2023年高考“立體幾何”復(fù)習(xí)指導(dǎo)

劉才華 王俊嶺 王傳鋒

【摘要】本文首先給出2022年高考立體幾何命題分析，然后給出2023年高考備考的六個(gè)重點(diǎn)提醒：（1）重視幾何體中基本量的運(yùn)算；（2）重視以長(zhǎng)方體和球?yàn)檩d體的綜合題；（3）重視解答題的規(guī)范性；（4）重視動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題；（5）重視立體幾何和其它章節(jié)知識(shí)的融合；（6）重視數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)建模和跨學(xué)科知識(shí)在立體幾何中的滲透.

【關(guān)鍵詞】立體幾何；命題分析；重點(diǎn)提醒；規(guī)范性；動(dòng)態(tài)幾何；跨學(xué)科

立體幾何的研究對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系，是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考考查的主要內(nèi)容之一.課程標(biāo)準(zhǔn)在立體幾何學(xué)業(yè)要求上，有如下明確的要求：（1）能夠通過(guò)直觀圖理解空間圖形，掌握基本空間圖形及其簡(jiǎn)單組合體的概念和基本特征，解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；（2）能夠運(yùn)用圖形的概念描述圖形的基本關(guān)系和基本結(jié)果；（3）能夠證明簡(jiǎn)單的幾何命題（平行、垂直的性質(zhì)定理），并會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用；（4）能夠理解空間向量的概念、運(yùn)算、背景和作用；（5）能夠依托空間向量建立空間圖形及圖形關(guān)系的想象力；（6）能夠掌握空間向量基本定理，體會(huì)其作用，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用；（7）能夠運(yùn)用空間向量解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)用向量解決一類問(wèn)題的思路. 重點(diǎn)提升直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng)（見(jiàn)文［1］）.

12022年高考立體幾何命題分析

從2022年全國(guó)各套高考數(shù)學(xué)試題來(lái)看，立體幾何一般包括一至三道客觀小題，一道兩問(wèn)或三問(wèn)的主觀解答題，總分在22～27分之間，約占全卷總分的15%～18%，難度整體上相對(duì)保持穩(wěn)定，難易適中，分文理科的題目相同，順序微調(diào)，或者題干條件相同，問(wèn)題稍有區(qū)別，難度差逐漸縮小，有利于文理同卷的平穩(wěn)過(guò)渡. 客觀題以單項(xiàng)選擇題、多項(xiàng)選擇題或填空題呈現(xiàn)，除了涉及三視圖、空間圖形翻折、數(shù)學(xué)文化時(shí)給出圖形外，其它情形一般不給出圖形，主要考查畫圖、識(shí)圖和用圖的能力，側(cè)重于簡(jiǎn)單幾何體（柱、錐、臺(tái)，球）或簡(jiǎn)單組合體基本量的計(jì)算，相關(guān)性質(zhì)的考查等；主觀解答題以簡(jiǎn)單幾何體（柱、錐、臺(tái)）或不規(guī)則幾何體為載體，主要采用“一半證明、一半計(jì)算”相結(jié)合的模式，第一問(wèn)側(cè)重考查位置關(guān)系的證明，考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，第二問(wèn)側(cè)重度量關(guān)系的計(jì)算，以角或距離的運(yùn)算為主. 試題重點(diǎn)考查考生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理及數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng).

1.1新高考1卷

2022年“三小一大”（題4，8，9，19）.三小均無(wú)圖，分別以四棱臺(tái)、正四棱錐、球、正方體為載體，考查幾何體中基本量間的關(guān)系，四棱臺(tái)和四棱錐體積公式，異面直線所成角（實(shí)質(zhì)是垂直）和直線與平面所成角等，其中第8題是單項(xiàng)選擇壓軸題，較為綜合，集正四棱錐和球于一身，同時(shí)考查了導(dǎo)數(shù)在立體幾何中的應(yīng)用.解答題以直三棱柱為載體，第1問(wèn)利用等體積法求點(diǎn)到平面的距離；第2問(wèn)已知線段長(zhǎng)度間的關(guān)系，二面角的大小和平面與平面垂直，求二面角的正弦值.

