靈活應(yīng)用教材 優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)

胥婷

[摘 ?要] 把握教材編寫意圖，圍繞教材組織教學(xué)活動，已然成為廣大教育工作者的共識. 但教材所呈現(xiàn)的內(nèi)容是平面的、固化的，這與多維的、靈動的教學(xué)活動形成了鮮明的對比. 文章從幾個(gè)教學(xué)實(shí)例出發(fā)，認(rèn)為靈活應(yīng)用教材，優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)可從以下幾點(diǎn)出發(fā)：拓展背景，體驗(yàn)知識形成過程;制造沖突，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力;改編教材，凸顯知識核心價(jià)值.

[關(guān)鍵詞] 教材;應(yīng)用;知識;認(rèn)知;優(yōu)化

新課標(biāo)提出，高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)應(yīng)以多種形式的活動，引發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的體驗(yàn)與發(fā)現(xiàn)，開發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識. 教材作為教學(xué)活動實(shí)施的標(biāo)準(zhǔn)與載體，是引發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作探究的“資源庫”. 鑒于此，教師應(yīng)充分挖掘教材潛在的教學(xué)價(jià)值，將靜態(tài)教材激活成動態(tài)資源，引發(fā)學(xué)生有效探究，體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識發(fā)現(xiàn)與再創(chuàng)造過程.

拓展背景，體驗(yàn)知識形成過程

觀察發(fā)現(xiàn)，教材引出概念、定義、法則時(shí)，一般不會呈現(xiàn)其形成過程與產(chǎn)生背景，即使有，也比較簡單，不會將其形成的全過程暴露出來，甚至有些關(guān)于概念的邏輯結(jié)構(gòu)與思想方法也未能盡詳. 當(dāng)然，這并非編者的疏忽，而是每個(gè)概念、定理、法則的發(fā)現(xiàn)與證明都經(jīng)歷了一個(gè)漫長的歷史過程，不便于教材呈現(xiàn).

因此，作為教師，應(yīng)在研究學(xué)生與教材的基礎(chǔ)上，選擇合適的方法，將復(fù)雜的問題簡單化處理，化抽象為直觀，讓知識變得更具親和力;應(yīng)根據(jù)學(xué)情與教學(xué)內(nèi)容，對教材加以拓展，讓學(xué)生在課堂中感知知識的形成與發(fā)展過程，為建構(gòu)完整的認(rèn)知體系奠定基礎(chǔ)[1].

案例1 “零點(diǎn)存在定理”的教學(xué)

探究1：函數(shù)f（x）=x2+2x-1存在零點(diǎn)嗎？若存在，是多少？

師：在數(shù)學(xué)發(fā)展歷程中，大家都非常希望能用簡單的方法求解高次方程，就像求解低次方程一樣. 經(jīng)過長期不懈的努力，在1824年，挪威一位數(shù)學(xué)家N.H.Abel證明出5次以上的方程沒有根式解. 今天，我們是否有其他辦法來判定一個(gè)函數(shù)有沒有零點(diǎn)呢？

生1：從等價(jià)關(guān)系來看，借助函數(shù)圖象的性質(zhì)，即可知道函數(shù)是否存在零點(diǎn).

探究2：如圖1所示，這是某區(qū)域0～12時(shí)的氣溫變化圖，若氣溫呈連續(xù)變化趨勢，你們能否用兩種曲線將本圖補(bǔ)充成完整的函數(shù)圖象？在此時(shí)間段內(nèi)，有沒有某一刻的溫度是0 ℃？理由是什么？

教師設(shè)計(jì)以上兩個(gè)探究活動，目的是啟發(fā)學(xué)生思維，讓學(xué)生大膽猜想與嘗試. 隨著多種方法的呈現(xiàn)，課堂探究熱情達(dá)到了高潮，呈現(xiàn)出了意料之外的精彩：學(xué)生探究出了“零點(diǎn)是否存在”這個(gè)問題的結(jié)論——“區(qū)間內(nèi)不但存在單一零點(diǎn)的函數(shù)圖象，也存在多個(gè)零點(diǎn)的函數(shù)圖象”. 筆者將典型的結(jié)論一一投影到電子白板上，供學(xué)生參考，如圖2、圖3所示.

探究3：若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上存在f（a）f（b）<0，問該函數(shù)在（a，b）內(nèi)是否一定存在零點(diǎn)？

探究活動中，學(xué)生提出：函數(shù)f（x）=于[-1，1]上，存在f（-1）·f（1）<0，但是f（x）=在（-1，1）內(nèi)并不存在零點(diǎn).

