學(xué)科育人視域下數(shù)學(xué)思想教學(xué)的思考與探索

程茂山

［摘 要］數(shù)學(xué)思想承載著獨(dú)特的學(xué)科育人價值。數(shù)學(xué)思想的教學(xué)應(yīng)遵循滲透性、漸進(jìn)性、反復(fù)性等原則。數(shù)學(xué)思想的教學(xué)策略包括：研讀教材，挖掘數(shù)學(xué)思想，將數(shù)學(xué)思想滲透在教學(xué)設(shè)計(jì)中，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成過程，帶領(lǐng)學(xué)生回顧學(xué)習(xí)過程，讓學(xué)生在練習(xí)中多次運(yùn)用知識以加深理解。

［關(guān)鍵詞］數(shù)學(xué)思想；育人價值；教學(xué)原則；教學(xué)策略

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2023）02-0096-03

自提出“四基”目標(biāo)以來，數(shù)學(xué)思想在教學(xué)中的滲透得到了明顯重視。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“課程標(biāo)準(zhǔn)”）進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)了“四基”的落實(shí)要求，同時在對學(xué)科核心素養(yǎng)的解讀中，闡明了數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要體現(xiàn)。然而，在日常教學(xué)中，仍然有部分教師對數(shù)學(xué)思想的理解不到位，因此，有必要加強(qiáng)對數(shù)學(xué)思想及其教學(xué)的思考與探索。

一、數(shù)學(xué)思想的育人價值

1.提升思維品質(zhì)

教學(xué)中有機(jī)滲透數(shù)學(xué)思想可以加深學(xué)生對數(shù)學(xué)概念、法則、公式等的理解，讓學(xué)生學(xué)會舉一反三，同時，能夠?qū)崿F(xiàn)學(xué)生思維品質(zhì)的提升。

比如，數(shù)學(xué)抽象思想是指對現(xiàn)實(shí)世界中具有數(shù)量關(guān)系和空間形式的事物進(jìn)行加工，提煉出本質(zhì)屬性的過程，在這一過程中需要經(jīng)歷觀察、比較、分析、取舍、概括等思維活動。因此，抽象思想能讓人把握事物之間的聯(lián)系，全面細(xì)致地思考和分析問題，進(jìn)而培養(yǎng)思維的廣度；抽象思想還能讓人透過表面現(xiàn)象去把握問題的本質(zhì)，達(dá)到對事物的深刻理解，進(jìn)而培養(yǎng)思維的深度。一個人有了良好的思維品質(zhì)，思考問題的深度和速度都會大有改善。

2.培養(yǎng)核心素養(yǎng)

課程標(biāo)準(zhǔn)中明確了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的構(gòu)成，即“三會”：會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界?！叭龝庇址謩e主要表現(xiàn)為抽象能力、推理意識、模型意識。因此，教學(xué)中把數(shù)學(xué)思想的滲透落實(shí)到位，能夠有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識、理性精神和應(yīng)用能力，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力。

3.促進(jìn)終身發(fā)展

人的發(fā)展固然與很多因素有關(guān)，但自身素養(yǎng)尤為重要。一個人在學(xué)生時代會學(xué)習(xí)很多數(shù)學(xué)知識，但隨著時光的流逝，這些知識都會被逐漸淡忘。多年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最終給人留下的是銘刻在腦海中的數(shù)學(xué)精神、思想和方法，這些將對人產(chǎn)生深遠(yuǎn)影響，使人客觀理性、思維敏捷、條理清晰，使人的修養(yǎng)得到提高，更好地理解、領(lǐng)略和創(chuàng)造現(xiàn)代社會文明。

一個人無論從事什么職業(yè)，數(shù)學(xué)思想對其成長以及終身發(fā)展都有著不可估量的促進(jìn)作用。

二、數(shù)學(xué)思想的教學(xué)原則

1.滲透性原則

小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容既有數(shù)學(xué)知識也有數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)知識是顯性的，明明白白地寫在教材里，反映著知識間的縱向聯(lián)系；而數(shù)學(xué)思想是隱性的，蘊(yùn)含在知識里，反映著知識間的橫向聯(lián)系。因此，數(shù)學(xué)思想的教學(xué)必須依托數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，在知識教學(xué)的過程中進(jìn)行有機(jī)滲透。教學(xué)中，教師首先要挖掘知識點(diǎn)背后隱藏的數(shù)學(xué)思想，通過精心創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境、設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)活動，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識“再發(fā)現(xiàn)”的過程，讓學(xué)生在建構(gòu)知識的過程中感悟數(shù)學(xué)思想，并在潛移默化中領(lǐng)會和掌握數(shù)學(xué)思想。