新高考1卷近三年考查的共同點(diǎn)：（1）小題一般不給圖形；（2）都考查了垂直關(guān)系；（3）解答題第2問(wèn)條件都是已知線段長(zhǎng)度間的關(guān)系.

1.2新高考2卷

2022年“兩小一大”（題7，11，20）.第7題（無(wú)圖）以正三棱臺(tái)和球的組合體為載體，考查幾何體中基本量間的關(guān)系和球的表面積公式；第11題（有圖）以底面為正方形的不規(guī)則幾何體為載體，考查錐體的體積公式和體積間的關(guān)系；第20題以底面為直角三角形的三棱錐為載體，第1問(wèn)證明線面平行；第2問(wèn)已知角的大小和線段長(zhǎng)，求二面角的正弦值.

新高考2卷近三年考查的共同點(diǎn)：（1）小題一般不給圖形；（2）都考查了球；（3）解答題都是以錐體為載體.

1.3全國(guó)甲卷

2022年理科試卷“三小一大”（題4，7，9，18）.第4題已知三視圖求幾何體體積；第7題以長(zhǎng)方體為載體考查線段長(zhǎng)度間關(guān)系和直線與平面所成角（實(shí)質(zhì)上是長(zhǎng)方體體對(duì)角線與相交于同一個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)側(cè)面所成角的一個(gè)性質(zhì)）；第9題以圓錐為載體考查基本量間的關(guān)系，側(cè)面展開(kāi)圖，面積及體積間的關(guān)系；第18題是側(cè)棱與底面垂直，底面是等腰梯形的四棱錐，考查直線與直線垂直，直線與平面所成角的正弦值.

文科試卷小題同理科，第19題以底面為正方形的不規(guī)則幾何體為載體，考查直線和平面平行，幾何體的體積.

1.4全國(guó)乙卷

2022年理科試卷“兩小一大”（題7，9，18）.第7題以長(zhǎng)方體為載體考查平面與平面垂直，平面與平面平行；第9題以四棱錐和球體組合體為載體，考查體積最值問(wèn)題，不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；第18題以三棱錐為載體，考查平面與平面垂直，直線與平面所成角的正弦值，第2問(wèn)以三角形面積最小作為題目條件.

文科試卷“兩小一大”（題9，12，18）同理科，第18題以三棱錐為載體，考查平面與平面垂直，三棱錐的體積，第2問(wèn)以三角形面積最小作為題目條件.

1.5北京卷

2022年“一小一大”（題9，17）.第9題以正四面體為載體考查點(diǎn)的軌跡；第17題以三棱柱為載體，正方形面與平面垂直為條件，第1問(wèn)證明直線與平面平行，第2問(wèn)為結(jié)構(gòu)不良題型，從直線與直線垂直和兩條線段相等中選擇一個(gè)，求直線與平面所成角的正弦值.

1.6天津卷

2022年“一小一大”（題8，17）.第8題是一道應(yīng)用題，求組合體的體積；第17題以放倒的三棱柱為載體，第1問(wèn)證明直線與平面平行，第2問(wèn)求直線與平面所成角的正弦值，第3問(wèn)求二面角的余弦值.

1.7浙江卷

2022年“兩小一大”（題5，8，19）.第5題以三視圖為載體，考查組合體的體積；第8題以正三棱柱為載體，考查異面直線所成角，直線與平面所成角和二面角，比較三個(gè)角的大??；第19題以不規(guī)則幾何體為載體，二面角大小作為條件，求直線與平面所成角的正弦值.

