對一道極值點(diǎn)偏移的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題的探究

朱建霞

[摘 ?要] 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題在高考中常作為壓軸題出現(xiàn)，問題解析對學(xué)生的能力有著較高的要求，思路構(gòu)建要注意結(jié)合圖象，分步轉(zhuǎn)化. 文章以一道極值點(diǎn)偏移問題為例，開展思路突破，反思解題過程，總結(jié)歸納方法，提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 極值點(diǎn);偏移;函數(shù);不等式;總結(jié)

2021年全國新高考I卷函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題，考查的是極值點(diǎn)偏移的相關(guān)知識，問題的解析方法和思路構(gòu)建過程有著一定的參考價(jià)值，下面深入探究.

問題呈現(xiàn)，突破評析

1. 問題呈現(xiàn)

考題：（2021年全國新高考I卷第22題）已知函數(shù)f（x）=x（1-lnx）.

（1）討論f（x）的單調(diào)性;

（2）設(shè)a，b為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且blna-alnb=a-b，證明：2<+<e.

2. 思路突破

本題為函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題，第（1）問探究的是函數(shù)的單調(diào)性，可借助對應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)來確定. 第（2）問是不等式證明問題，在函數(shù)背景下可以構(gòu)造新函數(shù)，將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，利用函數(shù)的性質(zhì)來突破. 下面具體探究.

（1）由函數(shù)f（x）的解析式可知，其定義域?yàn)椋?，+∞），對應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)為f′（x）=1-lnx-1=-lnx. 分析可知，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）>0;當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）<0. 可得f（x）在定義域內(nèi)的單調(diào)性為：在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減.

（2）a和b為兩個(gè)不相等的正數(shù)，因?yàn)閎lna-alnb=a-b，變形可得b（lna+1）=a（lnb+1），即=，結(jié)合f（x）的解析式分析可得f

=f

.

結(jié)合第（1）問可知，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，且f（1）=1>0，故f（x）在（1，+∞）內(nèi)有唯一的零點(diǎn)e，故可繪制如圖1所示的函數(shù)圖象. 設(shè)=x，=x，0<x<1，x>1. 當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，f（x）=x（1-lnx）<0，所以可推知1<x<e.

對于連續(xù)不等式2<+<e，可將其拆分為兩部分求證：第一部分，2<+，即x+x>2;第二部分，+<e，即x+x<e. 采用的是分段證明的方法，具體如下.

第一步，證明x+x>2.

若x≥2，則x+x>2必然成立.

若x<2，則須證明x>2-x，而0<2-x<1，即證明f（x）>f（2-x），進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為證明f（x）>f（2-x），其中1<x<2. 可設(shè)g（x）=f（x）-f（2-x）（1<x<2），導(dǎo)函數(shù)g′（x）=f′（x）+f′（2-x）=-ln[x（2-x）]. 因?yàn)?<x<2，故0<x（2-x）<1，所以-lnx（2-x）>0，即g′（x）>0，所以g（x）在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞增，所以g（x）>g（1）=0，所以f（x）>f（2-x），所以f（x）>f（2-x）成立，即x+x>2成立.

綜上可知，x+x>2成立.

第二步，證明x+x<e.

可設(shè)x=tx，則t>1，由x（1-lnx）=x（1-lnx），整理可得1-lnx=t（1-lnt-lnx），所以lnx=.

要證明x+x<e，須證明ln（t+1）+lnx<1，進(jìn)一步整理可知，只要證明（t-1）ln（t+1）-tlnt<0即可. 可令s（t）=（t-1）ln（t+1）-tlnt（t>1），其導(dǎo)函數(shù)為s′（t）=ln

1+

-.

先證明不等式ln（x+1）≤x. 設(shè)u（x）=ln（x+1）-x，其導(dǎo)函數(shù)為u′（x）=-1=. 分析可知，當(dāng)-1<x<0時(shí)，u′（x）>0;當(dāng)x>0時(shí)，u′（x）<0. 所以u（x）在區(qū)間（-1，0）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減. 所以x=0時(shí)函數(shù)u（x）取得最大值，且u（x）=u（0）=0，故ln（x+1）≤x成立.

參考上述不等式，可得當(dāng)t>1時(shí)，ln

1+

≤<，所以s′（t）<0，即s（t）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減，故s（t）<s（1）=0，即（t-1）ln（t+1）-tlnt<0，所以x+x<e成立.

綜上所述，2<+<e成立.

3. 問題評析

上述第（2）問為核心之問，證明連續(xù)不等式成立，但由于問題以函數(shù)為背景，故思路構(gòu)建須充分聯(lián)系原函數(shù)，調(diào)用函數(shù)性質(zhì). 上述證明過程較復(fù)雜，但思路構(gòu)建的邏輯嚴(yán)密，具有一定的連貫性. 總體來看，解析過程可分為以下四個(gè)階段：

第一階段，處理含參等式條件，構(gòu)建與原函數(shù)f（x）的關(guān)系;

第二階段，原函數(shù)的極值點(diǎn)發(fā)生了偏移，繪制草圖以輔助后續(xù)分析;

第三階段，設(shè)定變量范圍，轉(zhuǎn)化不等式問題;

第四階段，分段連續(xù)不等式，構(gòu)造新函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)加以證明.

