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    應(yīng)用“幾何畫板”分析帶電粒子在圓形磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

    2023-06-09 09:35:01伏軍
    數(shù)理天地(高中版) 2023年6期
    關(guān)鍵詞:帶電粒子幾何畫板

    伏軍

    【摘要】帶電粒子在圓形磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)涉及許多幾何知識(shí),其中粒子的軌跡圓與磁場(chǎng)區(qū)域圓相互關(guān)系的分析一直是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn),尤其是軌跡圓的動(dòng)態(tài)變化問(wèn)題更令學(xué)生頭疼不已.本文闡述利用“幾何畫板”這一軟件來(lái)分析帶電粒子在圓形磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題,借助軟件提供的幾何作圖、動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)、追蹤動(dòng)畫功能,逐步熟悉動(dòng)態(tài)圓的建立過(guò)程,展現(xiàn)粒子軌跡的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程,幫助學(xué)生提升分析能力和空間想象能力.

    【關(guān)鍵詞】圓形磁場(chǎng);幾何畫板;帶電粒子

    “幾何畫板”軟件是美國(guó)Key Curriculum Press公司開發(fā)并出版的優(yōu)秀教育軟件,它能夠快捷、準(zhǔn)確、動(dòng)態(tài)展現(xiàn)出幾何對(duì)象的位置關(guān)系、運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律,被譽(yù)為“21世紀(jì)的動(dòng)態(tài)幾何”,在理科教學(xué)上應(yīng)用非常廣泛.教育部全國(guó)中小學(xué)計(jì)算機(jī)教育研究中心將此軟件作為輔助教學(xué)軟件面向全國(guó)中小學(xué)教師進(jìn)行推廣,目前的最新版本是“幾何畫板5.0.7.6”.

    筆者在高中物理教學(xué)中發(fā)現(xiàn),學(xué)生在分析帶電粒子在圓形有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí),因大量涉及與圓相關(guān)的幾何知識(shí),學(xué)生難以找到其中的角、弦、弧之間的聯(lián)系,難以將軌跡圓和磁場(chǎng)區(qū)域圓結(jié)合起來(lái)考慮,難以建立“動(dòng)態(tài)圓”思維,因此帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)成為高中物理教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn),特別是當(dāng)帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)速度、入射點(diǎn)或磁場(chǎng)強(qiáng)弱發(fā)生變化時(shí),粒子作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心、半徑和軌跡就會(huì)發(fā)生相應(yīng)變化,用黑板上畫圖、用PPT課件畫圓等常規(guī)的教學(xué)手段不但畫圖過(guò)程繁瑣而且很難保證畫出的圓符合幾何規(guī)則,更不用說(shuō)動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)粒子軌跡變化過(guò)程了.利用“幾何畫板”的作圖、動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)、追蹤動(dòng)畫等功能,則可以追蹤到圓的軌跡,分析其圓心和半徑的變化,展現(xiàn)各物理量的幾何關(guān)系,從而使帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的教學(xué)難點(diǎn)得到突破.

    筆者將用“幾何畫板”制作的帶電粒子在圓形磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)的三個(gè)課件實(shí)例,淺析如何用“幾何畫板”來(lái)分析帶電粒子在圓形磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng),展現(xiàn)帶電粒子軌跡圓與磁場(chǎng)區(qū)域圓相互關(guān)系,探究其中的幾何關(guān)系和基本規(guī)律.

    案例一 帶電粒子沿著半徑方向射入圓形磁場(chǎng)

    當(dāng)帶電粒子沿著半徑方向射入圓形邊界內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中時(shí),如果粒子的速度大小發(fā)生變化,由r=mvqB可知,軌跡半徑大小會(huì)隨之發(fā)生變化,會(huì)在磁場(chǎng)中形成一系列半徑變化、出射點(diǎn)在磁場(chǎng)邊界上改變的動(dòng)態(tài)圓,確定動(dòng)態(tài)圓的軌跡范圍經(jīng)常是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題.當(dāng)然,還有許多關(guān)于帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題并不是帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度發(fā)生變化,而是磁感應(yīng)強(qiáng)度B、粒子的比荷qm、粒子的動(dòng)量P、粒子動(dòng)能Ek等物理量發(fā)生變化,但只要分析半徑公式的變形式r=mvqB=PqB=2mEkqB就會(huì)發(fā)現(xiàn),這些物理量的變化導(dǎo)致的結(jié)果也不過(guò)是讓粒子的軌跡半徑發(fā)生變化而已,因此,不管什么原因?qū)е碌陌霃阶兓忸}思想都是大同小異的,都需要分析粒子軌跡圓與磁場(chǎng)區(qū)域圓之間的幾何關(guān)系,這些半徑、弦長(zhǎng)、圓心角、偏向角、弦切角等幾何量之間的相互關(guān)系正是分析這類問(wèn)題的突破點(diǎn),也是幫助學(xué)生構(gòu)建解題思維的關(guān)鍵點(diǎn),需要在制作課件時(shí)逐步展現(xiàn)出來(lái).

