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    談如何遵循知識(shí)脈絡(luò)實(shí)施有效教學(xué)

    2023-05-30 16:18:20楊永福
    關(guān)鍵詞:認(rèn)知核心素養(yǎng)探究

    楊永福

    [摘 ?要] 在數(shù)學(xué)教學(xué)中,因部分教師對(duì)教材的認(rèn)識(shí)不夠充分,加之教學(xué)重于功利,致使在部分知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)中顯得過(guò)于急躁,影響了學(xué)生核心素養(yǎng)的全面提升. 文章以學(xué)生認(rèn)知為出發(fā)點(diǎn),通過(guò)遞進(jìn)式的教學(xué)設(shè)計(jì)引導(dǎo)學(xué)生知識(shí)的形成和發(fā)展,在探究中激發(fā)學(xué)生思維,培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).

    [關(guān)鍵詞] 認(rèn)知;探究;核心素養(yǎng)

    問(wèn)題提出

    “二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域”在教學(xué)中有著重要價(jià)值,若能將該部分內(nèi)容學(xué)懂吃透更易于學(xué)生理解和掌握二元一次不等式(組)及簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題,不過(guò)在實(shí)際教學(xué)中,這部分內(nèi)容并沒(méi)有引起一線教師的足夠重視,因此使得學(xué)生處理簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的最值問(wèn)題時(shí)常常受阻. 在功利教育的影響下,為了追求速度,部分教師將“二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域”壓縮成一節(jié)課進(jìn)行教學(xué),缺乏深度的講解,使得學(xué)生應(yīng)用這部分內(nèi)容解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)顯得力不從心. 本節(jié)課的內(nèi)容溝通了一元二次不等式、二元一次不等式及簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃等相關(guān)內(nèi)容,若教學(xué)中不能很好地發(fā)揮其地位和作用,知識(shí)間的相互溝通就會(huì)產(chǎn)生障礙,進(jìn)而影響知識(shí)的遷移. 筆者認(rèn)為,教師應(yīng)該重視本節(jié)課的教學(xué),從學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和認(rèn)知特點(diǎn)出發(fā),結(jié)合問(wèn)題情境和遞進(jìn)式問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生將本節(jié)課的內(nèi)容學(xué)懂吃透,發(fā)揮好本節(jié)課承上啟下的作用.

    教學(xué)實(shí)錄

    1. 借助情境,激發(fā)熱情

    教學(xué)情境是調(diào)節(jié)課堂氣氛、激發(fā)學(xué)習(xí)熱情的催化劑,教學(xué)中教師可以結(jié)合教學(xué)內(nèi)容創(chuàng)設(shè)或與生活緊密聯(lián)系的,或具有一定趣味性的、懸念性的問(wèn)題情境來(lái)激發(fā)學(xué)生的求知欲,促使教學(xué)效率的提升.

    師:2017年4月26日是一個(gè)值得紀(jì)念的日子,你知道這天發(fā)生了什么嗎?

    生1:我國(guó)首艘國(guó)產(chǎn)航母遼寧艦正式入水.

    師:很好,這是一件值得國(guó)人驕傲的大事,是國(guó)家綜合國(guó)力上升的象征!從航母的設(shè)計(jì)到施工需要經(jīng)過(guò)無(wú)數(shù)次精細(xì)計(jì)算,數(shù)學(xué)的作用可謂功不可沒(méi). 現(xiàn)在請(qǐng)大家思考一下這個(gè)問(wèn)題:在航母建造過(guò)程中需要許多巨大的高質(zhì)量鋼柱,根據(jù)綜合評(píng)定選擇了甲、乙兩家具備生產(chǎn)能力的鋼廠進(jìn)行生產(chǎn),為了保證工期,兩個(gè)鋼廠每天至少需要提供40根鋼柱. 已知甲、乙鋼廠每個(gè)車間的日產(chǎn)量分別為5根和8根,若兩廠共能抽調(diào)最多6個(gè)車間生產(chǎn)該鋼柱,請(qǐng)問(wèn)兩鋼廠各需提供幾個(gè)車間?

    生2:設(shè)甲鋼廠提供x個(gè)車間,乙鋼廠提供y個(gè)車間,則根據(jù)條件可得x+y≤6,

    5x+8y≥40(x,y∈N*).