1.8上海卷

2022年“兩小一大”（題5，15，17）.第5題以圓柱為載體，已知高和底面積求其側(cè)面積；第15題以正方體為載體，給出新定義，考查空間兩條直線的位置關(guān)系；第17題以三棱錐為載體，給出線段中點(diǎn)，直線和平面垂直，部分線段長(zhǎng)度，第1問(wèn)求其體積，第2問(wèn)求直線與平面所成角的大小.22023年考前重點(diǎn)提醒

對(duì)于2023年高考立體幾何備考，我們給出六個(gè)重點(diǎn)提醒：（1）重視幾何體中基本量的運(yùn)算；（2）重視以長(zhǎng)方體和球?yàn)檩d體的綜合題；（3）重視解答題的規(guī)范性；（4）重視動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題；（5）重視立體幾何和其它章節(jié)知識(shí)的融合；（6）重視數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)建模和跨學(xué)科知識(shí)在立體幾何中的滲透.供考前備考借鑒參考.說(shuō)明：下面的選擇題，沒(méi)有注明的題目為單項(xiàng)選擇題.

2.1重視幾何體中基本量的運(yùn)算

選擇簡(jiǎn)單幾何體或簡(jiǎn)單的組合體為載體，考查幾何圖形的概念、特征及基本元素之間的相互關(guān)系.對(duì)于不規(guī)則的組合體能進(jìn)行合理的分割或補(bǔ)體.

2.1.1以簡(jiǎn)單幾何體為載體的運(yùn)算

題1在正四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中，直線AA1與直線CC1所成角為π2，則直線AA1與BC所成角為（）.

A.π2B.π3C.π4D.π6

題2已知圓錐的頂點(diǎn)為S，其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半徑為2，角度為3π的扇形.過(guò)兩條母線SA，SB作截面得到△SAB，則△SAB的面積最大值為（）.

A.2 B.3C.4D.23

題3（多項(xiàng)選擇題）已知四邊形ABCD是等腰梯形（如圖1-1），AB=3，CD=1，∠BAD=45°，DE⊥AB.將△ADE沿DE折起，使得AE⊥EB（如圖1-2），連結(jié)AC，AB，設(shè)F是AB的中點(diǎn).下列結(jié)論中正確的是（）.

A.CF∥平面ADE

B.AD⊥BC

C. 點(diǎn)F到平面AEC的距離為22

D.四面體AECB的外接球的體積為5π6

2.1.2以組合體為載體的運(yùn)算

題4底角為60°的等腰梯形中，O1，O為上、下底邊的中點(diǎn)，上、下底邊長(zhǎng)分別為4，8.現(xiàn)在以直線OO1為軸旋轉(zhuǎn)形成一個(gè)圓臺(tái)，過(guò)線段OO1的中點(diǎn)作平行底面的截面，以該截面為底面挖去一個(gè)圓柱，此圓柱的下底面在圓臺(tái)的下底面上，則所得圓柱與原圓臺(tái)的體積之比為（）.

A.2∶1B. 5∶3C.27∶56D.9∶16

題5某種建筑物是由一個(gè)半徑為2米的半球體挖去一個(gè)正四棱錐而成的幾何體，正四棱錐的頂點(diǎn)在半球面上，底面內(nèi)接于半球底面的大圓面，則該建筑物的表面積為平方米（π=3.14，3=1.73）.

2.2重視以長(zhǎng)方體和球?yàn)檩d體的綜合題

長(zhǎng)方體（或正方體）和球是學(xué)生最熟悉的幾何體，雖然它們結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，但卻具有豐富的幾何性質(zhì).借助長(zhǎng)方體（或正方體）和球，能夠較好地認(rèn)識(shí)和理解空間點(diǎn)、直線和平面間的位置關(guān)系和度量關(guān)系.幾何體中融入球后，可以使得幾何問(wèn)題綜合性和靈活性更強(qiáng)，更好地考查學(xué)生直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2.2.1以長(zhǎng)方體（或正方體）為載體的綜合題

題6（多項(xiàng)選擇題）在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，E為線段A1D1的中點(diǎn)，P為側(cè)面CD1的中心，AB=1，BC=2，BB1=1，則（）.