2.漸進(jìn)性原則

數(shù)學(xué)思想的掌握需要經(jīng)歷一個從個別到一般、從低級到高級的螺旋上升的過程，需要在不同階段、不同內(nèi)容中逐步滲透才能實(shí)現(xiàn)。比如，抽象思想按照抽象程度可以分為三個階段：簡約階段—符號階段—普適階段，說明對不同年級的學(xué)生在抽象思想的滲透上是有不同要求的。

其實(shí)，學(xué)生對于任何一種數(shù)學(xué)思想的理解和掌握，基本都要經(jīng)歷一個從潛意識到明朗化，再到深刻理解與靈活運(yùn)用的過程。教學(xué)應(yīng)該由淺入深、由低到高、循序漸進(jìn)，這既符合數(shù)學(xué)思想的發(fā)展規(guī)律，也符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

3.反復(fù)性原則

數(shù)學(xué)思想相比于數(shù)學(xué)知識，顯得更加抽象，知識教學(xué)一次學(xué)生就可能掌握，數(shù)學(xué)思想學(xué)生感悟一次難留蹤跡。比如，教師教學(xué)了長方形面積公式的推導(dǎo)，學(xué)生經(jīng)歷了歸納推理的過程，如果此后教學(xué)中不再涉及這部分知識，學(xué)生可能只記得長方形的面積公式，但沒有形成歸納意識。同一種數(shù)學(xué)思想只有經(jīng)過反復(fù)感悟，才能逐步達(dá)到深刻理解與自覺運(yùn)用的程度。因此，教師要增強(qiáng)意識，日復(fù)一日地在每一單元、每一節(jié)課的教學(xué)中反復(fù)挖掘和滲透數(shù)學(xué)思想。

三、數(shù)學(xué)思想的教學(xué)策略

1.在教材研讀中挖掘

數(shù)學(xué)知識在教材中是直接呈現(xiàn)的，而其中隱含的數(shù)學(xué)思想在教材中沒有直接呈現(xiàn)，需要教師在充分研讀教材的基礎(chǔ)上去挖掘。很多教師在課堂教學(xué)中沒有滲透數(shù)學(xué)思想，主要原因是課前缺乏對教材的研究，不知道要滲透什么數(shù)學(xué)思想。因此，研讀教材，挖掘數(shù)學(xué)思想是落實(shí)數(shù)學(xué)思想教學(xué)的第一步。

教材中無論是例題還是練習(xí)題，都隱含著數(shù)學(xué)思想。例如，蘇教版教材四年級上冊“認(rèn)識垂線”的主題圖（如圖1）：

主題圖可分為上下兩部分，上部分是場景圖，呈現(xiàn)現(xiàn)實(shí)生活中兩條直線相交的實(shí)例，下部分是相應(yīng)的三組平面圖形。仔細(xì)該圖分析就會發(fā)現(xiàn)：下部分的平面圖形是由上部的場景圖抽象而來的；三組相交直線中，第一組是一般情況，后兩組直線都互相垂直；互相垂直的兩組直線的方位不同。這樣的安排體現(xiàn)了逐步抽象的過程：第一步由生活場景抽象出平面圖形；第二步從相交中分離出互相垂直；第三步舍棄互相垂直的非本質(zhì)特征方位，抽象出本質(zhì)特征。如果教師在鉆研教材時能關(guān)注到這幾點(diǎn)，便可引導(dǎo)學(xué)生在經(jīng)歷逐步抽象的過程中深度理解概念，感悟抽象思想。

2.在教學(xué)設(shè)計(jì)中體現(xiàn)