    師:很好. 不等式組容易列出來(lái),求解卻沒(méi)有那么容易,為了能夠解決這個(gè)問(wèn)題,我們可以先從數(shù)對(duì)(x,y)的范圍開(kāi)始研究.

    設(shè)計(jì)意圖 借助問(wèn)題點(diǎn)明本節(jié)課研究的方向,使主題的引入自然順暢. 同時(shí)結(jié)合熱點(diǎn)情境創(chuàng)設(shè)問(wèn)題更易于激發(fā)學(xué)生的探究熱情,讓學(xué)生在“用數(shù)學(xué)”的過(guò)程中體驗(yàn)“學(xué)以致用”的真諦.

    2. 借助聯(lián)想,合理類比

    在教學(xué)過(guò)程中,教師要善于調(diào)動(dòng)學(xué)生參與的積極性,鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用已有認(rèn)知去思考新問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)聯(lián)想、類比、探究等數(shù)學(xué)活動(dòng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì),找到解題的突破口.

    師:結(jié)合已有認(rèn)知,你認(rèn)為在解決二元一次不等式的平面區(qū)域問(wèn)題時(shí),我們應(yīng)該先從哪里入手呢?

    生3:先要知道這個(gè)平面區(qū)域表示什么.

    師:很好,聯(lián)想一下二元一次等式的圖象,你知道它表示的是什么嗎?

    生4:是一條直線.

    師:很好,請(qǐng)大家在草稿紙上畫一畫,觀察一下直線會(huì)把它所在的區(qū)域分成幾部分.

    生5:可以分為上、下兩部分.

    生6:還有直線本身. (生6補(bǔ)充道)

    師:說(shuō)得很好,確實(shí)分成了三部分.

    師:斜截式和一般式是直線方程的常用形式,今天我們先以斜截式y(tǒng)=kx+b為例,開(kāi)啟我們的探究之旅. 如果直線l:y=8-2x,那么直線l與方程y+2x-8=0有何聯(lián)系?

    生7:直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解,而方程的解亦是直線上點(diǎn)的坐標(biāo).

    師:說(shuō)得很好. 根據(jù)前面的分析,我們知道除了直線外,還有直線下方和上方的平面區(qū)域,那么對(duì)于直線l:y=8-2x上方的平面區(qū)域該如何表示呢?

    生8:我認(rèn)為上方的平面區(qū)域可以用不等式y(tǒng)>8-2x來(lái)表示.

    師:能說(shuō)一說(shuō)你的理由嗎?

    生8:在直線l:y=8-2x上方的平面區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)P(x,y),過(guò)點(diǎn)P作平行于y軸的直線交直線l于點(diǎn)Q(x,y),則y>y,而y=8-2x,所以y>8-2x,所以直線l:y=8-2x上方的平面區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)都適合不等式y(tǒng)>8-2x. 反之,亦可驗(yàn)證對(duì)于不等式y(tǒng)>8-2x的解,其所對(duì)應(yīng)的任意一對(duì)有序?qū)崝?shù)x,y構(gòu)成的點(diǎn)P(x,y),都在直線l:y=8-2x的上方.

    師:說(shuō)得非常棒,與之前所學(xué)的知識(shí)相類比,從兩個(gè)方面進(jìn)行了詳細(xì)的分析和闡述,很到位. 那么如何表示直線l:y=8-2x下方的平面區(qū)域呢?

    結(jié)合前面的探究過(guò)程,學(xué)生輕松地得出用不等式y(tǒng)<8-2x表示直線l下方的平面區(qū)域. 接下來(lái)教師讓基礎(chǔ)較為薄弱的學(xué)生給出理由,學(xué)生的表達(dá)能力在自主探究過(guò)程中得到了明顯的提升.

