2023年高考“概率統(tǒng)計(jì)”復(fù)習(xí)指導(dǎo)

魯和平 孫洪梅

【摘要】本文對(duì)2022年高考數(shù)學(xué)的“概率統(tǒng)計(jì)”試題作出了全面深入的分析，對(duì)2023年高考數(shù)學(xué)的“概率統(tǒng)計(jì)”試題命題趨勢(shì)作了初步的估計(jì)和預(yù)測(cè).按照考思維考素養(yǎng)的原則出發(fā)，深刻領(lǐng)會(huì)“無(wú)情境不出題”“無(wú)創(chuàng)新不成題”的精神，編擬了“概率統(tǒng)計(jì)”題目，供大家專題復(fù)習(xí)選用.

【關(guān)鍵詞】高考試題；概率統(tǒng)計(jì)；情境；創(chuàng)新

12022年高考回顧和2023年高考分析

1.12022年“概率統(tǒng)計(jì)”試題特點(diǎn)分析

（1）題型穩(wěn)定，題量穩(wěn)定.選填題1—2道，解答題1道，分值17—22分.重點(diǎn)考查了古典概型、排列組合（相鄰問(wèn)題）、正態(tài)分布、條件概率、頻率直方圖、期望、對(duì)立事件.

（2）情境真實(shí)，立德樹人.概率統(tǒng)計(jì)融合真實(shí)情境，是立德樹人的重要考查載體.如全國(guó)甲卷第2題的“垃圾分類”；全國(guó)乙卷第19題“荒山改造成綠水青山”；新高考Ⅰ卷的“地方性疾病防治與衛(wèi)生習(xí)慣”.

（3）信息量大，綜合性強(qiáng).概率統(tǒng)計(jì)試題閱讀量大，需要提取信息再對(duì)信息加工分析，對(duì)學(xué)生的綜合能力要求高.

1.22022年“概率統(tǒng)計(jì)”試題考查問(wèn)題分析

（1）樣本估計(jì)總體的思想.主要以頻率分布直方圖、折線圖、雷達(dá)圖、條形圖、餅圖等圖表為載體，考查學(xué)生數(shù)據(jù)處理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

（2）隨機(jī)事件的概率.主要考查的知識(shí)點(diǎn)：用頻率估計(jì)概率，古典概型，條件概率和全概率公式，互斥事件，對(duì)立事件，相互獨(dú)立事件.

（3）隨機(jī)事件及其分布列.主要考查二項(xiàng)分布、超幾何分布、正態(tài)分布.

（4）成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析.主要考查成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)習(xí)慣性，一元線性回歸模型及其應(yīng)用，列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn).

1.32022年“概率統(tǒng)計(jì)”試題立意分析

（1）立德樹人，五育并舉，滲透社會(huì)主義核心價(jià)值觀.

（2）考查概率統(tǒng)計(jì)的基本思想方法和學(xué)科核心素養(yǎng).

（3）注重生活背景，體現(xiàn)科技創(chuàng)新、中外優(yōu)秀文化、經(jīng)濟(jì)建設(shè)成果、跨學(xué)科整合，突出數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.

1.4結(jié)合《中國(guó)高考報(bào)告2023》［1］，2023年“概率統(tǒng)計(jì)”命題趨勢(shì)分析

預(yù)計(jì)選填題（1—2道）和解答題（1道），總分值為17—22分.

（1）加強(qiáng)基本概念和基本的概率統(tǒng)計(jì)思想的考查.

（2）重視學(xué)生在復(fù)雜情境下，提取數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)及分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力.

（3）高度重視數(shù)學(xué)建模、讀圖識(shí)圖能力的考查.

（4）注重與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式、數(shù)列等知識(shí)的密切融合.

1.52023年高考（重點(diǎn)、難點(diǎn)、熱點(diǎn)）透視

重點(diǎn)：（1）古典概率；事件的相互獨(dú)立性；對(duì)立事件、條件概率；全概率公式.

（2）離散型隨機(jī)變量的分布列；期望與方差.

（3）二項(xiàng)分布；超幾何分布；正態(tài)分布.

（4）各種統(tǒng)計(jì)圖表的數(shù)據(jù)分析.

（5）2×2列聯(lián)表；獨(dú)立性檢驗(yàn).

難點(diǎn)：（1）條件概率.

（2）超幾何分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系.

（3）數(shù)據(jù)分析中平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、百分位數(shù)的含義及區(qū)別.