A.BE⊥CB1B.PE∥平面A1B1C

C.P到平面A1CD 的距離為63

D.B，C，P，E四點(diǎn)共面

題7（多項(xiàng)選擇題）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知E為線段CB1的中點(diǎn)，點(diǎn)F和點(diǎn)P分別滿足FD1=λC1D1，PD1=μBD1，其中λ，μ∈［0，1］，則下列說(shuō)法正確的是（）.

A.當(dāng)λ=12時(shí)，三棱錐P-EFD的體積為定值

B.當(dāng)μ=12時(shí)，四棱錐P-ABCD的外接球的表面積是3π4

C．PE+PF的最小值為526

D．存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)（λ，μ），使得PE⊥平面PDF

題8在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段A1B1的中點(diǎn).若點(diǎn)B到直線AC1的距離為63，則直線CM到平面ANC1的距離為.

2.2.2以球?yàn)檩d體的綜合題

一般地，在解答與球相關(guān)的問(wèn)題時(shí)不需要畫球，關(guān)鍵是定球心的位置和球的半徑長(zhǎng)，將球的問(wèn)題化歸為由球心和其它點(diǎn)組成的多面體問(wèn)題再解答，此時(shí)要用好球中垂徑定理.確定球心的方法有：（1）球心為幾何體中最長(zhǎng)棱的中點(diǎn)；（2）將幾何體嵌入到長(zhǎng)方體（或正方體）中，球心為長(zhǎng)方體（或正方體）的體對(duì)角線的中點(diǎn)；（3）過(guò)幾何體兩個(gè)面的外心作對(duì)應(yīng)平面的垂線，球心為兩條垂線的交點(diǎn)；（4）建立空間直角坐標(biāo)系，布列關(guān)于球心坐標(biāo)的方程組，通過(guò)解方程組確定球心；（5）正棱（圓）柱、（圓）錐、（圓）臺(tái)的球心都在其對(duì)應(yīng)的高線上.

題9如圖2，直三棱柱ABC-A1B1C1的六個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)半球面上，AB=AC，側(cè)面BCC1B1是半球底面圓的內(nèi)接正方形，若側(cè)面ABB1A1的面積為2，則球的表面積為（）.

A. 2π B. 4πC. 2π D.22π

題10如圖3，四邊形ABCD為正方形，四邊形BDEF為矩形，且平面ABCD與平面BDEF互相垂直. 若多面體ABCDEF的外接球的體積為43π，則多面體ABCDEF的體積的最大值為（）.

A.33B.23C.433D.163

題11在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段BC的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ADE，△BEF和△CDF分別沿DE，EF和DF折起，使得A，B，C三點(diǎn)重合于一點(diǎn)G，則三棱錐G-DEF的外接球的的表面積為；三棱錐G-DEF的內(nèi)切球的體積為.

2.3重視解答題的規(guī)范性

立體幾何解答題通常以簡(jiǎn)單幾何體（柱、錐、臺(tái)）或不規(guī)則幾何體為載體，難度適中，重點(diǎn)考查考生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理及數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng).在審題時(shí)要學(xué)會(huì)“庖丁解?！保^察好幾何體紋理結(jié)構(gòu)后再動(dòng)手. 解題過(guò)程要使用準(zhǔn)確的符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)，在解答證明題型時(shí)，要重視平面幾何或解三角形等知識(shí)在幾何體某個(gè)面上的應(yīng)用，說(shuō)理時(shí)要寫全條件；在解答計(jì)算題型時(shí)要分析是采用幾何方法還是向量方法.

2.3.1以棱柱為載體的解答題

題12如圖4，三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面ACC1A1為邊長(zhǎng)是2的菱形，AB=BC，頂點(diǎn)A1在底面ABC上的射影為線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)A到平面BCC1B1的距離為2155.