    通過(guò)上述分析不難發(fā)現(xiàn),分析帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的課件展現(xiàn)出半徑不同時(shí)軌跡的特點(diǎn)、必須展現(xiàn)粒子軌跡中圓心角、偏向角、軌跡半徑、磁場(chǎng)半徑、公共弦的幾何關(guān)系,還得讓課件具有逐步分析運(yùn)動(dòng)過(guò)程的能力,用“幾何畫板”制作課件時(shí)必須實(shí)現(xiàn)這樣幾個(gè)基本功能:(1)要設(shè)置調(diào)節(jié)點(diǎn)來(lái)改變軌跡半徑大??;(2)要設(shè)置按鈕來(lái)控制各個(gè)輔助線、圓弧、角度的顯示與隱藏.(3)要能夠顯示出粒子軌跡范圍.

    本案例主要制作步驟如下:

    步驟一:建立圓形磁場(chǎng).利用幾何畫板兩點(diǎn)建立圓的方法,通過(guò)標(biāo)記向量功能,實(shí)現(xiàn)圓形磁場(chǎng)半徑R可以動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié).在畫出圓形磁場(chǎng)區(qū)域里,用插入文字的方式顯示出方向向里的磁場(chǎng).

    步驟二:畫出粒子軌跡.在工作區(qū)畫出水平射線代表入射方向,其端點(diǎn)代表粒子源.讓射線通過(guò)圓形磁場(chǎng)的圓心,和磁場(chǎng)圓的交點(diǎn)為粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的入射點(diǎn).在入射點(diǎn)利用幾何畫板兩點(diǎn)建立圓的方法作出軌跡圓,利用標(biāo)記向量功能實(shí)現(xiàn)粒子軌跡圓半徑r可調(diào).

    步驟三:構(gòu)造相關(guān)幾何量.利用幾何畫板構(gòu)建直線、垂線、交點(diǎn)、夾角功能,畫出入射方向輔助線、出射方向輔助線、公共弦、偏向角、圓心角、圓心連接線等幾何量.

    步驟四:美化線條,設(shè)置相關(guān)動(dòng)作按鈕.逐個(gè)選取各點(diǎn)、線段、弧線進(jìn)行美化.將輔助線設(shè)置為虛線,調(diào)節(jié)磁場(chǎng)圓、軌跡圓、調(diào)節(jié)點(diǎn)的顏色,確保相關(guān)量顏色統(tǒng)一.逐個(gè)選取幾何量,通過(guò)操作類按鈕設(shè)置顯示與隱藏功能.通過(guò)軌跡圓上選擇追蹤功能實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)圓展示,從而展現(xiàn)出半徑變化時(shí)粒子軌跡范圍.

    課件最終制作效果如圖1所示.

    在教學(xué)過(guò)程中,遇到帶電粒子的速度方向是沿半徑方向入射的這類問(wèn)題時(shí),教師可結(jié)合具體情況通過(guò)點(diǎn)擊功能按鈕、打開追蹤功能、拖動(dòng)調(diào)節(jié)半徑大小等方法進(jìn)行演示,逐步展現(xiàn)圓心角、偏向角、軌跡半徑、磁場(chǎng)半徑、公共弦的幾何關(guān)系.通過(guò)各種輔助線的顯示與隱藏,可凸顯出,學(xué)生將其中的幾何關(guān)系看得一清二楚,教學(xué)難點(diǎn)從而得到了突破.