（3）遞推數(shù)列型概率；建立函數(shù)模型用導(dǎo)數(shù)法求解概率問(wèn)題

熱點(diǎn)：（1）古典概率；對(duì)立事件；事件和的概率 .

（2）條件概率.

（3）獨(dú)立性檢驗(yàn).

（4）在復(fù)雜情境中分析數(shù)據(jù)，提出決策依據(jù)和風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估.

22023年高考知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)試題

一、選擇（1—12為單選，13—18為多選）

1.（本題考查古典概型概率的計(jì)算）《周易》是我國(guó)古代漢民族思想與智慧的結(jié)晶，被譽(yù)為“大道之源”.其中的八卦（即乾卦、坤卦、震卦、巽卦、坎卦、離卦、艮卦、兌卦）蘊(yùn)含深?yuàn)W的哲理，所謂“太極生兩儀（即陰陽(yáng)），兩儀生四象（即少陽(yáng)，太陽(yáng)，少陰，太陰），四象演八卦.每卦由3爻自下而上組成，稱為3爻卦，爻分陽(yáng)爻和陰爻，分別用基本符號(hào)“”和“”表示：每?jī)韶宰韵露席B加為六十四重卦，如由坤卦：和乾卦：自下而上疊加為一重卦：.現(xiàn)從所有的重卦中任取一卦，則其上卦為乾卦且下卦中至多含有一個(gè)陰爻的概率是（）.

A.12B. 18C. 116D. 364

2.（本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用）為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：

根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（）.

A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%

B. 該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%

C. 估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過(guò)6.5萬(wàn)元

D. 估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間

3.（本題考查條件概率的計(jì)算，二項(xiàng)分布的方差，超幾何分布的概率計(jì)算）已知袋子中有a個(gè)紅球和b個(gè)藍(lán)球，現(xiàn)從袋子中隨機(jī)摸球，則下列說(shuō)法正確的是（）.

A.每次摸1個(gè)球，摸出的球觀察顏色后不放回，則第2次摸到紅球的概率為ba+b

B. 每次摸1個(gè)球，摸出的球觀察顏色后不放回，則第1次摸到紅球的條件下，第2次摸到紅球的概率為a（a-1）（a+b）（a+b-1）

C. 每次摸出1個(gè)球，摸出的球觀察顏色后放回，連續(xù)摸n次后，摸到紅球的次數(shù)X的方差為naa+b

D. 從中不放回摸n（n≤a）個(gè)球，摸到紅球的個(gè)數(shù)x=k的概率是P（X=k）=CkaCn-kbCna+b

4.（本題考查二項(xiàng)分布、正態(tài)分布的有關(guān)知識(shí)）下列命題中，不正確的命題是（）.

A.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，則p=23

B. 已知P（BA）=0.34，P（B）=0.71，則P（BA）=0.37

C. 設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（0，1），若P（ξ>1）=p，則P（-1<ξ<0）=12-p

D. 某人在10次射擊中，擊中目標(biāo)的次數(shù)為X，X～B（10，0.8），則當(dāng)X=8時(shí)概率最大

5.（本題考查平均數(shù)、方差的性質(zhì)以及樣本數(shù)據(jù)中的最大值的求法）水痘是一種傳染性很強(qiáng)的病毒性疾病，易在春天爆發(fā)．市疾控中心為了調(diào)查某校高一年級(jí)學(xué)生注射水癥疫苗的人數(shù)，在高一年級(jí)隨機(jī)抽取5個(gè)班級(jí)，每個(gè)班抽取的人數(shù)互不相同，若把每個(gè)班級(jí)抽取的人數(shù)作為樣本數(shù)據(jù)．已知樣本平均數(shù)為7，樣本方差為4，則樣本數(shù)據(jù)中的最大值是（）．

A.11B.10C.8D. 9

y1y2x1acx2bd6.（本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)）為直觀判斷兩個(gè)分類變量X和Y之間是否有關(guān)系，若它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，通過(guò)抽樣得到如右表，則下列哪兩個(gè)比值相差越大，可判斷兩個(gè)分類變量之間的關(guān)系應(yīng)該越強(qiáng)（）.

A.ab+d與ba+c B. aa+b與cc+d

C. ac+d與ba+bD. aa+d與bb+c

7.（本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用）在對(duì)吸煙與患肺病這兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)中，下列說(shuō)法正確的序號(hào)是（）.