（1）求出線段AB的長(zhǎng)度；

（2）求直線CB1與平面ABB1A1所成角的余弦值.

2.3.2以棱錐為載體的解答題

題13如圖5，已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2CD，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，△PAD為正三角形.

（1）證明：平面PAB⊥平面PBC.

（2）求直線PB與平面PAC所成角的正弦值.

2.3.3以棱臺(tái)為載體的解答題

題14如圖6，三棱臺(tái)ABC-A1B1C1中，AB=2，AC=4，A1C1=2.AB1與BA1相交于E，AC1與CA1相交于F，連接EF.

（1）證明：EF∥B1C1；

（2）若AA1⊥底面ABC， AA1=3，直線A1C1與BC所成角為30°，求二面角A-EF-C的正弦值.

2.3.4以圓柱為載體的解答題

題15如圖7，矩形ABCD是圓柱的軸截面，O為下底面的圓心，且AD=3，AB=2.點(diǎn)E在⊙O上，∠ABE=30°，EF=λFD（λ>0）.

（1）當(dāng)λ=13時(shí)，證明：AF⊥BD；

（2）若二面角A-OF-E的余弦值為15，請(qǐng)求出λ的值.

2.3.5以圓錐（或圓臺(tái)）為載體的解答題

題16如圖8，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，直線CP⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別為線段PA，PC的中點(diǎn).設(shè)平面BAC與平面BEF的交線為直線l.

（1）證明：l∥平面PAC且l⊥平面PBC；

（2）請(qǐng)從下列兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件，求二面角A-l-E的正切值.

①AB=PC=4，三棱錐C-PAB的體積取得最大值;

②AB=PC=4，S△PAC+S△PBC取得最大值.（注：如果選擇兩個(gè)條件分別解答，按照第一個(gè)解答記分）

2.3.6以不規(guī)則幾何體為載體的解答題

題17如圖9，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC ，AB=BC=2AD.矩形CDEF⊥平面ABCD.

（1）若點(diǎn)P在直線BE上，滿足BP=λPE，是否存在實(shí)數(shù)λ，使得AP∥DF？若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）若AD=ED，求出平面ADE與平面BEF夾角的正切值.

2.4重視動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題

動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題是由空間點(diǎn)、直線、平面的平移或旋轉(zhuǎn)而形成的問(wèn)題，包括：（1）定值問(wèn)題（體積、面積、角、距離等）；（2）定性問(wèn)題（平行、垂直等）；（3）范圍問(wèn)題（最值、范圍、大小等）；（4）軌跡問(wèn)題等.在解答此類問(wèn)題時(shí)，要理清運(yùn)動(dòng)前后度量關(guān)系和位置關(guān)系的變化情況，對(duì)于定值、定性與軌跡問(wèn)題常常和概念、性質(zhì)等知識(shí)相關(guān)；對(duì)于范圍問(wèn)題常常和函數(shù)、不等式等知識(shí)相關(guān).

2.4.1點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)

題18（多項(xiàng)選擇題）在棱長(zhǎng)均為4的正三棱柱ABC-A1B1C1中，D為棱AA1的中點(diǎn)，P，Q分別為棱BB1和棱CC1上的動(dòng)點(diǎn)，滿足BP+CQ=4，則（）.

A. 三棱錐A-DPQ的體積為定值

B.平面DPQ⊥平面BCB1C1

C. 存在某個(gè)位置，使得PD⊥QD

D.平面DPQ與平面ABC所成銳二面角的最大值為45°

題19（多項(xiàng)選擇題）正方形ABCD和正方形CDEF所在的平面互相垂直，Γ1是正方形ABCD的邊界及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，Γ2是正方形CDEF的邊界及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，AB=2，則（）.

