一類帶p-Laplacian算子的分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題解的存在性

吳亞斌, 周文學(xué), 宋學(xué)瑤

(蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院, 蘭州 730070)

分?jǐn)?shù)階微積分是一個古老又新穎的話題, 其最初起源于Leibniz G W和Euler L的猜想并發(fā)展至今. 20世紀(jì)中期, 許多國內(nèi)外數(shù)學(xué)家對微積分的發(fā)展做出了巨大的貢獻(xiàn). 近30年內(nèi), 分?jǐn)?shù)階微積分迅速發(fā)展并廣泛應(yīng)用于分?jǐn)?shù)物理學(xué)、粘彈性力學(xué)、隨機(jī)過程、反應(yīng)擴(kuò)散方程等領(lǐng)域. 此外, 分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題在近些年也成為了一個熱點話題, 并取得了一系列成果[1-4]．

1983年, 在研究多孔介質(zhì)中的湍流時, Leibenson引入了p-Laplacian算子.此后, 含p-Laplacian算子的分?jǐn)?shù)階微分方程得到了廣大學(xué)者的關(guān)注, 但相關(guān)的研究成果大都是在標(biāo)準(zhǔn)的Caputo與Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義下的[5-7].

王麗在文獻(xiàn)[8]中運用混合單調(diào)算子理論及不動點理論研究了帶有p-Laplacian算子的分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題

許佰雁在文獻(xiàn)[9]中運用Green函數(shù)相關(guān)性質(zhì)及錐上不動點定理討論了邊值問題

其中,3<α≤4,αi>0, 0<ξ1<ξ2<…<ξm-2<1.f:(0,1)×→是給定的連續(xù)函數(shù).為標(biāo)準(zhǔn)的Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)．

2014年, Khalil 等[10]提出了一種全新的一致分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義, 這個新定義下的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)滿足整數(shù)階導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì)(滿足整數(shù)階導(dǎo)數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則).但是, 對新定義下含p-Laplacian算子的分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題的研究目前相對較少．

受到以上工作啟發(fā), 本文運用Leray-Schauder 非線性擇抉和Krasnosel’skiis不動點定理討論了一類在一致分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義下含p-Laplacian算子的分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題

(1)

解的存在性.其中,1<α≤2,μ≥0,0<η≤1,φp(s)=|s|p-2s,(φp)-1=φq,p>1,p-1+q-1=1,Tα是一致分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù),f:[0,1]×→是給定的連續(xù)函數(shù)．

本文首先給出一致分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的相關(guān)定義,以及結(jié)果證明所需的引理, 并將邊值問題轉(zhuǎn)化為與其等價的積分方程.然后利用p-Laplacian算子的性質(zhì)及不動點定理得到了邊值問題(1)解的存在性結(jié)論.最后給出兩個例子來驗證所得結(jié)果的適用性．

1 預(yù)備知識

定義1[10]設(shè)α∈(n,n+1], 函數(shù)f:[0, ∞)→, 則f的α階一致分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

t>0,

特別地, 在本文中α∈(1, 2], 則

定義2[11]設(shè)α∈(n,n+1], 函數(shù)f:[0, ∞)→, 則f的α階一致分?jǐn)?shù)階積分定義為

特別地, 本文中α∈(1, 2], 得

引理1[11]設(shè)α∈(n,n+1], 若Tαf(t)在[0, ∞)上連續(xù), 則

IαTαf(t)=f(t)+c0+c1t+…+cntn,

其中,ci∈(i=1,…,n).

引理2[12]如果p>2, 且|x|, |y|

|φp(x)-φp(y)|≤(p-1)Mp-2|x-y|．

或

2)存在一個x∈?U和λ∈(0,1),使得x=λFx．

引理4[14](Krasnosel’skiis不動點定理) 設(shè)Ω是Banach空間X上的有界閉凸非空子集, 算子Φ,Ψ滿足:

1)Φu+Ψv∈Ω, 其中u,v∈Ω;

2) 算子Ψ是緊的且連續(xù);

3) 算子Φ是壓縮映像,

則存在z∈Ω, 使得z=Ψz+Φz.