（參考數(shù)據(jù)：p（χ2≥6.635）=0.01）

A.若χ2的觀測(cè)值滿足χ2≥6.635，我們有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病沒(méi)有關(guān)系

B. 若χ2的觀測(cè)值滿足χ2≥6.635，那么在100個(gè)吸煙的人中約有99人患有肺病

C. 從獨(dú)立性檢驗(yàn)可知，如果有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系時(shí)，那么我們就認(rèn)為：每個(gè)吸煙的人有99%的可能性會(huì)患肺病

D. 從統(tǒng)計(jì)量中得知有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系時(shí)，是指有1%的可能性使推斷出現(xiàn)錯(cuò)誤

8．（本題考查相關(guān)系數(shù)、線性回歸直線方程等）下列命題中不正確的是（）.

A．在回歸分析中，相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)

B．對(duì)分類變量X與Y，它們的隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k越小，說(shuō)明“X與Y有關(guān)系”的把握越大

C．線性回歸直線=x+恒過(guò)樣本中心，

D．在回歸分析中，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好

9．（本題考查超幾何分布、古典概型）袋中有6個(gè)大小相同的黑球，編號(hào)為1，2，3，4，5，6，還有4個(gè)同樣大小的白球，編號(hào)為7，8，9，10，現(xiàn)從中任取4個(gè)球，則下列結(jié)論中正確的是（）.

①取出的最大號(hào)碼X服從超幾何分布；

②取出的黑球個(gè)數(shù)Y服從超幾何分布；

③取出2個(gè)白球的概率為114；

④若取出一個(gè)黑球記2分，取出一個(gè)白球記1分，則總得分最大的概率為114.

A．①②B．②④C．③④D．①③④

10．（本題考查條件概率、全概率公式）甲箱中有4個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙箱中有3個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球，先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，分別以A1，A2和A3分別表示由甲箱取出的球是紅球、白球和黑球的事件；再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出一球，以B表示由乙箱取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論正確的是（）.

A．事件B與事件Ai（i=1，2，3）相互獨(dú)立

B．P（A1B）=845

C．P（B）=13

D．P（A2|B）=431

11．（本題考查數(shù)據(jù)的數(shù)字特征）根據(jù)氣象學(xué)上的標(biāo)準(zhǔn)，連續(xù)5天的日平均氣溫低于10℃即為入冬，將連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是自然數(shù)）作為一組樣本，現(xiàn)有4組樣本①、②、③、④，依次計(jì)算得到結(jié)果如下：

①平均數(shù)<4；

②平均數(shù)<4且極差小于或等于3；

③平均數(shù)<4且標(biāo)準(zhǔn)差s≤4；

④眾數(shù)等于5且極差小于或等于4．

則4組樣本中一定符合入冬指標(biāo)的共有（）.

A．1組B．2組C．3組D．4組

12．（本題考查中位數(shù)和方差的定義與應(yīng)用）第24屆冬季奧運(yùn)會(huì)于2022年2月4日至20日在北京舉行，中國(guó)代表團(tuán)取得了9枚金牌，4枚銀牌，2枚銅牌的歷史最好成績(jī).已知六個(gè)裁判為某一運(yùn)動(dòng)員這一跳的打分分別為95，95，95，93，94，94，評(píng)分規(guī)則為去掉六個(gè)原始分中的一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，剩下四個(gè)有效分的平均數(shù)即為該選手的本輪得分.設(shè)這六個(gè)原始分的中位數(shù)為a，方差為s2；四個(gè)有效分的中位數(shù)為a1，方差為s21.則下列結(jié)論正確的是（）.

A．a(chǎn)≠a1，s21

C．a(chǎn)=a1，s2

13.（本題考查數(shù)據(jù)的離散程度）下列統(tǒng)計(jì)量中，能度量樣本x1，x2，…，xn的離散程度的是（）.

A．樣本x1，x2，…，xn的極差

B．樣本x1，x2，…，xn的中位數(shù)

C．樣本x1，x2，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差

D．樣本x1+1，x2+1，x3+1，…，xn+1的方差

14．（本題考查線性回歸方程的應(yīng)用）已知由樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)集合{（xi，yi）|i=1，2，…，n}，求得回歸直線方程為=2x－1，且=3，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)（2.2，3.3）和（3.8，6.7）誤差較大，去除后重新求得的回歸直線l的斜率為1.2，則（）.