探究4：函數(shù)y=f（x）滿足怎樣的條件時(shí)，在區(qū)間（a，b）內(nèi)存在零點(diǎn)？

隨著以上探究活動的逐個(gè)完成，學(xué)生的思維也隨著問題的深入深化，零點(diǎn)存在定理自然而然地暴露了出來. 此過程中，教師并沒有直接將定理展現(xiàn)給學(xué)生，而是讓學(xué)生通過一個(gè)個(gè)探究活動自主獲得. 環(huán)環(huán)相扣的探究活動與循序漸進(jìn)的引導(dǎo)，使得學(xué)生經(jīng)歷了一個(gè)由“形”到“數(shù)”的思維轉(zhuǎn)化過程. 因此，充分挖掘教材中的概念、定理、法則等的形成過程，能讓學(xué)生在自主探索與合作探究中體悟到數(shù)學(xué)思想方法，促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展，以及知識體系的建構(gòu).

制造沖突，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力

教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，如何二次開發(fā)教材，從一個(gè)新的角度呈現(xiàn)教材的表達(dá)，是值得教師思考的問題. 將教材原封不動地呈現(xiàn)給學(xué)生，帶給學(xué)生的只是被動接受，而換一種呈現(xiàn)手法，將問題的本質(zhì)通過認(rèn)知沖突的制造來呈現(xiàn)，讓學(xué)生在真實(shí)的問題面前感知問題的本質(zhì)，為創(chuàng)造力的形成奠定基礎(chǔ)[2].

制造認(rèn)知沖突的方法并不復(fù)雜，如將問題的程序稍加改動，讓學(xué)生直面問題，激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生“該怎么辦”的想法. 疑問一旦產(chǎn)生，自然就會進(jìn)入探索與探究的階段.

案例2 “方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)”的教學(xué)

師：大家思考一下，你們能解出方程x2-2x-3=0①的解嗎？

生2：可以，此方程的兩個(gè)根分別為-1和3.

師：很好，你們能解出方程x2-2x-2=0②的解嗎？

生3：可以，借助求根公式，可獲得方程有兩個(gè)根，分別為1+和1-.

師：不錯(cuò)！那你們覺得方程lnx+2x-6=0③有解嗎？（學(xué)生搖頭）

師：方程③中的未知數(shù)有對數(shù)的真數(shù)，與我們之前接觸過的多項(xiàng)式有著較大差異，方程③與方程①和方程②存在著質(zhì)的區(qū)別，目前我們還沒有學(xué)過什么公式用來求解方程③，對此，你們有什么看法呢？

生4：回過頭來觀察前面兩個(gè)可以求解的方程，它們存在的共同點(diǎn)是x為變量. 例如方程①，若將其左邊理解為函數(shù)y=x2-2x-3，則此方程的根就是y值等于0時(shí)，自變量x的值.

師：很好！把函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根聯(lián)系到一起進(jìn)行思考，是一個(gè)新的思路，值得贊揚(yáng). 因此，借助函數(shù)的性質(zhì)來探索方程的根是一件便捷的事情. 一般情況下，我們常用什么手段來研究函數(shù)性質(zhì)的呢？

生5：常用的是觀察函數(shù)圖象，從直觀中獲得相關(guān)性質(zhì).

師：那我們是否可以借助函數(shù)圖象來揭示方程根的情況呢？

生6：如圖4所示，觀察函數(shù)y=x2-2x-3的圖象可以發(fā)現(xiàn)，其與x軸相交處的值就是函數(shù)值為0時(shí)自變量x的值（方程①的根），分別為3和-1.

師：不錯(cuò)，下面請大家作出方程②所對應(yīng)函數(shù)的圖象，并借助圖象來揭露方程的根.

（學(xué)生自主畫出圖5）

師：觀察圖5，可以看出函數(shù)y=x2-2x-2的圖象與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)的具體數(shù)值嗎？

生7：從圖象大約能看出根的近似值，但精確值無法確定. 當(dāng)確定了方程的近似根后，則可明確方程的根所在區(qū)間，通過區(qū)間長度無限縮短的方法，即可無限逼近根的精確值.

師：這是一個(gè)不錯(cuò)的方法，被稱為“二分法”，我們放在下一節(jié)課重點(diǎn)研究，大家課后可適當(dāng)?shù)丶右粤私?

綜上發(fā)現(xiàn)，只要方程擁有實(shí)數(shù)根，即可從其對應(yīng)函數(shù)的圖象上獲得根的大概區(qū)間，且圖象與x軸的交點(diǎn)具有重要意義，因此給它下了一個(gè)定義：針對函數(shù)y=f（x），將滿足f（x）=0的實(shí)數(shù)x稱為該函數(shù)的零點(diǎn).

師：方程③的圖象應(yīng)該是什么樣的呢？

生8：好像無法直接作出y=lnx+2x-6的圖象.