教學(xué)設(shè)計(jì)是教學(xué)實(shí)施的前提和依據(jù)，要想把數(shù)學(xué)思想的教學(xué)落到實(shí)處，將其具體體現(xiàn)在教學(xué)設(shè)計(jì)中是重要一環(huán)。教師在教學(xué)預(yù)案的設(shè)計(jì)過程中，應(yīng)做到三點(diǎn)。一是把數(shù)學(xué)思想的滲透納入教學(xué)目標(biāo)之中。如，“加法交換律和結(jié)合律”的教學(xué)目標(biāo)之一是使學(xué)生經(jīng)歷探索和發(fā)現(xiàn)加法運(yùn)算律的過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、抽象、概括和歸納等能力，初步發(fā)展學(xué)生的符號意識。二是把數(shù)學(xué)思想的滲透體現(xiàn)在教學(xué)過程的設(shè)計(jì)之中。首先要思考本節(jié)課要滲透的數(shù)學(xué)思想的基礎(chǔ)，即學(xué)生處于哪個認(rèn)知階段。如教學(xué)“梯形的面積”之前，學(xué)生經(jīng)歷過平行四邊形、三角形面積公式的推導(dǎo)過程，對轉(zhuǎn)化思想比較熟悉，就可以通過回顧和類比，放手讓學(xué)生去嘗試。其次是學(xué)習(xí)活動的設(shè)計(jì)，重點(diǎn)考慮如何讓學(xué)生從數(shù)學(xué)思想的高度經(jīng)歷知識的形成過程，對于情境創(chuàng)設(shè)、問題設(shè)置、學(xué)習(xí)方式、時間分配等都要精雕細(xì)琢。三是精心設(shè)計(jì)一些與本課有關(guān)的數(shù)學(xué)思想的實(shí)際問題，讓學(xué)生及時鞏固。

3.在知識建構(gòu)中感悟

數(shù)學(xué)思想往往蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)概念、命題等的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用過程之中。因此，學(xué)生只能在經(jīng)歷知識的形成過程中通過自身感悟獲得數(shù)學(xué)思想。教學(xué)中，教師要向?qū)W生提供豐富、典型、合理的素材，組織和引導(dǎo)學(xué)生在獨(dú)立思考、動手操作和合作交流中，通過觀察、比較、操作、猜想、驗(yàn)證等一系列學(xué)習(xí)活動，經(jīng)歷抽象、推理、建模等認(rèn)知過程，才能使學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識技能的同時深入數(shù)學(xué)的“靈魂深處”，真正領(lǐng)略數(shù)學(xué)的精髓——數(shù)學(xué)思想方法。

【教學(xué)案例】蘇教版教材四年級上冊“簡單的周期”的教學(xué)片段

片段一：觀察發(fā)現(xiàn)，歸納規(guī)律。

師：觀察圖2，盆花是按什么規(guī)律排列的？

（學(xué)生通過圈一圈、畫一畫發(fā)現(xiàn)排列規(guī)律）

生1：每3盆為一組，每組都是按照“藍(lán)花、黃花、紅花”的順序排列的。

生2：是一組一組重復(fù)出現(xiàn)的。

師：要是接著往下排，第5組是怎樣排列的呢？第10組呢？

（學(xué)生獨(dú)立思考、討論交流后作答）

生3：不管第幾組，其排列順序都和第一組一樣。

師：彩燈的排列又有著什么樣的規(guī)律呢？

（學(xué)生觀察、操作后發(fā)現(xiàn)：彩燈每4盞為一組，每組都是按“紅燈、紫燈、綠燈、紫燈”的順序排列）

師：彩旗又是如何排列的呢？

（學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)其排列規(guī)律）

片段二：回顧比較，抽象概念。

師：比較盆花、彩燈和彩旗的排列規(guī)律，說說它們有什么相同的地方。

（學(xué)生回顧三種物體的排列規(guī)律，經(jīng)討論，發(fā)現(xiàn)共同點(diǎn)：幾個一組、有序排列、重復(fù)出現(xiàn)）

師（引出概念）：像上面這樣同一事物依次重復(fù)出現(xiàn)叫作周期現(xiàn)象。你能說說生活中的周期現(xiàn)象嗎？

（學(xué)生列舉生活事例）

片段一中，重點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生探究盆花的排列規(guī)律，在這一學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生經(jīng)歷了歸納推理的過程。片段二中，筆者引導(dǎo)學(xué)生回顧和比較三種物體的排列規(guī)律，其實(shí)，這是一個抽象的過程，舍棄了物體不同、排列順序不同等非本質(zhì)特征，提取出它們共同具有的本質(zhì)特征。經(jīng)歷了這樣的探究過程，學(xué)生對周期現(xiàn)象的深刻感悟讓概念形成水到渠成，有機(jī)滲透了推理、抽象等數(shù)學(xué)思想。