A．變量x與y具有正相關(guān)關(guān)系

B．去除后的回歸方程為=1.2x+1.4

C．去除后y的估計(jì)值增加速度變慢

D．去除后相應(yīng)于樣本點(diǎn)（2.5，4）的殘差為0.4

15．（本題考查概率的性質(zhì)）已知事件A，B，C，且P（A）=0.5，P（B）=0.3，則下列結(jié)論正確的是（）.

A．如果P（A∪B∪C）=1，那么P（C）=0.2

B．如果A與B互斥，那么P（A∪B）=0.8，P（AB）=0

C．如果BA，那么P（A∪B）=0.5，P（B|A）=0.6

D．如果A與B相互獨(dú)立，那么P（A∪B）=0.65，P（）=0.35

16．（本題考查獨(dú)立事件和二項(xiàng)分布）在某獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，事件A，B相互獨(dú)立，且在一次實(shí)驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為p，事件B發(fā)生的概率為1－p，其中p∈（0，1）.若進(jìn)行n次實(shí)驗(yàn)，記事件A發(fā)生的次數(shù)為X，事件B發(fā)生的次數(shù)為Y，事件AB發(fā)生的次數(shù)為Z.則下列說(shuō)法正確的是（）.

A．E（X）=E（Y）B．D（X）=D（Y）

C．E（Z）=D（X）

D．n·D（Z）=D（X）·D（Y）

17．（本題考查均值和方差的計(jì)算）已知兩組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5和y1，y2，y3，y4，y5的均值和方差分別為，和s21，s22，若xi+yi=100且xi>yi（i=1，2，3，4，5），則（）.

A．> B．+=100

C．s21>s22D．s21=s22

18．（本題考查正態(tài)分布）已知ξ～N（μ，σ2），則ξ－μσ～N（0，1）．某次數(shù)學(xué)考試滿分150分，甲、乙兩校各有1000人參加考試，其中甲校成績(jī)X～N（90，302），乙校成績(jī)Y～N（95，202），則（）.

A．甲校成績(jī)?cè)?0分及以下的人數(shù)多于乙校

B．乙校成績(jī)?cè)?10分及以上的人數(shù)少于甲校

C．甲、乙兩校成績(jī)?cè)?0～95分的人數(shù)占比相同

D．甲校成績(jī)?cè)?5～95分與乙校成績(jī)?cè)?0～100分的人數(shù)占比相同

二、填空（1—11為單空，12—16為雙空）

1. （本題考查古典概型和排列組合）新冠疫情期間，網(wǎng)上購(gòu)物成為主流．因保管不善，五個(gè)快遞ABCDE上送貨地址模糊不清，但快遞小哥記得這五個(gè)快遞應(yīng)分別送去甲乙丙丁戊五個(gè)地方，全部送錯(cuò)的概率是.

2. （本題考查分類加法計(jì)數(shù)原理） 十二生肖是中國(guó)特有的文化符號(hào)，有著豐富的內(nèi)涵，它們是成對(duì)出現(xiàn)的，分別為鼠和牛、虎和兔、龍和蛇、馬和羊、猴和雞、狗和豬六對(duì)．現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個(gè)，按照上面的配對(duì)分成六組．甲、乙、丙三位同學(xué)依次選一組作為禮物，甲同學(xué)喜歡龍和馬，乙同學(xué)喜歡牛、羊和猴，丙同學(xué)喜歡兔、馬、狗．如果甲、乙、丙三位同學(xué)選取的禮物中均包含自己喜歡的生肖，則不同的選法種數(shù)為．

3．（本題考查百分位數(shù)和平均數(shù)的計(jì)算）以下為甲、乙兩組按從小到大順序排列的數(shù)據(jù)：

甲組：14，30，37，a，41，52，53，55，58，80；

乙組：17，22，32，43，45，49，b，56．

若甲組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)和乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，則8a－2b=．

4．（本題考查二項(xiàng)式定理）設(shè)整數(shù)n>4，（x+2y－1）n的展開式中xn－4與xy兩項(xiàng)的系數(shù)相等，則n的值為 .

5. （本題考查回歸直線方程的應(yīng)用）已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)如表所示：

當(dāng)m變化時(shí)，回歸直線=x+必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．

6.（本題考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)以及曲線所表示的意義）現(xiàn)實(shí)世界中的很多隨機(jī)變量遵循正態(tài)分布．例如反復(fù)測(cè)量某一個(gè)物理量，其測(cè)量誤差X通常被認(rèn)為服從正態(tài)分布．若某物理量做n次測(cè)量，最后結(jié)果的誤差，Xn ～N0，2n，則為使|Xn|≥14的概率控制在0.0456以下，至少要測(cè)量的次數(shù)為.

