基于推理能力發(fā)展的數(shù)學(xué)例題教學(xué)研究

尤維明

[摘? 要] 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中，將推理能力作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的六要素之一，由此確定了推理能力的重要地位. 文章以一道關(guān)于圓的綜合題的教學(xué)為例，從解題障礙成因分析出發(fā)，具體從以下幾方面展開討論：初步審題，找出有價(jià)值的信息;緊扣目標(biāo)，確定解題的突破口;驗(yàn)證猜想，促進(jìn)推理能力發(fā)展;畫圖分析，凸顯圖形依賴關(guān)系;及時(shí)反思，積累解題經(jīng)驗(yàn).

[關(guān)鍵詞] 推理能力;例題教學(xué);圓;解題經(jīng)驗(yàn)

史寧中教授提出：抽象、推理、模型是數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的主要思想，其中，推理能力的培養(yǎng)不能脫離具體的教學(xué)活動(dòng)的支撐[1]. 良好的數(shù)學(xué)推理能力形成于知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程，數(shù)學(xué)思想方法的滲透過(guò)程以及數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程中，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下逐步積累、領(lǐng)悟、內(nèi)省而形成各種能力. 至于教師“教什么”“怎么教”對(duì)學(xué)生的個(gè)人發(fā)展有著直接影響.

例題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，然而在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中卻有部分教師存在“重解題，輕過(guò)程”的行為，淡化了對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力的培養(yǎng)意識(shí). 其實(shí)，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的觀察、思考、拓展不僅能幫助學(xué)生領(lǐng)悟解題的要領(lǐng)，更重要的是能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力.

原題呈現(xiàn)

如圖1所示，AB為☉O的直徑，點(diǎn)C為圓弧AB的中點(diǎn)，BD為☉O的切線，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，點(diǎn)E為OB的中點(diǎn)，CE的延長(zhǎng)線與切線BD相交于點(diǎn)F，AF與☉O相交于點(diǎn)H，連結(jié)HB.

（1）求證：AC=CD;

（2）如果OB=2，求HB的長(zhǎng).

學(xué)生在自主解題過(guò)程中，主要存在以下幾個(gè)問(wèn)題：①只能根據(jù)已知條件提煉出部分簡(jiǎn)單結(jié)論;②思維卡殼，不會(huì)求BF的長(zhǎng);③因?yàn)椴粫?huì)求BF的長(zhǎng)，就憑借直覺(jué)猜想∠FAB=30°，并應(yīng)用該猜想進(jìn)行推理，形成錯(cuò)誤結(jié)論;④雖然正確解題，但在添加輔助線（連結(jié)OC）上花費(fèi)了過(guò)多時(shí)間.

本班學(xué)生的認(rèn)知屬于中等偏上的水平，學(xué)生在解決本題過(guò)程中所暴露出來(lái)的問(wèn)題具有典型性. 結(jié)合學(xué)生的認(rèn)識(shí)水平與解題狀況的分析，可以看出不同層次水平的學(xué)生在推理能力上有著顯著差異，這也給筆者帶來(lái)了一個(gè)啟示，即面對(duì)有一定難度的關(guān)于圓的綜合問(wèn)題，學(xué)生的解題思維需要經(jīng)歷一個(gè)復(fù)雜且曲折的過(guò)程，而非一氣呵成那么簡(jiǎn)單.

本題解題障礙的成因分析

1. 題目本身綜合性高

一般情況下，關(guān)于圓的綜合類問(wèn)題的設(shè)計(jì)，常以圓為整個(gè)問(wèn)題的背景，綜合考查學(xué)生對(duì)幾何知識(shí)的掌握程度，對(duì)學(xué)生的幾何直觀能力、推理能力以及運(yùn)算能力的要求較高，同時(shí)還要考查學(xué)生解題過(guò)程中對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟與應(yīng)用，并對(duì)幾何模型的建構(gòu)提出了要求.

觀察本題，發(fā)現(xiàn)題目不僅涉及與圓相關(guān)的各種概念，如直徑、弦、弧與切線等，還應(yīng)用到各種原理，如圓周角定理、切線性質(zhì)、全等三角形的判定定理、等腰三角形的判定定理與性質(zhì)以及勾股定理等. 學(xué)生只要對(duì)其中一個(gè)定理理解得不夠透徹，就會(huì)影響整道題的解決效果. 由此可見，本題的綜合程度高、考查范圍廣.

