“數與代數”領域五年級學生幾何直觀測評分析

鄭華恒 唐靜

［摘 要］“數與代數”是促進學生形成幾何直觀的重要課程內容。分析學生在學業(yè)質量測試的答題情況，發(fā)現“數與代數”課程內容的特殊性、幾何直觀學業(yè)測評滯后、讀圖與作圖的失衡是導致學生幾何直觀素養(yǎng)較差的主要原因。文章從理念更新、教材編寫、課堂教學、作業(yè)設計、評價改進等方面進行了探討，以促進學生幾何直觀素養(yǎng)的發(fā)展。

［關鍵詞］幾何直觀能力；學業(yè)質量監(jiān)測；數與代數

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2023）02-0016-04

幾何直觀，即運用圖表描述和分析問題的意識與習慣?！皵蹬c代數”領域占據小學數學課程內容的半壁江山，在發(fā)展學生幾何直觀中起著重要作用。下面將通過觀察學生在“數與代數”領域運用幾何直觀解決實際問題的真實表現，了解學生幾何直觀發(fā)展狀況，為發(fā)展學生幾何直觀提供參考，進而實現學生深度的“學”與教師深度的“教”。

一、幾何直觀：一種重要的數學素養(yǎng)

檢索《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標”），“幾何直觀”出現了48次。同時，幾何直觀也是眾多學者重點關注的研究對象，表1是一些學者關于幾何直觀的代表性觀點。

幾何直觀主要有兩層含義：一是用數代形；二是以形助數。在“數與代數”領域，幾何直觀將數的概念的建立、數的運算的算理及算法形象化，將問題解決的思路可視化，幫助學生深刻理解數學的本質。比如，教師常常借助數線模型引導學生強化整數、小數、分數等數的概念的理解；借助面積模型幫助學生理解整數乘除、分數乘除等算理及算法。在“數與代數”領域，考查學生的幾何直觀有三個方面：一是能否借助幾何直觀理解數學概念，二是能否借助幾何直觀描述和分析數的運算，三是能否借助幾何直觀尋找解決問題的思路。

二、原題重現：學生畫得怎樣？

2022年重慶市江津區(qū)五年級學生學業(yè)質量監(jiān)測試卷中有這樣一道題（如圖1）：

1.分數的教學要求

分數概念是高年段“數與運算”的重要內容，2022年版課標在第三學段“數與運算”中提出了如下部分要求：一是內容要求，結合具體情境探索并理解小數和分數的意義，感悟計數單位；二是學業(yè)要求，能用直觀的方式表示分數和小數；三是教學提示，在初步認識小數和分數的基礎上，引導學生在具體情境中，理解小數和分數的意義，感悟計數單位。

分數具有表示[部分整體]、比率和商等多重意義，各版本教材也都對分數的多重意義進行了設計?？梢姡?022年重慶市江津區(qū)五年級學生學業(yè)質量監(jiān)測試卷第21題是要求學生在作圖中直觀感悟單位“1”和分數單位，讓學生溝通分數與除法的關系，促進學生對分數概念的進一步理解。

2.整體完成情況

2022年重慶市江津區(qū)五年級共7426名學生參加了測評，總體情況如表2所示。

全卷與本題區(qū)分度都高于0.4，區(qū)分度較好；相比全卷而言，本題在難度上偏大，但還在學生可接受范圍內，用于考查五年級學生幾何直觀素養(yǎng)是可行的。

3.不同層次的學生表現

有83.14%的學生是用了基本做法（如圖2），他們的解題思路大致為：把[34] cm2理解為3 cm2的[14]，即把3 cm2的長方形平均分成4份，借助除法“3除以4”畫出圖形。

有58.04%的學生有不一樣的做法（如圖3），他們的解題思路大致為：把[34] cm2理解為1 cm2的[34]（先把3 cm2平均分成3份，每份表示1 cm2；再把1 cm2平均分成4份，取這樣的3份）。

有12.04%的學生完全做錯，或者根本就不會做。更值得關注的是，就作圖效果上看，學生大多不用工具（直尺、鉛筆等），圖形不規(guī)范的現象較為普遍。

三、影響因素：學生的學習障礙在哪？

1.數與代數的特殊性導致直觀表達困難

已有研究表明，學生的幾何直觀在課程內容上的表現差異較大。西南大學張和平對1093 名小學生進行測查分析，發(fā)現小學生在“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”領域表現較好，在“數與代數”領域表現較差。河北科技師范學院曹現榆通過實證研究也發(fā)現，學生在“圖形與幾何”領域得分率為 0.81，在“統(tǒng)計與概率”領域得分率為 0.73，而在“數與代數”領域的得分率僅為 0.46。在實際的課堂教學中，大多數教師認為發(fā)展學生幾何直觀能力更多的是在“圖形與幾何”領域，而忽視在“數與代數”領域中進行滲透。殊不知，“數與代數”課程內容的學習更強調逐步抽象、理解算理算法、推理驗證。