引理5若1<α≤2, 函數(shù)h∈C([0,1],), 則分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題

(2)

存在解滿足

證明對方程(φp(Tαx(t)))′=h(t)兩端從0到t積分得

由條件Tαx(0)=0,可得

又(φp)-1=(φq),即

對上式兩端α階積分, 可得

因為1<α≤2, 利用定義2及引理1得

因此,

(3)

2 主要結(jié)果

設(shè)X=C([0, 1],)表示從[0, 1]→的所有連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的空間, 其范數(shù)定義為易知X為Banach空間．

定義算子F:X→X為

(4)

由此, 求邊值問題(1)的解轉(zhuǎn)化為求算子F不動點的問題．

為了方便計算, 做以下記號:

定理1假設(shè)1

1)f:[0, 1]×→是給定的連續(xù)函數(shù);

2) 存在常數(shù)L>0,使得對任意t∈[0,1], 任取x1,x2∈有

|f(t,x1)-f(t,x2)|≤L|x1-x2|;

4) 存在常數(shù)N>0, 使得

(q-1)Mq-2L|x1-x2|,

(5)

|(Fx)t|=

μηR+2Λ1(Λ2R+φq(K)),

即

(6)

由此可知F把X中有界集映為有界集．

其次,說明F是等度連續(xù)的.對任意x∈BR,0≤t1

|(Fx)(t2)-(Fx)(t1)|=

μηR(t2-t1)+Λ1(φq(K)+Λ2R)(t1-t2)+

Λ4(φq(K)+Λ2R)(t2-t1)+Λ4(φq(K)+

(7)

即當(dāng)t2→t1時有|(Fx)(t2)-(Fx)(t1)|→0．

由Arzela-Ascoli定理知,F是相對緊的.即F:X→X是一個全連續(xù)算子．

若x是邊值問題(1)的一個解, 對于?t∈[0, 1], 類似于前面的證明方法, 則有

即

由條件4), 存在常數(shù)N使得

假設(shè)

定理2假設(shè)條件1)成立, 且以下條件也成立:

5)μη<1;

6) 存在常數(shù)m>0, 使得對任意的t∈[0, 1],x∈, 有

則邊值問題(1)至少存在一個解．

則Br為Banach空間X上的有界閉凸非空子集．

定義Br上的兩個算子Φ,Ψ為

首先, 驗證(Φx1)t+(Ψx2)t∈Br.當(dāng)t∈[0, 1]時, 對任意x1,x2∈Br有

μηr+2mΛ1,

(8)

因此有|(Φx1)t+(Ψx2)t|≤Br, 即(Φx1)t+(Ψx2)t∈Br.

其次, 證明算子Φ在Br內(nèi)為壓縮映射.當(dāng)t∈[0, 1]時, 對任意x1,x2∈Br有

|(Φx1)(t)-(Φx2)(t)|≤

即

(9)

由條件5)可知算子Φ在Br內(nèi)為壓縮映射．

最后, 驗證算子Ψ為全連續(xù)算子, 由算子Ψ的定義和函數(shù)f的連續(xù)性可知算子Ψ連續(xù).下面只需說明算子是緊的.過程分兩步進(jìn)行．

第一步: 說明算子一致有界.即當(dāng)t∈[0,1]時, 對于任意的x∈Br, 存在常數(shù)ω使得|(Ψx)t|≤ω.由條件6), 對任意t∈[0, 1],x∈Br有

|(Ψx)t|≤

2mΛ1∶=ω,

(10)

由此可知算子Ψ一致有界．

第二步: 驗證算子等度連續(xù).對任意x∈Br,0≤t1

|(Ψx)(t2)-(Ψx)(t1)|≤

(11)

由上式可知當(dāng)t2→t1時, 就有

|(Ψx)(t2)-(Ψx)(t1)|→0．

即算子Ψ在Br內(nèi)等度連續(xù).因此, 由Arzela-Ascoli定理可得, 算子Ψ在Br內(nèi)為緊算子.滿足引理4所需條件.綜上可知邊值問題(1)至少存在一個解.證畢．

3 例子

本節(jié)通過兩個例子驗證主要結(jié)果．

例1考慮下面一類含p-Laplacian算子分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題解的存在性,

(12)

綜上, 滿足定理1所有假設(shè)條件.因此問題(12)至少有一個解．

例2考慮下面一類含p-Laplacian算子分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題解的存在性

(13)

綜上, 滿足定理2所有假設(shè)條件. 因此問題(13)至少有一個解．