    設(shè)計(jì)意圖 在教學(xué)中通過(guò)恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo),讓學(xué)生先聯(lián)想直線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系,為后面新知的探究埋下伏筆,通過(guò)新舊知識(shí)的聯(lián)系讓學(xué)生明晰問(wèn)題的本質(zhì). 從以上探究過(guò)程可以看出,在探究“不等”的問(wèn)題時(shí)常常以“相等”進(jìn)行界定,利用“相等”來(lái)解決“不等”的問(wèn)題是常用的手段. 在此環(huán)節(jié)的探究過(guò)程中,類比思想方法的應(yīng)用激發(fā)了學(xué)生的參與積極性,學(xué)生結(jié)合已有認(rèn)知(二元一次方程的幾何意義)很自然地推導(dǎo)出了二元一次不等式的幾何意義,前者表示一條直線,而后者為平面區(qū)域. 這樣學(xué)生通過(guò)探究和交流實(shí)現(xiàn)了等式到不等式的拓展,不僅鞏固了已有認(rèn)知,也有利于學(xué)生將來(lái)對(duì)方程的曲線與曲線的方程等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的理解. 在整個(gè)過(guò)程中,學(xué)生通過(guò)聯(lián)系、類比、總結(jié)和概括,探究能力得到了提升.

    3. 借助圖形,激發(fā)靈感

    面對(duì)復(fù)雜的、抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),巧妙地應(yīng)用圖形的直觀性往往可以激發(fā)學(xué)生的靈感,很多問(wèn)題都可以迎刃而解. 為了讓學(xué)生結(jié)合自己的直觀感受總結(jié)出數(shù)學(xué)規(guī)律,在接下來(lái)的教學(xué)環(huán)節(jié)中,教師組織學(xué)生動(dòng)手畫圖,結(jié)合圖形進(jìn)一步理解不等式表示的平面區(qū)域.

    師:如果讓你畫出不等式y(tǒng)<2x+3表示的平面區(qū)域,你會(huì)畫嗎?(問(wèn)題給出后,很多學(xué)生躍躍欲試地想上臺(tái)展示)

    生9:如圖1所示,先要畫出直線l:y=2x+3,由于不等式y(tǒng)<2x+3中不含“=”,因此直線l:y=2x+3可以用虛線來(lái)表示,直線l下面的斜線為不等式y(tǒng)<2x+3表示的平面區(qū)域.

    師:請(qǐng)進(jìn)一步說(shuō)說(shuō)你的想法.

    生9:根據(jù)前面的探究結(jié)果我們知道了平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與不等式的對(duì)應(yīng)關(guān)系,因此可以用選點(diǎn)的方法進(jìn)行驗(yàn)證. 本題不妨取點(diǎn)(0,0),代入不等式得0<3,符合題意,觀察圖象可知點(diǎn)(0,0)正好在直線l:y=2x+3的下方,于是驗(yàn)證了前面的結(jié)論.

    師:借助“點(diǎn)”進(jìn)行驗(yàn)證既利于理解又易于操作,是一個(gè)不錯(cuò)的方法,這也是我們理解和解決此類問(wèn)題的常見(jiàn)方法,常將其稱為“選點(diǎn)法”. 對(duì)于取點(diǎn),在驗(yàn)證過(guò)程中大多會(huì)選取原點(diǎn),當(dāng)然原點(diǎn)不能在驗(yàn)證的直線上,借助特殊點(diǎn)可以實(shí)現(xiàn)“以點(diǎn)帶面”的效果. 生9所畫的圖形非常清晰、準(zhǔn)確,尤其認(rèn)識(shí)到了“<”與“≤”的區(qū)別. 現(xiàn)在讓你畫y≥2x+3表示的平面區(qū)域,你會(huì)了嗎?

    生10:先畫直線l:y=2x+3,由于不等式y(tǒng)≥2x+3中有“=”,因此直線l應(yīng)為實(shí)線,如圖2所示. 接下來(lái)我們利用“選點(diǎn)法”進(jìn)行驗(yàn)證,因?yàn)樵c(diǎn)O不在直線l:y=2x+3上,故可以直接取原點(diǎn)O(0,0)進(jìn)行驗(yàn)證. 根據(jù)驗(yàn)證可知原點(diǎn)O的坐標(biāo)不適合不等式y(tǒng)≥2x+3,因此原點(diǎn)O的另外一側(cè),即直線l:y=2x+3上方的平面區(qū)域?yàn)椴坏仁統(tǒng)≥2x+3表示的平面區(qū)域(含邊界直線).