學生在上述測試題中表現不佳，跟分數本身的抽象性和復雜性有關。受限于教材給出的定義“把單位‘1’平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數，叫作分數”，學生的學習傾向于強調對單一整體作為單位“1”的認識，忽視對集合整體作為單位“1”的認識；教師的教學傾向于強調理解教材給定的概念，而忽視分數與除法的關系教學。因此，部分學生在做監(jiān)測試卷第21題時慣性默認長方形為單位“1 ”，將其平均分成4份，涂了其中的3份；部分學生不能很好地將分數與除法建立聯(lián)系，因此不能想到圖3的畫法。在實際教學中，學生直觀表示假分數也有困難。比如，學生由于無法將數軸上的0～2合并看成單位“1”，就認為在數軸0～2內無法表示出[54]；當要求用圓表示[53]時，學生因為不能理解要利用兩個同樣大小的圓來表示，而感到束手無策。

2.學業(yè)測評的滯后導致學與教動力不足

相對而言，幾何直觀在“數與代數”領域的測評還未引起重視。幾何直觀測試題更多是分布在“圖形與幾何”和“統(tǒng)計與概率”領域，“數與代數”領域安排過少。加之，基層學校苦于沒有科學有效的測評工具，缺乏可靠、合理和多樣的幾何直觀測評題目，造成幾何直觀測評難以開展。測試題大多基于簡單思維的“讀懂圖”，而不是高階思維的“作出圖”。比如，根據圖示寫算式的多，而根據算式畫圖的少；根據線段圖分析數量關系的多，而根據問題情境畫圖分析數量關系的少。幾何直觀的測評相對滯后導致學與教動力不足，使“數與代數”領域對學生幾何直觀的發(fā)展作用未能很好發(fā)揮。

又如，分數概念的測試更多的是這類形式的填空題：把3米長的彩帶平均分成4段，每段占全長的（? ? ），每段長（? ? ）米。

這樣的填空題考查學生對具體情境中分數不同意義的理解，是比較好的典型試題，應該繼續(xù)保留。2022年重慶市江津區(qū)五年級學生學業(yè)質量監(jiān)測試卷第21題的樣態(tài)，不僅是題型的改變，更是一種對幾何直觀素養(yǎng)的倡導。從后續(xù)的師生訪談上看，這樣的改變受到了師生的普遍歡迎，學生認為“更有意思”“更有挑戰(zhàn)”，教師認為“更能考出真實水平”“更能綜合呈現學生的數學學習水平”“更能可視化地展現學生對分數意義的理解”。

3.讀圖與作圖的失衡導致幾何直觀能力較弱

會讀圖與能作圖，是學生幾何直觀的重要表現。讀圖是作圖的基礎，作圖是讀圖的進一步發(fā)展；作圖能力也會在更深層次上影響讀圖能力的發(fā)展；讀圖與作圖能力協(xié)調發(fā)展更有利于學生幾何直觀能力的提升。學生目前的情況是讀圖與作圖“兩條腿”的步調并不一致，形成的原因有以下兩個方面。

一方面，將圖表局限于“輔佐”地位。教材在數的概念理解、算理解讀、問題解決中有大量的直觀圖表，使學生對圖表大多停留在“讀懂”階段，只通過“讀懂”圖表理解知識、突破難點。學生用眼觀察多，動手實踐少，導致獨立作圖、列表分析的能力較弱。另一方面，忽視作圖規(guī)范。學生作圖隨意、不規(guī)范、不嚴謹，作圖水平不高、效果不佳。

由此就引發(fā)了一系列問題，如雖然教師引導學生“畫一畫更清楚”，但學生仍然很少主動提筆作畫。在學生心里，作圖是“圖形與幾何”的事，列表是“統(tǒng)計與概率”的事，“數與代數”就不用湊熱鬧了；學生還認為，作圖是“老師教的手段”，而不是“我要學到的方法”。教師知道畫圖、列表是一項重要的學習能力，也希望學生動手畫圖、列表，但在課堂實踐中卻沒有很好地落實，在課內與課外也沒有很好地設計畫圖或列表的作業(yè)。這就正如特級教師劉善娜所說，我們要的是“圖”的效用，缺的卻是“畫”的能力訓練。

四、改進策略：“數與代數”領域發(fā)展學生幾何直觀的可能路徑

“數與代數”是發(fā)展學生幾何直觀的重要載體，但學生在此領域的表現較差。在“數與代數”領域發(fā)展學生的幾何直觀，除了要夯實數與運算、數量關系等基礎知識，還應在理念更新、教材編寫、課堂教學、作業(yè)設計、評價改進等方面協(xié)同努力。

1.理念更新：認識到幾何直觀對于學習的多重意義

直觀，是數學發(fā)現的先導，也是學生先天具有的學習潛質。幾何直觀不僅是一種能力，更是學生學習數學的一種思維方式。以“數與代數”課程內容為載體，發(fā)展學生幾何直觀，應該以呵護學生先天的直觀潛質為起點，以后天有效提升幾何直觀素養(yǎng)為方向，促進學生達到“用形象思維洞察”的高階水平。在培養(yǎng)策略上，加強讀圖、作圖教學，比如，通過數形結合建立形與數的聯(lián)系，利用圖表來直觀理解數的概念和運算，分析數量關系，刻畫變量間的復雜關系，探索解決問題的思路，厘清思維路徑，構建數學問題的直觀模型，等等。因此，教師要強化數形結合，豐富學生觀察、操作、想象、推理、表達等數學活動，注重技能訓練，使學生逐步養(yǎng)成畫圖、列表等習慣。