（附：隨機(jī)變量X～N（μ，σ2），則P（μ－σ＜X＜μ＋σ）＝0.6826，P（μ－2σ＜X＜μ＋2σ）＝0.9544，P（u－3σ＜X＜μ＋3σ）＝0.9974）

7.（本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列、二項(xiàng)分布等）一次拋擲兩顆質(zhì)地均勻的正方體骰子，若出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是2倍關(guān)系，則稱這次拋擲“漂亮”．規(guī)定一次拋擲“漂亮”得分為3，否則得分為－1．若拋擲30次，記累計(jì)得分為ξ，則E（ξ）＝.

8.（本題考查回歸直線方程的應(yīng)用）某工廠為研究某種產(chǎn)品的產(chǎn)量x（噸）與所需某種原材料的質(zhì)量y（噸）的相關(guān)性，在生產(chǎn)過(guò)程中收集4組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)（x，y），如下表所示．（殘差=觀測(cè)值-預(yù)測(cè)值）

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=0.7x+.據(jù)此計(jì)算出在樣本（4，3）處的殘差為-0.15，則表中m的值為．

9．（本題考查正態(tài)分布曲線的應(yīng)用）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（μ，σ2），有下列四個(gè)命題：

甲：P（X>m+1）>P（X

乙：P（X>m）=0.5；

丙：P（X≤m）=0.5；

?。篜（m－1

如果只有一個(gè)假命題，則該命題為.

10．（本題考查均值與方差的關(guān)系和性質(zhì)）已知變量X，Y滿足回歸模型Y=aX2+b+e，

E（e）=0，D（e）=σ2，令Z=X2，利用=11，=15的樣本數(shù)據(jù)得到經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程=16Z－9，則根據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計(jì)變量X的方差為.

11. （本題考查平均數(shù)和方差的公式的運(yùn)用）已知樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)與方差s2滿足如下關(guān)系式：

s2=∑ni=1（xi-）2n=∑ni=1（x2i）-n·2n．

若已知15個(gè)數(shù)x1，x2，…，x15的平均數(shù)為6，方差為9；現(xiàn)從原15個(gè)數(shù)中剔除x1，x2，x3，x4，x5這5個(gè)數(shù)，且剔除的這5個(gè)數(shù)的平均數(shù)為8，方差為5，則剩余的10個(gè)數(shù)x6，x7，…，x15的方差為．

12. （本題考查回歸直線方程）在一次考試中，5名學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績(jī)?nèi)缦卤恚海ㄒ阎獙W(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績(jī)具有線性相關(guān)關(guān)系）

現(xiàn)已知其線性回歸方程為=0.36x+，則=，根據(jù)此線性回歸方程估計(jì)數(shù)學(xué)得90分的同學(xué)的物理成績(jī)?yōu)椋?/p>

13. （本題考查利用頻率分布直方圖求中位數(shù)、平均數(shù)）某校從參加學(xué)業(yè)水平測(cè)試的學(xué)生中抽出80名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成績(jī)（均為整數(shù)）的頻率分布直方圖如圖2所示，這次測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)為（精確到（0.1），這次測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為．

14.（本題考查數(shù)據(jù)的中位數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用問(wèn)題）已知總體的各個(gè)個(gè)體的值由小到大依次為3，7，a，b，12，20，且總體的中位數(shù)為12，若要使該總體的標(biāo)準(zhǔn)差最小，則a=，b=．

15.（本題考查分層抽樣的平均數(shù)和方差的計(jì)算）某學(xué)校為了了解教師職稱的年齡分布情況，對(duì)全校中級(jí)教師和高級(jí)教師采用分層抽樣的方法進(jìn)行抽樣分析，抽得中級(jí)教師的人數(shù)為50人，其平均年齡為36歲，方差是2；抽得高級(jí)教師的人數(shù)為10人，其平均年齡為48歲，方差是8，則估計(jì)該校全體中級(jí)教師和高級(jí)教師年齡的平均數(shù)為，方差為．

16.（本題考查全概率和條件概率）有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)加工的次品率為6%，第2，3臺(tái)加工的次品率均為5%；加工出來(lái)的零件混放在一起，且第1，2，3臺(tái)車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%.現(xiàn)從加工出來(lái)的零件中任取一個(gè)零件，則取到的零件是次品的概率為，取到的零件是次品，且是第3臺(tái)車床加工的概率為．

3解答題

1.（本題考查獨(dú)立重復(fù)事件概率、數(shù)學(xué)期望、概率中的函數(shù)模型、導(dǎo)數(shù)法解決概率問(wèn)題、通過(guò)概率計(jì)算指導(dǎo)決策）某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一件產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品.檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中取出20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p（0

（1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f（p），求f（p）的最大值點(diǎn)p0.