    設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)圖形能讓學(xué)生獲得直觀感受,用“選點(diǎn)法”可將不等式與平面區(qū)域的關(guān)系進(jìn)行簡(jiǎn)化,“以點(diǎn)定側(cè)”利于學(xué)生理解和記憶. 對(duì)于取點(diǎn),若直線不過(guò)原點(diǎn)可以直接選取原點(diǎn)進(jìn)行驗(yàn)證,引導(dǎo)學(xué)生理解化特殊為一般的重要應(yīng)用價(jià)值,有助于學(xué)生解題能力的提升.

    4. 借助探究,發(fā)現(xiàn)規(guī)律

    許多數(shù)學(xué)知識(shí)往往會(huì)呈現(xiàn)一定的規(guī)律,然規(guī)律一般不是顯性呈現(xiàn)的,需要經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、探究、抽象、總結(jié)歸納等數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng). 在數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師需要對(duì)知識(shí)進(jìn)行一定的拓展和延伸,幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律,激發(fā)學(xué)習(xí)興趣,讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得更加積極和主動(dòng).

    師:在以上問(wèn)題的探究中,我們發(fā)現(xiàn)了不等式與平面區(qū)域的關(guān)系,但是我們之前探究的直線是確定的直線,那么對(duì)于不確定的直線y=kx+b,其上方的平面區(qū)域應(yīng)該用什么不等式表示?下方呢?

    生11:結(jié)合前面內(nèi)容,可知直線y=kx+b上方的平面區(qū)域應(yīng)該用不等式y(tǒng)>kx+b來(lái)表示,下方的平面區(qū)域用不等式y(tǒng)<kx+b來(lái)表示.

    生12:難道這個(gè)不需要考慮k的值嗎?

    在生12的質(zhì)疑中學(xué)生開(kāi)始了新一輪的探究,最終發(fā)現(xiàn)不等式表示的平面區(qū)域與其對(duì)應(yīng)直線的斜率k的正負(fù)無(wú)關(guān)系. 通過(guò)質(zhì)疑與探究進(jìn)一步強(qiáng)化了學(xué)生認(rèn)知,同時(shí)為了便于學(xué)生記憶,在教師的帶領(lǐng)下學(xué)生總結(jié)歸納出了“上大下小”的分布規(guī)律,至此完成了對(duì)斜截式直線方程的探究.

    設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)探究,逐漸向一般性問(wèn)題轉(zhuǎn)化,從而得到了斜截式直線與對(duì)應(yīng)不等式的關(guān)系. 教學(xué)中通過(guò)合作探究,學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情被點(diǎn)燃,完成了斜截式直線方程的探究后,學(xué)生自然會(huì)想知道對(duì)于一般式直線方程又存在什么規(guī)律,學(xué)生的思維能力在探究中螺旋上升.

    5. 借助轉(zhuǎn)化,完善認(rèn)知

    師:剛剛已經(jīng)完成了斜截式直線y=kx+b的探究,那么對(duì)于一般式直線Ax+By+C=0(A2+B2≠0)兩側(cè)平面區(qū)域的不等式又存在怎樣的規(guī)律呢?(教師鼓勵(lì)各小組進(jìn)行互助合作)

    生13:我們探究后發(fā)現(xiàn),若B≠0,則可以將一般式直線方程轉(zhuǎn)化為斜截式直線方程,先根據(jù)B值進(jìn)行分類討論.

    當(dāng)B>0時(shí),不等式Ax+By+C>0可以轉(zhuǎn)化為y>-x-,而不等式y(tǒng)>-x-表示直線y=-x-上方的平面區(qū)域,故當(dāng)B>0時(shí),不等式Ax+By+C>0表示直線Ax+By+C=0上方的平面區(qū)域;同理可得,當(dāng)B>0時(shí),不等式Ax+By+C<0表示直線Ax+By+C=0下方的平面區(qū)域.

    當(dāng)B<0時(shí),不等式Ax+By+C>0可以轉(zhuǎn)化為y<-x-,而不等式y(tǒng)<-x-表示直線y=-x-下方的平面區(qū)域,故當(dāng)B<0時(shí),不等式Ax+By+C>0表示直線Ax+By+C=0下方的平面區(qū)域;同理可得,當(dāng)B<0時(shí),不等式Ax+By+C<0表示直線Ax+By+C=0上方的平面區(qū)域.

    當(dāng)B=0時(shí),因?yàn)锳2+B2≠0,所以A≠0.