2. 學(xué)生解題思維受限

解題過(guò)程中，運(yùn)算會(huì)遵循通用的運(yùn)算法則，程序化的運(yùn)算特征使得學(xué)生遇到運(yùn)算類問(wèn)題時(shí)有章可循. 然而，綜合性高的幾何問(wèn)題，學(xué)生很難從大腦中提取到程序化的通用解題模板，這就需要學(xué)生在題目條件與結(jié)論之間建構(gòu)橋梁，不斷調(diào)整解題思路，找出其中的聯(lián)系[2].

調(diào)整解題思路的過(guò)程，并非順流直下或逆流而上的過(guò)程，而是不斷觀察、分析、推理的過(guò)程，這就需要學(xué)生在分析法與綜合法之間不斷地靈活切換. 解決本題時(shí)，學(xué)生的真實(shí)思維經(jīng)歷了一個(gè)艱辛的探索歷程，若思維缺乏一定的高度與寬度，則很難披荊斬棘，覓到突破口.

3. 教師忽視思維教學(xué)

課堂中，有些教師會(huì)以標(biāo)準(zhǔn)解題過(guò)程來(lái)掩蓋探索結(jié)論的曲折過(guò)程. 教師所提供的標(biāo)準(zhǔn)解題過(guò)程，往往是基于教師本身認(rèn)知水平上所呈現(xiàn)的思考與推理. 對(duì)于學(xué)生而言，因?yàn)檎J(rèn)知水平的差異，導(dǎo)致思考問(wèn)題的方式與起點(diǎn)不一樣，最終對(duì)教師所呈現(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)解題過(guò)程只能說(shuō)出“其然”，卻無(wú)法理解“其所以然”.

面對(duì)教師直接呈現(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)解題過(guò)程，不少學(xué)生會(huì)提出這樣的疑惑：“我為什么看不出這個(gè)結(jié)論？”“老師當(dāng)時(shí)有沒(méi)有遇到和我一樣的障礙，當(dāng)時(shí)他是怎么突破的？”“我的思路與老師不一樣，是不是也有可行性？”這些都是需要教師思考面對(duì)的問(wèn)題，只有基于“以生為本”的基礎(chǔ)上進(jìn)行的引導(dǎo)，才具有實(shí)際意義.

積極探索，培養(yǎng)推理能力

基于以上對(duì)于解題障礙成因的分析，筆者經(jīng)過(guò)精心思考，設(shè)計(jì)了以下教學(xué)活動(dòng)，與同行共勉！

1. 初步審題，找出有價(jià)值的信息

問(wèn)題設(shè)計(jì)：根據(jù)本題所提供的條件信息，大家能獲得哪些結(jié)論？解題需要應(yīng)用到哪些條件？怎樣才能充分發(fā)揮每個(gè)條件的最大作用？

設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生帶著問(wèn)題去重新讀題、審題，對(duì)題目所提供的條件進(jìn)行全面分析，結(jié)合問(wèn)題要求，提煉出可能需要用到的數(shù)學(xué)原理，為建構(gòu)良好的解題思路鋪路搭橋，而教師在此環(huán)節(jié)最重要的任務(wù)是關(guān)注學(xué)生審題后的實(shí)際反饋情況.

為了幫助學(xué)生理清如何提取有用信息的思路，可作如下引導(dǎo)：

問(wèn)題1 觀察圖1，根據(jù)AB為☉O的直徑這個(gè)條件，是否可從圓周角定理著手，推導(dǎo)出半圓所對(duì)的圓周角為直角的結(jié)論？

問(wèn)題2 根據(jù)“BD為☉O的切線，交AC的延長(zhǎng)于點(diǎn)D”這個(gè)條件，是否可結(jié)合圓的切線性質(zhì)定理，聯(lián)想到圓的切線與過(guò)切點(diǎn)的半徑為互相垂直的關(guān)系？

問(wèn)題3 結(jié)合“點(diǎn)C為圓弧AB的中點(diǎn)”，是否能聯(lián)想到等弧所對(duì)的弦也是相等的？

問(wèn)題4 根據(jù)“CE的延長(zhǎng)線與切線BD相交于點(diǎn)F”這個(gè)條件，是否能聯(lián)想到全等三角形相關(guān)知識(shí)？

問(wèn)題5 根據(jù)“AF與☉O相交于點(diǎn)H，連結(jié)HB”這個(gè)條件，可否聯(lián)想到直徑或半圓所對(duì)的圓周角是直角？

問(wèn)題6 根據(jù)“點(diǎn)E為BO的中點(diǎn)”這個(gè)條件，是否能找出特殊圖形關(guān)系？

若學(xué)生在思考以上幾個(gè)問(wèn)題過(guò)程中，表現(xiàn)出對(duì)某個(gè)原理比較陌生的狀態(tài)，就需要教師放慢教學(xué)節(jié)奏，與學(xué)生一起回顧相關(guān)原理，讓學(xué)生從本源上理解這些結(jié)論的來(lái)龍去脈，為解題奠定基礎(chǔ). 同時(shí)，教師還要鼓勵(lì)學(xué)生勇敢地表達(dá)出自己的所思所想，學(xué)生在嘗試用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)的過(guò)程中，會(huì)不斷地提取信息、整理思路、明晰知識(shí)結(jié)構(gòu).