師：我們可以把方程轉(zhuǎn)化為lnx= -2x+6，分別作出y=lnx，y=-2x+6的圖象，如圖6所示. 這樣在y=lnx，y=-2x+6的圖象中，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即我們所求方程的根.

于學(xué)生而言，方程③的呈現(xiàn)，成功地激起了他們的認(rèn)知沖突. 顯然，該方程與前面兩個(gè)方程完全不一樣，而且從原有的認(rèn)知中也找不到相應(yīng)的公式來求解. 為了突破這個(gè)難題，學(xué)生自然會在無所適從的時(shí)候加強(qiáng)思考力度，試圖從各個(gè)途徑去尋找突破口，此過程也是實(shí)現(xiàn)創(chuàng)造的過程，學(xué)生的智慧會隨著思維深入而發(fā)展. 因此，將教材作為教學(xué)載體，通過對其呈現(xiàn)方式的改變，給學(xué)生制造認(rèn)知沖突，不僅能獲得良好的教學(xué)效果，還能有效激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力.

改編教材，凸顯知識核心價(jià)值

知識的形成與發(fā)展一般經(jīng)歷“提出問題—猜想結(jié)論—論證猜想—知識應(yīng)用”四個(gè)環(huán)節(jié). 為了從根本上凸顯知識的核心價(jià)值，在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，教師要有針對性地從這幾個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行思考，爭取將知識結(jié)構(gòu)所蘊(yùn)含的教育價(jià)值暴露在學(xué)生思維的生長點(diǎn)處，讓學(xué)生結(jié)合自身實(shí)際情況，靈活應(yīng)對學(xué)習(xí)過程.

在教材編排時(shí)，需要考慮大部分學(xué)生的思維習(xí)慣與認(rèn)知過程，結(jié)合學(xué)生的實(shí)際水平，找到更適合學(xué)生的支點(diǎn)，讓學(xué)生在教學(xué)中，不僅能獲得良好的知識與技能，還能對核心知識產(chǎn)生深刻認(rèn)識[3].

案例3 “兩角和的余弦公式”的教學(xué)設(shè)計(jì)

師：如圖7所示，已知河堤背水坡的長度AB為6 m，為了預(yù)防洪澇災(zāi)害的發(fā)生，相關(guān)部門決定對背水坡的坡角進(jìn)行加固，由75°加固到45°. 若該工程由你來設(shè)計(jì)，預(yù)算需要多少土方量.

生9：可以過點(diǎn)A作BC的垂線AE，E為垂足. 因?yàn)椤鱀EA為等腰直角三角形，所以AE=DE=6sin75°，BE=6cos75°，BD=6sin75°-6cos75°，所以S=×（6sin75°-6cos75°）6sin75°，因此需要分別求出sin75°，cos75°的值.

師：我們都知道，sin75°可由cos75°推導(dǎo)而來，因此我們的目標(biāo)只要求出cos75°的值即可，該怎么求呢？

生10：可以將75°拆分成“30°+45°”，列式為cos75°=cos（30°+45°）.

師：這個(gè)想法確實(shí)有一定道理，將未知的數(shù)拆分成已知的數(shù)量關(guān)系來表達(dá)，是數(shù)學(xué)探索的主要方式之一. 現(xiàn)在的問題是cos（30°+45°）的計(jì)算方式，若將這個(gè)有特殊值的式子一般化，可怎么表達(dá)？

生11：可表達(dá)為cos（α+β），但不會解開.

師：當(dāng)我們面臨一個(gè)無計(jì)可施的式子時(shí)，最常用的一種解決辦法就是代入特殊值進(jìn)行運(yùn)算，通過多次特殊值的試驗(yàn)結(jié)論來獲得猜想，再驗(yàn)證這個(gè)猜想，從而獲得明確的結(jié)論. 那么本題該從何處入手呢？

生12：我們可以嘗試賦予α特殊值，如分別取α的值為，π，π，2π，從三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式出發(fā)，可得以下幾個(gè)式子：cos

+β

=-sinβ，cos（π+β）=-cosβ，cos

+β

=sinβ，cos（2π+β）=cosβ.

師：通過以上幾個(gè)特殊值的“投石問路”，并借助三角函數(shù)誘導(dǎo)公式得到了相應(yīng)的結(jié)論，那么在建構(gòu)cos（α+β）這個(gè)表達(dá)式時(shí)能看出什么？

生13：能看出cos（α+β）這個(gè)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)里，必定有sinβ和cosβ兩個(gè)元素.

師：不錯(cuò)，除了能看出該表達(dá)式中必定有sinβ和cosβ兩個(gè)元素外，還能看出其他元素嗎？

生14：我覺得還有sinα和cosα兩個(gè)元素.