2.教材編寫：為學生提供更多直觀表達的機會

教師可適量增加教材例題的動態(tài)作圖過程，統(tǒng)籌呈現讀圖與作圖，即對教材上靜態(tài)的直觀圖表，教師要化靜為動，以此引導學生感悟直觀表達的過程。圖4展示的是教材例題及其對應的課堂活動，是一個比較好的范例。

教材的例題是用面積模型直觀呈現問題情景，兩幅連續(xù)的圖和不同的色塊動態(tài)顯示兩次平均分的過程，幫助學生理解分數乘分數的算理；“課堂活動”的第2題和第3題是讓學生用“折”“畫”“涂”等實踐性操作進一步直觀理解分數乘分數的算理。教材的例題與課堂活動互相呼應，體現了學生學練一致性。

3.課堂實踐：給予直觀表達足夠的時空

課堂教學是發(fā)展學生幾何直觀的重要陣地。積極解決“課時太緊張，沒時間去探究”“怎樣的學習材料更直觀”“培養(yǎng)學生作圖有何技巧”等現實問題，就顯得很有意義。首先，加強區(qū)縣教研和校本研討。整理并分析幾何直觀在“數與代數”領域各年級教材中的體現，有針對性地滲透幾何直觀；整合學科內容，靈活調配內部課時，增補相應的讀圖、作圖等重要的幾何直觀內容。其次，加強自我實踐與課例研討。教師要進行幾何直觀典型課例研究，并分享幾何直觀教與學兩個層面的經驗。最后，發(fā)揮幾何直觀優(yōu)勢，營造直觀表達的學習環(huán)境。展示學生的不同作品，解析優(yōu)秀作品“好在哪里”，指出缺陷作品“哪里要改”，激勵學生主動采取幾何直觀的方式去處理真實的數學問題。

4.作業(yè)設計：從讀圖走向作圖

作業(yè)是學生自主發(fā)展幾何直觀的實踐載體。設計作業(yè)時要給學生增加“畫數學”的機會，如習題從單一的列式計算走向豐富的直觀分析；引導學生從習慣讀圖走向習慣作圖，促進思維可視化。為體現幾何直觀的進階性，在不同學段可對學生有不同的要求：第一學段，作圖表達簡單的數量關系，以及認數、認識時間，感悟數量關系，增強數感和時間感；第二學段，作圖表征分數、小數及其大小比較，用圖示表征題意，厘清四則運算的關系，鞏固積、商的變化規(guī)律；第三學段，聚焦分數、百分數概念的理解及其難題的分析，如畫線段圖表征分段計費，用面積模型表征分數乘除法算理，用思維導圖表征主題單元內容體系，等等。

5.評價導向：科學設置測評內容

幾何直觀是學業(yè)測評的重要內容。根據2022年版課標中的“學業(yè)要求”和“教學要求”，科學設置測評內容能有效促進教師改進教學和落實學生深度學習的發(fā)生?！皵蹬c代數”領域關于小學生幾何直觀測評包括“數與運算”“數量關系”兩大主題；用圖示或符號來表示整數、分數、小數的意義及其大小比較；用圖示表示數的運算；讀懂圖示并列出算式；會畫圖或列表分析較復雜的問題情境，解決生活中碰到的數學問題。下面給出３道測試題供大家參考（如圖5）。

[ 樣題1：為了提高大家的環(huán)保意識，學校組織了一次收集廢紙活動。四年級收集了32千克廢紙，五年級收集的廢紙比四年級的2倍多9 千克。在下圖中，畫出表示五年級收集廢紙千克數的線段。

[樣題2：下圖是長方形紙條從正方形的左邊向右邊直線運行的局部關系圖。已知紙條每秒運行 2 cm，請把下圖中運行時間與長方形、正方形重疊面積的關系圖畫完整，并給出你的理由。

綜上所述，“數與代數”領域發(fā)展學生幾何直觀有著其特殊的意義與作用。教師要精選或改編“數與代數”領域的課程內容，豐富學生幾何直觀數學活動經驗，強化作圖、列表的技能訓練，幫助學生既能讀圖，又會作圖。如此，學生幾何直觀在“數與代數”領域才有長足的發(fā)展。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 曹現榆. 小學高年級學生幾何直觀能力的現狀調查研究[D].秦皇島：河北科技師范學院，2022.

[2] 劉善娜. 把數學畫出來：小學畫數學教學實踐手冊[M].北京：教育科學出版社，2019.

[3] 張和平. 小學生幾何直觀能力測評模型的構建研究[D].重慶：西南大學，2018.

【本文系中國教育學會2021年度教育科研規(guī)劃課題“‘雙減’政策背景下中小學單元作業(yè)設計的實踐研究”（課題編號：202102001801B）階段性研究成果?！?/p>

（責編 金 鈴）