4.在回顧反思中形成

學(xué)生對數(shù)學(xué)思想的感悟需要經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動過程，而數(shù)學(xué)思想形成的關(guān)鍵在于對學(xué)習(xí)過程的回顧、總結(jié)和概括，這一過程是為了讓學(xué)生具體體會數(shù)學(xué)思想的使用特點(diǎn)和內(nèi)在價值，增強(qiáng)學(xué)生的運(yùn)用意識。沒有這個過程，學(xué)生在解決具體問題中產(chǎn)生的具體策略或方法就不能推廣到一般情況，也難以在解決類似問題時得到有效遷移。在實(shí)際教學(xué)中，教師至少要讓學(xué)生經(jīng)過兩個環(huán)節(jié)的回顧反思，首先，在學(xué)生解決某一問題之后，要引導(dǎo)他們對解決這一問題的過程進(jìn)行回顧反思；其次，要特別安排學(xué)生回顧在過去的學(xué)習(xí)中，應(yīng)用該數(shù)學(xué)思想解決過哪些問題。例如，筆者在教學(xué)蘇教版教材五年級下冊“解決問題的策略——轉(zhuǎn)化”中的“比較兩個不規(guī)則平面圖形的大小”時，引導(dǎo)學(xué)生通過操作將其轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形進(jìn)行比較，之后進(jìn)行反思。

【教學(xué)案例】教學(xué)“比較兩個不規(guī)則平面圖形的大小”之后的反思環(huán)節(jié)

師：回顧解決問題的過程，你有什么體會？

生1：有些不規(guī)則圖形可以轉(zhuǎn)化成簡單的規(guī)則圖形。

生2：圖形轉(zhuǎn)化時可以運(yùn)用平移、旋轉(zhuǎn)等方法。

生3：轉(zhuǎn)化后的圖形與原來的相比，形狀變了，大小不變。

（學(xué)生經(jīng)過回答，自然明白轉(zhuǎn)化的原理、方法和好處）

師：在以前的學(xué)習(xí)中，我們曾經(jīng)運(yùn)用轉(zhuǎn)化策略解決過哪些問題？

生4：計(jì)算異分母分?jǐn)?shù)加減法、圖形面積公式的推導(dǎo)、小數(shù)乘法計(jì)算等。

（在此基礎(chǔ)上，筆者引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想的幾種情況，如不規(guī)則→規(guī)則、復(fù)雜→簡單、未知→已知）

通過回顧反思，學(xué)生感受了轉(zhuǎn)化思想應(yīng)用的廣泛性，對轉(zhuǎn)化思想的內(nèi)涵、特點(diǎn)、價值理解得更加深刻。

5.在實(shí)踐運(yùn)用中深化

學(xué)生要想真正掌握數(shù)學(xué)思想，需要在多次運(yùn)用中加深理解、把握本質(zhì)、感受價值、增強(qiáng)意識。教學(xué)中要做到以下三點(diǎn)。

一是及時進(jìn)行鞏固練習(xí)。教師要有意識地引導(dǎo)學(xué)生做一些針對性的鞏固練習(xí)，可以是課本上的練習(xí)題，也可以是教師自己精心設(shè)計(jì)的練習(xí)題。

二是隨時在練習(xí)中滲透。課本上大量的練習(xí)題中蘊(yùn)含著各種數(shù)學(xué)思想，有些是明顯的，有些是隱藏的，教師要隨時捕捉習(xí)題中隱藏的數(shù)學(xué)思想，引導(dǎo)學(xué)生理解題意、解決問題，感悟其中的數(shù)學(xué)思想。

三是解決生活問題。教師要引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析、思考和解決生活中的問題，這將給學(xué)生帶來有益的指導(dǎo)和幫助。

總之，數(shù)學(xué)思想作為個體認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重要組成部分，對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、智慧生成、素養(yǎng)提升都有很大作用。教師要充分認(rèn)識數(shù)學(xué)思想的價值，高度重視數(shù)學(xué)思想教學(xué)的實(shí)施，并努力為學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展奠定基礎(chǔ)。

（責(zé)編 楊偲培）