shù)理化解題研究，2022（1）.

作者簡介：張薇（1986— ），廣西合浦人，一級教師，主要研究方向為高中數(shù)學(xué)解題思想方法及教學(xué)策略。

（責(zé)編 蒙秀溪）