（2）現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的p0作為p的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用.

（?。┤舨粚?duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X，求EX;

（ⅱ）以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品檢驗(yàn)？

2.（本題考查互斥事件的概率、遞推數(shù)列、數(shù)列型概率）棋盤上標(biāo)有第0，1，2，…，100站，棋子開始時(shí)位于第0站，棋手拋擲均勻硬幣走跳棋游戲.若拋擲出正面，棋子向前跳出一站；若拋擲出反面，棋子向前跳出兩站，直到跳到第99站（勝利大本營(yíng)）或第100站（失敗大本營(yíng)）時(shí)，游戲結(jié)束.設(shè)棋子跳到第n站的概率為Pn.

（1）求P3的值；（2）證明：Pn+1－Pn=－12（Pn－Pn－1）（2≤n≤99）；（3）求P99，P100的值.

3.（本題考查獨(dú)立重復(fù)事件的概率、二項(xiàng)分布換元法、基本不等式和二次函數(shù)在概率中的運(yùn)用）某中學(xué)為宣傳未成年人保護(hù)法，特舉行一次未成年人保護(hù)法知識(shí)競(jìng)賽，比賽規(guī)則是：兩人一組，每一輪競(jìng)賽中，小組兩人分別答兩題，若答對(duì)題數(shù)不少于3題，被稱為“優(yōu)秀小組”，已知甲、乙兩位同學(xué)組成一組，且同學(xué)甲和同學(xué)乙答對(duì)每道題的概率分別為p1，p2，若p1+p2=65，且每輪競(jìng)賽互不影響，如果甲、乙同學(xué)在此次競(jìng)賽活動(dòng)中要想獲得“優(yōu)秀小組”的次數(shù)為9次，那么理論上至少要進(jìn)行多少輪競(jìng)賽？

4.（本題考查條件概率、二項(xiàng)分布、概率中的不等式模型）某電臺(tái)舉辦有獎(jiǎng)知識(shí)競(jìng)賽，選手答題規(guī)則相同.選手甲每道題自己有把握獨(dú)立答對(duì)的概率為12，若甲自己沒(méi)有把握答對(duì)，則在規(guī)定時(shí)間內(nèi)連線親友團(tuán)尋求幫助，其親友團(tuán)每道題能答對(duì)的概率為p，假設(shè)每道題答對(duì)與否互不影響.

（1）當(dāng)p=15時(shí)，

①若甲答對(duì)了某道題，求該題是甲自己答對(duì)的概率；

②甲答了4道題，計(jì)甲答對(duì)題目的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）.

（2）選手乙答對(duì)每道題的概率為23（含親友團(tuán)），現(xiàn)甲、乙兩人各答兩個(gè)問(wèn)題，若甲答對(duì)題目的個(gè)數(shù)比乙答對(duì)題目的個(gè)數(shù)多的概率不低于1536，求甲的親友團(tuán)每道題答對(duì)的概率p的最小值.

5．（本題考查古典概型、分布列、期望、條件概率、概率證明問(wèn)題）某大學(xué)有A，B兩個(gè)餐廳為學(xué)生提供午餐與晚餐服務(wù)，甲、乙兩位學(xué)生每天午餐和晚餐都在學(xué)校就餐，近100天選擇餐廳就餐情況統(tǒng)計(jì)如下：

假設(shè)甲、乙選擇餐廳相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率.

（1）分別估計(jì)一天中甲午餐和晚餐都選擇A餐廳就餐的概率和乙午餐和晚餐都選擇B餐廳就餐的概率；

（2）記X為甲、乙在一天中就餐餐廳的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）;

（3）假設(shè)M表示事件“A餐廳推出優(yōu)惠套餐”，N表示事件“某學(xué)生去A餐廳就餐”，P（M）>0，一般來(lái)說(shuō)在推出優(yōu)惠套餐的情況下學(xué)生去該餐廳的概率會(huì)比不推出優(yōu)惠套餐的情況下去該餐廳就餐的概率要大，證明：P（M|N）>P（M|）.