當(dāng)然，解決以上問(wèn)題的過(guò)程，未必能全面地提取到每個(gè)條件所對(duì)應(yīng)的所有價(jià)值，特別是根據(jù)“點(diǎn)E為BO的中點(diǎn)”這個(gè)條件找出相應(yīng)的解題價(jià)值，確實(shí)存在一定難度. 因此，教師應(yīng)從學(xué)生的角度去分析問(wèn)題，從學(xué)生思維的卡殼點(diǎn)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、猜想、嘗試、探索與證明等過(guò)程，尋找新的突破，學(xué)生因親歷整個(gè)結(jié)論的形成與發(fā)展過(guò)程，推理能力自然而然地能得到有效提升.

2. 緊扣目標(biāo)，確定解題的突破口

問(wèn)題設(shè)計(jì)：想要求出HB的長(zhǎng)度，需要先求出哪些線段的長(zhǎng)度？通過(guò)剛才的分析，有沒(méi)有什么條件沒(méi)有發(fā)揮其價(jià)值？

設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)自己原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)來(lái)探索未知，此問(wèn)為學(xué)生的思維提供了明確的方向，讓學(xué)生關(guān)注到關(guān)鍵圖形間的聯(lián)系.

學(xué)生對(duì)Rt△ABF中，雙垂直的背景并不模式，也明白“知二求三”原理. 問(wèn)題是題目只提供了AB的長(zhǎng)，其他數(shù)據(jù)并不知曉，因此，如何求出BF的值是解開本題的關(guān)鍵.

有了明確的目標(biāo)，學(xué)生再次回過(guò)頭來(lái)思考“點(diǎn)E為BO的中點(diǎn)”這個(gè)條件的實(shí)際價(jià)值，將此條件與BF建立聯(lián)系，可分離出一個(gè)重要的基本圖形（見圖2），這為后繼輔助線的添加奠定了基礎(chǔ).

3. 驗(yàn)證猜想，促進(jìn)推理能力發(fā)展

問(wèn)題設(shè)計(jì)1：對(duì)于∠BAF=30°這個(gè)猜想是否可以驗(yàn)證？怎么驗(yàn)證？

設(shè)計(jì)意圖 猜想出來(lái)的結(jié)論并不一定是正確的，驗(yàn)證是確定其是否合理的唯一方法. 此問(wèn)的設(shè)計(jì)，目的是為了讓學(xué)生對(duì)自己的猜想進(jìn)行驗(yàn)證，以確定其是否合理.

學(xué)生面對(duì)此問(wèn)，提出了以下兩種驗(yàn)證方案：

方案1 直接用量角器測(cè)量，發(fā)現(xiàn)結(jié)論并不正確;

方案2 如圖3，作圖驗(yàn)證，具體方法為：分別以點(diǎn)A、F為圓心，BF的長(zhǎng)度為半徑作圓，所獲得的兩圓并非相切的關(guān)系，這與“在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊為斜邊一半”的定理并不匹配，由此可確定這個(gè)猜想是錯(cuò)誤的.

問(wèn)題設(shè)計(jì)2：有沒(méi)有辦法找出和BF相等的線段？并證明.

設(shè)計(jì)意圖 這為學(xué)生提供了觀察猜想的目標(biāo)，鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)證明來(lái)對(duì)猜想進(jìn)行論證，此時(shí)學(xué)生會(huì)將目光投入到圖形中的等線段、對(duì)頂角等特殊條件中，為全等三角形的證明提供依據(jù). 學(xué)生因經(jīng)歷了“方案制定→否定→新方案”的過(guò)程，逐漸深化了對(duì)問(wèn)題的理解.

4. 畫圖分析，凸顯圖形依賴關(guān)系

問(wèn)題設(shè)計(jì)：根據(jù)題目所提供的條件順序，嘗試畫示意圖，思考圖中所呈現(xiàn)的線段長(zhǎng)度是否確定，為什么？

設(shè)計(jì)意圖 畫圖能讓學(xué)生感知圖形的確定性，從而思考圖形關(guān)系對(duì)其確定性具有怎樣的影響.