    ①若A>0,不等式Ax+C>0表示直線Ax+C=0右方的平面區(qū)域;不等式Ax+C<0表示直線Ax+C=0左方的平面區(qū)域.

    ②若A<0,不等式Ax+C>0表示直線Ax+C=0左方的平面區(qū)域;不等式Ax+C<0表示直線Ax+C=0右方的平面區(qū)域.

    師:很好,將不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成我們熟悉的內(nèi)容,問(wèn)題順利地解決了. 在這里我們需要關(guān)注B的正負(fù)了,若B>0,則與我們前面討論的斜截式擁有同樣的分布規(guī)律,即“上大下小”;若B<0,則正好相反. 在學(xué)習(xí)中,我們要善于發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律,這樣以后解題時(shí)可以有效地簡(jiǎn)化過(guò)程,有利于解題效率的提升.

    設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合作探究,通過(guò)問(wèn)題的挖掘發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)和一般規(guī)律,完善學(xué)生認(rèn)知體系. 同時(shí)在探究中引導(dǎo)學(xué)生化生為熟,化特殊為一般,有助于學(xué)生思維變通,以及分析能力和抽象概括能力提升.

    6. 借助應(yīng)用,鞏固強(qiáng)化

    學(xué)生已經(jīng)掌握了一般規(guī)律,也總結(jié)歸納出了口訣,為了更好地進(jìn)行檢驗(yàn),在完成相應(yīng)的拓展延伸后,教師還需要借助一些適當(dāng)?shù)木毩?xí)進(jìn)行檢測(cè),以達(dá)到鞏固和內(nèi)化的目的.

    在完成以上內(nèi)容后,可以給出如下習(xí)題進(jìn)行鞏固訓(xùn)練:

    (1)不等式x+8y-10>0表示直線x+8y-10=0的______平面區(qū)域.

    (2)不等式x-8y-10<0表示直線x-8y-10=0的______平面區(qū)域.

    學(xué)生根據(jù)總結(jié)出的口訣,輕松得到了答案,為了引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用“選點(diǎn)法”,還可以給出這樣一個(gè)問(wèn)題:若點(diǎn)(-3,t)在直線x-3y+6=0的上方,求t的取值范圍.

    設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)設(shè)計(jì)不同的問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用不同的方法來(lái)解決,達(dá)到鞏固知識(shí),加深理解的目的,讓學(xué)生在應(yīng)用的過(guò)程中實(shí)現(xiàn)知識(shí)的內(nèi)化.

    教學(xué)反思

    在教學(xué)中,教師應(yīng)該更加全面地理解教材,對(duì)教學(xué)內(nèi)容形成整體認(rèn)識(shí),進(jìn)而通過(guò)有效溝通和滲透將新舊知識(shí)進(jìn)行串聯(lián),幫助學(xué)生完善認(rèn)知體系. 要知道,很多數(shù)學(xué)知識(shí)都是前后關(guān)聯(lián)的,若教學(xué)中片面認(rèn)為不是重點(diǎn)、考點(diǎn)就將其忽略,勢(shì)必會(huì)出現(xiàn)思維障礙,影響學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展,因此教師應(yīng)深刻領(lǐng)會(huì)教學(xué)內(nèi)容的地位和作用,以便通過(guò)合理的開(kāi)發(fā)和利用,幫助學(xué)生完善和優(yōu)化認(rèn)知體系.

    同時(shí),教師應(yīng)意識(shí)到,課堂是一種雙向活動(dòng)的場(chǎng)地,教學(xué)中既要進(jìn)行必要的“講”,又應(yīng)該學(xué)會(huì)“聽(tīng)”,通過(guò)適時(shí)適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)來(lái)調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性,提升教學(xué)的有效性. 另外,在新知體系的建構(gòu)過(guò)程中,教師要以學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)為出發(fā)點(diǎn),立足學(xué)生的學(xué)情才能讓學(xué)生真正地參與其中,通過(guò)合作交流激發(fā)學(xué)生思維,點(diǎn)燃學(xué)生智慧的火花.

    總之,在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,應(yīng)適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主探究,多讓學(xué)生經(jīng)歷一些知識(shí)形成和發(fā)展的過(guò)程,在過(guò)程中不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)、積累方法,促進(jìn)學(xué)習(xí)能力不斷提升.

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