    案例二 帶電粒子沿著任意方向射入圓形磁場(chǎng)

    當(dāng)帶電粒子沿著任意方向射入圓形邊界內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí),會(huì)形成射點(diǎn)不同的動(dòng)態(tài)圓.這種情況還可以變形成另外一種表述,即位于磁場(chǎng)邊界的粒子源向各方向發(fā)射出速度大小相同的粒子.當(dāng)軌跡半徑r小于磁場(chǎng)半徑R時(shí),隨著帶電粒子入射方向的改變,入射點(diǎn)與出射點(diǎn)的距離將出現(xiàn)最大值.當(dāng)軌跡半徑r大于磁場(chǎng)半徑R時(shí),將出現(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)(軌跡圓心角最大)的特殊軌跡.典型的問(wèn)題有:求解粒子出射點(diǎn)的范圍,求解入射點(diǎn)與出射點(diǎn)的最大距離,求解粒子所有軌跡中最長(zhǎng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間等.

    對(duì)于學(xué)生而言,以上分析的數(shù)學(xué)原理是容易理解的,難以理解的地方是:當(dāng)速度方向不同時(shí),粒子的軌跡是如何改變的?何種條件下粒子的入射點(diǎn)和出射點(diǎn)距離最大?什么條件下出現(xiàn)最長(zhǎng)軌跡?為什么速度是向各方向都有,而軌跡卻分布在一定范圍內(nèi)等等.

    通過(guò)上述分析不難發(fā)現(xiàn),要分析不同速度方向軌跡特點(diǎn),討論粒子的軌跡范圍、最長(zhǎng)時(shí)間等問(wèn)題,需要在制作幾何畫板的課件時(shí)做到這幾點(diǎn):(1)設(shè)置按鈕動(dòng)態(tài)控制各個(gè)切線、弦線、弧線、角度的顯示;(2)設(shè)置調(diào)節(jié)點(diǎn)來(lái)改變初速度方向;(3)設(shè)置調(diào)節(jié)點(diǎn)改變軌跡半徑大小.

    本案例主要制作步驟如下:

    步驟一:建立圓形磁場(chǎng).在工作區(qū)畫出圓形磁場(chǎng)區(qū)域.利用幾何畫板兩點(diǎn)建立圓的方法,通過(guò)標(biāo)記向量功能,實(shí)現(xiàn)圓形磁場(chǎng)半徑R可以動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié).

    步驟二:畫出粒子軌跡.在磁場(chǎng)圓上創(chuàng)建一個(gè)點(diǎn)作為粒子源,并將其設(shè)置為旋轉(zhuǎn)中心.利用幾何畫板兩點(diǎn)法建立軌跡圓,利用標(biāo)記向量功能實(shí)現(xiàn)粒子軌跡半徑r可調(diào),利用標(biāo)記角度方法實(shí)現(xiàn)速度v方向可調(diào).

    步驟三:構(gòu)造相關(guān)幾何量并進(jìn)行美化.利用幾何畫板構(gòu)建直線、垂線、交點(diǎn)、夾角功能,畫出入射方向輔助線、出射方向輔助線、公共弦、偏向角、圓心角、圓心連接線等幾何量.設(shè)置相關(guān)動(dòng)作按鈕.逐個(gè)選取各點(diǎn)、線段、弧線進(jìn)行加粗、改變顏色等,讓線條更美觀.

    最終呈現(xiàn)的效果如圖2所示.

    教學(xué)時(shí),教師通過(guò)調(diào)節(jié)粒子的初速度方向和軌跡半徑大小,分別探究在軌跡半徑r小于磁場(chǎng)R時(shí)和半徑r大于磁場(chǎng)R時(shí),隨著速度方向的改變,粒子的軌跡是如何變化的.通過(guò)追蹤功能,學(xué)生可清晰觀察到粒子軌跡的范圍,體會(huì)動(dòng)態(tài)圓的形成,借助按鈕打開各種輔助線展現(xiàn)各線、各角、各弧的幾何關(guān)系并進(jìn)行逐步分析,從而幫助學(xué)生構(gòu)建出動(dòng)態(tài)圓思維.

    實(shí)例三 軌跡半徑等于磁場(chǎng)半徑時(shí)的“磁聚焦”問(wèn)題

    高中物理所涉及的“磁聚焦”問(wèn)題是指當(dāng)一束平行的帶電粒子束射向圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)時(shí),若粒子在磁場(chǎng)中的軌道半徑r恰好等于磁場(chǎng)圓的半徑R,所有進(jìn)入磁場(chǎng)的粒子將從同一點(diǎn)射出圓形磁場(chǎng)區(qū)域,此射出點(diǎn)的切線與入射的速度方向平行.分析“磁聚焦”問(wèn)題的難點(diǎn)在于:不同點(diǎn)射入的粒子為什么會(huì)聚焦到同一點(diǎn)射出磁場(chǎng)?怎樣用簡(jiǎn)單明了的幾何關(guān)系來(lái)證明會(huì)聚焦到同一點(diǎn)?其不同入射點(diǎn)軌跡有什么特點(diǎn)?為什么軌跡半徑與磁場(chǎng)半徑不相同時(shí)就不會(huì)聚焦了?