第一步：如圖4，結(jié)合已知條件，設(shè)AB=2r，那么AC=BC=r;

第二步：如圖5，根據(jù)條件“BD為☉O的切線，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D”，可知BD=2r;

第三步：如圖6，根據(jù)點(diǎn)E為OB的中點(diǎn)這個(gè)條件求CE的長(zhǎng)，可過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線，連結(jié)OC后可以證得它與AB為垂直的關(guān)系，由此可得CE=r;

第四步：如圖7，結(jié)合“CE的延長(zhǎng)線與切線BD相交于點(diǎn)F”的條件，因?yàn)镋B=OE=，tan∠BEF=tan∠CEO=2，所以BF=r，也可以根據(jù)△BEF?△OEC獲得BF=CO=r.

第五步：如圖8，根據(jù)“AF與☉O相交于點(diǎn)H，連結(jié)HB”的條件再結(jié)合以上結(jié)論，在Rt△ABF中，可用r表示AF、AH、BH、FH.

學(xué)生通過(guò)畫圖，對(duì)圖形確定性進(jìn)行定量分析，在作圖活動(dòng)過(guò)程中融入推理過(guò)程，其實(shí)就是逐步解三角形的過(guò)程. 尤其是第四步，對(duì)CE長(zhǎng)進(jìn)行確定與分析時(shí)，輔助線OC就自然生成，此時(shí)，全等的幾何模型就自然形成了.

以上分析僅局限于對(duì)圖象的確定性，不需要求出所有未知幾何元素，我們只要根據(jù)解題需要求出相應(yīng)的未知量即可. 比如在以上分析中，△COE是確定的，由此可得CE的長(zhǎng)度，用三角函數(shù)來(lái)可得出BF的長(zhǎng)度. 在△EBF中，結(jié)合∠BEF與BE的確定性，可以求出BF的長(zhǎng)度. 這是典型的程序化思維模式，其實(shí)從全等的角度出發(fā)，可直接獲得BF的值，這樣就可以省掉一些計(jì)算.

5. 及時(shí)反思，積累解題經(jīng)驗(yàn)

問(wèn)題設(shè)計(jì)1：能否通過(guò)畫圖，獲得解決這一類問(wèn)題的一般程序？

設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生通過(guò)畫圖，感知圖形間的聯(lián)系，對(duì)圖形確定性形成深刻理解，感知數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法在解題中的重要性，如通過(guò)對(duì)集中條件的思考，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成解三角形的問(wèn)題.

幾何問(wèn)題本身就具有一定的開放性特征，若學(xué)生的思維隨著條件無(wú)限發(fā)散出去，而不及時(shí)聚合，那么探索過(guò)程則缺乏明確的目的性，而影響解題效果[3]. 雖然對(duì)關(guān)于圓的綜合題的分析，不像數(shù)與式那樣具有顯著的程序化特征，但也有一定的規(guī)律可循.

問(wèn)題設(shè)計(jì)2：解題中，你們是如何突破思維的障礙點(diǎn)的？由此獲得了什么啟示？

設(shè)計(jì)意圖 再還原思維的障礙點(diǎn)，可以讓學(xué)生反思整個(gè)解題過(guò)程，從中發(fā)現(xiàn)自身思維的優(yōu)缺點(diǎn)，積累良好的數(shù)學(xué)解題經(jīng)驗(yàn).

每個(gè)學(xué)生受各種綜合因素的影響，知識(shí)儲(chǔ)備有著較大差異，那么在思維障礙的成因上也各不相同，個(gè)性化的反思能讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)自身的不足. 從而進(jìn)行有針對(duì)性的訓(xùn)練與調(diào)整，為掌握良好的解題技巧奠定基礎(chǔ).

總之，從本例題教學(xué)中，可以看出學(xué)生真實(shí)的認(rèn)知水平與思維過(guò)程，這種教學(xué)模式使得整個(gè)課堂充滿了“原生態(tài)”的味道，學(xué)生因親歷了整個(gè)探索與推理的過(guò)程，不僅有效地發(fā)展了自身的數(shù)學(xué)思維與推理能力，還促進(jìn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展.

參考文獻(xiàn)：

[1] 史寧中. 試論數(shù)學(xué)推理過(guò)程的邏輯性——兼論什么是有邏輯的推理[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2016，25（04）：1-16，46.

[2] 中華人民共和國(guó)教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[3] 拉爾夫·泰勒. 課程與教學(xué)的基本原理[M]. 施良方，譯. 北京：人民教育出版社，1994.