6.（本題考查隨機(jī)抽樣2×2列聯(lián)表、獨(dú)立性檢驗(yàn)、概率最值問(wèn)題）我市為了解學(xué)生體育運(yùn)動(dòng)的時(shí)間長(zhǎng)度是否與性別因素有關(guān)，從某幾所學(xué)校中隨機(jī)調(diào)查了男、女各100名的平均每天體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間，得到如下數(shù)據(jù)：

根據(jù)學(xué)生課余體育運(yùn)動(dòng)要求，平均每天體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間在（60，120］內(nèi)認(rèn)定為“合格”，否則被認(rèn)定為“不合格”，其中，平均每天體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間在（90，120］內(nèi)認(rèn)定為“良好”.

（1）完成下列2×2列聯(lián)表，并依據(jù)α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析學(xué)生體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別因素?zé)o關(guān)聯(lián)：

（2）從上述100個(gè)女生平均每天體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間在（0，40］，（40，60］，（60，90］，（90，120］的人中用分層抽樣的方法抽取20人，再?gòu)倪@20人中隨機(jī)抽取2人，記X為2人中平均每天體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間為“良好”的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（3）從全市學(xué)生中隨機(jī)抽取100人，其中平均每天體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間為“良好”的人數(shù)設(shè)為ξ，記“平均每天體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間為‘良好的人數(shù)為k”的概率為P（ξ=k），視頻率為概率，用樣本估計(jì)總體，求P（ξ=k）的表達(dá)式，并求P（ξ=k）取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的k的值.

7.（本題考查回歸分析、最小二乘法、回歸方程、擬合效果）為調(diào)查某地區(qū)植被覆蓋面積x（單位：公頃）和野生動(dòng)物數(shù)量y的關(guān)系，某研究小組將該地區(qū)等面積劃分為200個(gè)區(qū)塊，從中隨機(jī)抽取20個(gè)區(qū)塊，得到樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1，2，…，20），部分?jǐn)?shù)據(jù)如下：

經(jīng)計(jì)算得∑20i=1xi=60，∑20i=1yi=1200，

∑20i=1（xi－）2=80，∑20i=1（xi－）（yi－）=640.

（1）利用最小二乘法估計(jì)建立y關(guān)于x的線性回歸方程；

（2）該小組又利用這組數(shù)據(jù)建立了x關(guān)于y的線性回歸方程，并把這兩條擬合直線畫在同一坐標(biāo)系xoy下，橫坐標(biāo)x、縱坐標(biāo)y的意義與植被覆蓋面積x和野生動(dòng)物數(shù)量y一致.

（ⅰ）比較前者與后者的斜率大小，并證明；

（ⅱ）求這兩條直線的公共點(diǎn)坐標(biāo).

（附：y關(guān)于x的回歸方程=+x中，斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：

=∑ni=1（xi－）（yi－）∑ni=1（xi－）2，=－.）

參考答案

一、選擇題

1.C；2.C；3.D；4.A；5.B；6.B；7.D；8．B；9．B；10．B；11．B；12．D；13.ACD；14．ABC；15．BCD；16．BC；17．ABD；18．AB.

二、填空題

1. 1130 ；2. 12；3．200；4．51；5.32，5；6.128；

7.-10；8.4.5；9．??；10．23；11.8；12.40.8，73.2；

13.73.3，72；14.12，12；15.38，23；16.0.0525，37.

三、解答題

略.

參考文獻(xiàn)

［1］中國(guó)高考報(bào)告學(xué)術(shù)委員會(huì).中國(guó)高考報(bào)告2023[M].北京：新華出版社，2023.

作者簡(jiǎn)介

魯和平（1964—），男，湖北天門人，湖北省特級(jí)教師；主要研究高中數(shù)學(xué)解題方法；主持浙江省教科研規(guī)劃課題1項(xiàng)，市級(jí)教科研規(guī)劃課題2項(xiàng)；發(fā)表論文80余篇.

孫洪梅（1983—），女，山東曲阜人，中學(xué)高級(jí)教師；主要研究數(shù)學(xué)課堂教學(xué)藝術(shù)；發(fā)表論文4篇.