師：理由呢？

生14：因?yàn)樵赾os（α+β）中，α，β呈對等性，當(dāng)β的值分別取，π，π，2π時(shí)，就能獲得生12所表述的類似結(jié)論，只是其中的α換成了β.

師：非常好！通過分析，我們可以發(fā)現(xiàn)表達(dá)式cos（α+β）的結(jié)構(gòu)中，必定存在sinα，sinβ，cosα，cosβ等元素. 它們到底能構(gòu)成什么樣的運(yùn)算結(jié)構(gòu)呢？現(xiàn)在我們一起來研究，大家先說說自己的看法.

生15：借助賦值法，將這四個(gè)元素加、乘都行不通，而且它們之間相除也行不通，由此我猜想：它的運(yùn)算結(jié)構(gòu)應(yīng)該是部分元素相乘再相加.

師：這個(gè)說法讓我有點(diǎn)糊涂，有沒有哪位同學(xué)能表達(dá)得更加具體一些？

生16：我們一起來觀察cos

+β

= -sinβ這個(gè)式子，若討論的結(jié)論準(zhǔn)確的話，那么cos

+β

的結(jié)構(gòu)中必定也含有以下四個(gè)元素，分別為sinβ，sin=1，cosβ，cos=0，其中cos

+β

=-sinβ則代表著……

師：很棒！你驗(yàn)證了自己的結(jié)論是正確的，也就是說完全相乘或相加所獲得的結(jié)論要么為0，要么其中一項(xiàng)為1，但均非-sinβ這個(gè)結(jié)論. 現(xiàn)在我們遇到的問題在于，根據(jù)cos

+β

= -sinβ需要研究的是sinβ，cosβ，0，1四個(gè)元素，怎么組合才可形成-sinβ呢？

生17：從常理出發(fā)，cos

+β

這個(gè)表達(dá)式應(yīng)出現(xiàn)cosβ才對，沒有出現(xiàn)的理由可能是cosβ和cos（=0）相乘;同理，出現(xiàn)-cosβ源于sinβ和sin（=1）相乘，且取了“-”號. 若沒猜錯(cuò)的話，表達(dá)式應(yīng)為cos

+β

=coscosβ-sinsinβ.

生18：同理，對cos（π+β）=-cosβ進(jìn)行研究，獲得表達(dá)式cos（π+β）=cosπcosβ-sinπsinβ.

師：從中你們看到了什么？

生19：將cos

+β

=coscosβ-sinsinβ，cos（π+β）=cosπcosβ-sinπsinβ一般化，可得cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ.

師：能將此表達(dá)式右邊兩項(xiàng)中的“-”號換成“+”號嗎？

生20：若這么轉(zhuǎn)化的話，則該式為cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，此式與向量數(shù)量積有聯(lián)系.

師：非常好！你們能從這個(gè)角度來證明該式是成立的嗎？

生21：因?yàn)榻堑恼液陀嘞揖杀硎緢A周式的周期運(yùn)動，所以這些都是從單位圓抽象而來的結(jié)論. 如圖8所示，從中不難發(fā)現(xiàn)P（cosα，sinα），P（cosβ，sinβ），·=

·cos（α-β）=cos（α-β），·=cosαcosβ+sinαsinβ，通過這兩個(gè)表達(dá)式，可確定cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ是成立的. 若將該式中的“β”換為“-β”，即可得cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ.

縱觀此教學(xué)過程，教師并沒有遵循教科書的流程，而是鼓勵(lì)學(xué)生自主探究，并推導(dǎo)出相關(guān)結(jié)論. 從中不難發(fā)現(xiàn)，教師在教材的應(yīng)用上非常靈活，都以啟發(fā)與激活學(xué)生思維為著手點(diǎn)，進(jìn)行合理布局與設(shè)計(jì)，讓學(xué)生自主獲得核心知識，最大限度地發(fā)揮了數(shù)學(xué)教育價(jià)值.

教材作為教學(xué)的基本依據(jù)，蘊(yùn)含著豐富的教學(xué)資源，作為一線教師，應(yīng)學(xué)會挖掘它的隱性價(jià)值，靈活應(yīng)用教材資源，通過各種教學(xué)手段，啟發(fā)學(xué)生智慧，優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)，讓課堂在教材的激活應(yīng)用中煥發(fā)出新的生機(jī)與活力.

參考文獻(xiàn)：

[1] 章建躍，陶維林. 概念教學(xué)必須體現(xiàn)概念的形成過程——“平面向量的概念”的教學(xué)與反思[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2010，49（01）：25-29+33.

[2] 喻平. 數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2010.

[3] 林婷. 有效使用高中數(shù)學(xué)教材的幾點(diǎn)思考[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2013，52（06）：23-26.