A.P∈Γ1，Q∈Γ2，使得BQ∥EP

B.P∈Γ1，Q∈Γ2，PQ的最大值為4

C.P∈Γ1，Q∈Γ2，使得直線BQ和直線EP所成角為45°

D.P∈Γ1，Q∈Γ2，使得BQ⊥EP

題20（多項(xiàng)選擇題）已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=4，AA1=2，動(dòng)點(diǎn)P在上底面A1B1C1D1邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q為棱AA1的中點(diǎn)，則（）.

A.若PQ與平面ABCD 所成角為60°，則點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度為33π

B.若直線PB與平面ABCD所成角等于二面角P-AD-B的大小，則點(diǎn)P的軌跡在一條拋物線上

C. AP+PC的最小值為26

D.若AP∥平面BDC1，直線AP與BD 所成角為θ，則cosθ的范圍為0，105

2.4.2平面的平移運(yùn)動(dòng)

題21（多項(xiàng)選擇題）在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，動(dòng)平面α∥平面CB1D1，則（）.

A.若α與此正方體的截面為三角形，則三角形一定為銳角三角形

B.若α與此正方體的截面為三角形，則三角形的面積不可能為 23

C.若α∩平面 ABCD=a，α∩平面 ABB1A1=b，則a與b所成角為π3

D.α截此正方體所得截面面積的最大值為33

2.4.3平面的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)

題22（多項(xiàng)選擇題）在矩形ABCD中，AB=2AD=4，M為線段AB的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ADM以直線MD為軸旋轉(zhuǎn)，構(gòu)成四棱錐P-BCDM，N為線段PC的中點(diǎn)，則（）.

A. BN ∥平面PMD

B. 存在某個(gè)位置，使得PC⊥MD

C.存在某個(gè)位置，使得CM⊥PD

D.點(diǎn)P在半徑為2的圓周上運(yùn)動(dòng)

2.5重視立體幾何和其它章節(jié)知識(shí)的融合

近年來(lái)高考試題重視由知識(shí)立意向能力、素養(yǎng)轉(zhuǎn)化，在知識(shí)的交匯處精心設(shè)計(jì)試題，綜合考查考生的分析問(wèn)題、探究問(wèn)題、運(yùn)用知識(shí)創(chuàng)新解決問(wèn)題的能力.立體幾何在高中數(shù)學(xué)中有非常好的“人緣”，和其它章節(jié)知識(shí)都能“合得來(lái)”，以幾何體為載體考查其它章節(jié)知識(shí)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)間的綜合聯(lián)系.

題23有一種透明的裝飾品，其形狀大致是由一個(gè)正四棱錐和其外接球組成.現(xiàn)有邊長(zhǎng)為2的正方形，經(jīng)如圖10所示的方式裁剪后，做成這種裝飾品，則該裝飾品外接球的表面積的最小值為（）.

A. 23π9B.43π9

C.? （8－43）πD. （8－23）π

題24在下列空白處，填寫適當(dāng)?shù)姆?hào)語(yǔ)言，使其為真命題.命題：在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，CB=CC1，若，則CA1⊥平面BDC1.

題25已知AB是圓臺(tái)的底面直徑，M是圓臺(tái)母線AD的中點(diǎn)，AB=8，上底面半徑為2，AD=4，點(diǎn)N在下底面圓周上，且∠ABN=30°，則M、N兩點(diǎn)在圓臺(tái)表面上所連線長(zhǎng)的最小值為.

題26從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)能構(gòu)成三棱錐的概率為.

2.6重視數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)建模和跨學(xué)科知識(shí)在立體幾何中的滲透

我們生活在一個(gè)三維空間中，創(chuàng)設(shè)生活實(shí)踐情景，將實(shí)際問(wèn)題抽象成一個(gè)立體幾何問(wèn)題，或者選取古代著名的具有美學(xué)價(jià)值的建筑物等方式，考查考生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)，在解決問(wèn)題中深入體會(huì)感悟數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的重要意義.