    為了實(shí)現(xiàn)上述分析過(guò)程,制作課件時(shí)要考慮到這幾個(gè)關(guān)鍵功能:(1)磁場(chǎng)半徑和軌跡半徑都是可以調(diào)整的;(2)要體現(xiàn)出粒子束的速度方向都是平行的;(3)可自由切換切線、弧線、角度的顯示隱藏,方便進(jìn)行幾何分析.

    本案例基本制作步驟如下:

    步驟一:建立圓形磁場(chǎng).在工作區(qū)畫出圓形磁場(chǎng)區(qū)域.利用幾何畫板兩點(diǎn)建立圓的方法,通過(guò)標(biāo)記向量功能,實(shí)現(xiàn)圓形磁場(chǎng)半徑R可以動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié).

    步驟二:畫出粒子軌跡.在工作區(qū)畫出豎直線段代表粒子源.水平射線代表入射方向,讓射線通過(guò)圓形磁場(chǎng)的圓心.射線和磁場(chǎng)圓的交點(diǎn)為粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的入射點(diǎn).在入射點(diǎn)利用幾何畫板兩點(diǎn)建立圓的方法建立軌跡圓,利用標(biāo)記向量功能實(shí)現(xiàn)粒子軌跡半徑可調(diào).

    步驟三:構(gòu)造相關(guān)幾何量并進(jìn)行美化.利用幾何畫板構(gòu)建直線、垂線、交點(diǎn)、夾角功能,畫出入射方向輔助線、出射方向輔助線、公共弦、偏向角、圓心角、圓心連接線等幾何量.設(shè)置相關(guān)動(dòng)作按鈕.逐個(gè)選取各點(diǎn)、線段、弧線進(jìn)行加粗操作,讓線條更加便于學(xué)生觀察.最終呈現(xiàn)的效果如圖3所示.

    圖3

    在教學(xué)時(shí),打開線段的追蹤功能,拖動(dòng)入射點(diǎn),可讓學(xué)生清晰地觀察到不同入射點(diǎn)射入的粒子都從M點(diǎn)射出.通過(guò)顯示軌跡半徑和磁場(chǎng)半徑的輔助線,可清晰地顯示出無(wú)論入射點(diǎn)在何處,軌跡半徑和磁場(chǎng)半徑都構(gòu)成菱形,根據(jù)菱形兩邊平行原理,很容易證明得到粒子將從同一點(diǎn)射出這一結(jié)論.

    結(jié)語(yǔ)

    通過(guò)以上三個(gè)案例,不難看出“幾何畫板”軟件功能強(qiáng)大,輔助教學(xué)效果良好.制作出來(lái)的課件生動(dòng)形象,讓物理規(guī)律中蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)知識(shí)更為直觀地呈現(xiàn)出來(lái),讓復(fù)雜的幾何關(guān)系變得簡(jiǎn)潔明了,符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和規(guī)律,使學(xué)生原本感到枯燥的知識(shí)變得形象生動(dòng).幾何畫板課件展現(xiàn)了物理量動(dòng)態(tài)變化的過(guò)程,能培養(yǎng)學(xué)生的思維能力,極大地調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.合理運(yùn)用“幾何畫板”可以提高課堂教學(xué)效果,突破教學(xué)難點(diǎn),值得物理教師積極探索和大膽嘗試.

    參考文獻(xiàn):

    [1]吳熙,彭朝陽(yáng).用《幾何畫板》顯化帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)[J].物理之友,2017,33(10):42-43+47.

    [2]王正雄.幾何畫板破洛侖茲力教學(xué)難點(diǎn)[J].中國(guó)教育技術(shù)裝備,2002(12):11.

    [3]朱亞.利用“幾何畫板”解決物理疑難問(wèn)題[J].物理教師,2007(4):40-41.

    [4]伍榮捷.用幾何畫板制作物理課件的嘗試[J].新課程(下),2017(9):104.

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