題27某學(xué)校修建有一個(gè)“勵(lì)志亭”，該亭的外形近似看作是一個(gè)緊密相連的組合體，其中上面是一個(gè)正六棱錐，下面是一個(gè)正六棱柱，六棱柱的上底面和六棱錐的底面重合.若正六棱柱兩條相對(duì)側(cè)棱所在的軸截面為正方形，且正六棱錐的高是正六棱柱的高的一半，則正六棱錐與正六棱柱的側(cè)面積之比為（）.

A.2∶1B.3∶2

C.5∶4D.7∶8

題28對(duì)24小時(shí)內(nèi)降水在平地上單位面積的積水厚度（mm）進(jìn)行如下規(guī)定：

積水厚度區(qū)間［0.1，

10.0）［10.0，

25.0）［25.0，

50.0）［50.0，

100.0）級(jí)別小雨中雨大雨暴雨如圖11，高一6班一位同學(xué)用一個(gè)圓臺(tái)形容器接了24小時(shí)雨水，則這天的降雨屬于哪個(gè)等級(jí)（）.

A．小雨B．中雨C．大雨D．暴雨

題29（多項(xiàng)選擇題）如圖12，街心花園里有多個(gè)石凳，每個(gè)石凳都是這樣的幾何體：將正方體沿交于同一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共可截去八個(gè)三棱錐，得到一個(gè)新的多面體.則下列結(jié)論正確的是（ ）.

A. 該多面體共有24條棱

B.直線PB與直線EH異面

C.異面直線BC和FN所成角為π3

D.平面PAB與平面PEF所成的銳二面角的余弦值為13

題30現(xiàn)有兩個(gè)容器，甲容器是軸截面為正方形的圓柱形容器，正方形邊長(zhǎng)為20cm；乙容器是圓錐形容器，錐頂向下，底面直徑為403cm，高度為20cm.若將甲容器注滿水，并將甲容器中一部分水，倒入乙容器中，使得兩個(gè)容器的水面高度相同，則此時(shí)水面的高度為cm.

參考答案

1.B；2.A；3.AC；4.C；5.43.52；6.ABD；7.ACD；

8.66；9.B；10.D；11.6π，π48；12.（1）AB=2；（2）155；

13.（1）略；（2）64；14.（1）略；（2）32114；15.（1）略；（2）1；16.（1）略；（2）①22；②22；17.（1）1；（2）25；18.ABD；19.AC；20.BD；21.ACD；22.ACD；23.B；

24.CB=CD且∠BCC1=∠DCC1=∠BCD，答案不唯一; 25.225－123;26.2935;27.D;28.B；29.ACD；30.10.

參考文獻(xiàn)

［1］中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.5.

［2］教育部考試中心.創(chuàng)設(shè)情境發(fā)揮育人作用深化基礎(chǔ)考查核心素養(yǎng)——2022年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷試題評(píng)析［J］.中國(guó)考試，2022（07）：14-19.

作者簡(jiǎn)介

劉才華（1969—），男，山東寧陽(yáng)人，中學(xué)高級(jí)教師，泰山名師，泰安市優(yōu)秀教師；研究方向?yàn)槌醯葦?shù)學(xué)研究和高中數(shù)學(xué)教學(xué)；發(fā)表論文200余篇.

王俊嶺（1975—），女，山東寧陽(yáng)人，中學(xué)一級(jí)教師，泰安市教學(xué)工作先進(jìn)個(gè)人，泰安市學(xué)科能力大賽特等獎(jiǎng)，寧陽(yáng)縣優(yōu)秀教師；研究方向?yàn)楦咧袛?shù)學(xué)教學(xué).

王傳鋒（1974—），男，山東寧陽(yáng)人，中學(xué)高級(jí)教師，山東省優(yōu)秀班主任，泰安市教學(xué)管理先進(jìn)個(gè)人，泰山英才教師;研究方向?yàn)楦咧袛?shù)學(xué)教學(xué).