上述第（2）問證明x+x<e時(shí)涉及了新函數(shù)構(gòu)造、含參不等式證明、函數(shù)性質(zhì)研究等多個(gè)過程，相對煩瑣，實(shí)際上可直接利用函數(shù)性質(zhì)來證明，具體如下.

分析可知，f（x）在點(diǎn)（e，0）上的切線為φ（x）=e-x. 可令F（x）=f（x）-φ（x）=2x-xlnx-e，其中x∈（0，e），對應(yīng)導(dǎo)函數(shù)為F′（x）=1-lnx>0，所以函數(shù)F（x）在定義域上單調(diào)遞增，故F（x）<F（e）=0，所以x∈（0，e）時(shí)，f（x）<φ（x）. 可令t=f（x）=f（x），則t=f（x）<φ（x）=e-x?t+x<e. 又知t=f（x）=x（1-lnx） （x∈（0，1）），所以t=x（1-lnx）>x，即x+x<t+x<e，得證.

思考總結(jié)，關(guān)聯(lián)探究

上述考題為函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題，其中原函數(shù)出現(xiàn)了極值點(diǎn)偏移，（1，f（1））是原函數(shù)的極值點(diǎn)，但函數(shù)f（x）在極值點(diǎn)兩側(cè)的變化快慢不同，在左側(cè)單調(diào)遞增較快，在右側(cè)單調(diào)遞減較慢，即函數(shù)的極值點(diǎn)向左側(cè)發(fā)生了偏移. 下面總結(jié)與函數(shù)極值點(diǎn)偏移相關(guān)的知識方法，并舉例探究.

1. 函數(shù)極值點(diǎn)偏移的判斷方法

關(guān)于函數(shù)極值點(diǎn)偏移的情況，可通過方程f（x）=0的兩個(gè)根x和x來判定，當(dāng)=x（x為函數(shù)極值點(diǎn)，下同）時(shí)，函數(shù)的極值點(diǎn)沒有發(fā)生偏移;≠x時(shí)，函數(shù)的極值點(diǎn)發(fā)生了偏移. 同時(shí)函數(shù)極值點(diǎn)偏移與曲線開口方向沒有關(guān)系. 以函數(shù)曲線開口向下為例，當(dāng)x<時(shí)，極值點(diǎn)向左偏移，如圖2所示;當(dāng)x>時(shí)，極值點(diǎn)向右偏移，如圖3所示. 顯然考題原函數(shù)f（x）屬于極值點(diǎn)向左偏移的情形.

2. 函數(shù)極值點(diǎn)偏移的解題策略

上述在證明考題第（2）問的極值點(diǎn)偏移背景下的不等式問題時(shí)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，將不等式問題轉(zhuǎn)化為與原函數(shù)值域相關(guān)的不等式問題，對于其中的復(fù)合情形，采用了構(gòu)造函數(shù)的方法. 總之，構(gòu)造函數(shù)、分析函數(shù)性質(zhì)是此類問題的核心解法，下面具體概括以類問題的解答策略.

（1）構(gòu)造函數(shù)，若x為函數(shù)的極值點(diǎn)，則可以構(gòu)造對稱函數(shù)F（x）=f（x+x）-f（x-x），根據(jù)F（x）的正負(fù)可判斷極值點(diǎn)偏移的情況.

（2）轉(zhuǎn)化問題，對于與極值點(diǎn)偏移相關(guān)的不等式證明問題，可將不等式問題轉(zhuǎn)化為與原函數(shù)相關(guān)的函數(shù)值域問題，也可以引入新變量，轉(zhuǎn)化為與新變量相關(guān)的簡單的不等式問題.

（3）消參減元，可根據(jù)方程根x和x之間的關(guān)系來轉(zhuǎn)化所求問題，減少變量個(gè)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)解題，該方法適用于不等式、極值、最值等問題.

3.函數(shù)極值點(diǎn)偏移問題關(guān)聯(lián)探究

問題：已知函數(shù)f（x）=ex-2x-1.

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間;

（2）若存在x<ln2<x，使得f（x）=f（x），證明：x+x<2ln2.

解析 （1）求函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=ex-2，定義域?yàn)椋?∞，+∞），令f′（x）=0，可得x=ln2.

分析可知，當(dāng)x∈（-∞，ln2）時(shí)，f′（x）<0，故f（x）在區(qū)間（-∞，ln2）上單調(diào)遞減;當(dāng)x∈（ln2，+∞）時(shí)，f′（x）>0，故f（x）在區(qū)間（ln2，+∞）上單調(diào)遞增.

綜上可知，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，ln2），單調(diào)遞增區(qū)間為（ln2，+∞）.

（2）很容易看出函數(shù)f（x）發(fā)生了極值點(diǎn)偏移，當(dāng)x>ln2時(shí)，2ln2-x<ln2，f（2ln2-x）=+2x-4ln2-1. 令h（x）=f（x）-f（2ln2-x）=ex--4x+4ln2（x>ln2），其導(dǎo)函數(shù)為h′（x）=ex+-4>0，所以函數(shù)h（x）在區(qū)間（ln2，+∞）上單調(diào)遞增. 又h（ln2）=0，所以當(dāng)x>ln2時(shí)，h（x）>h（2）=0，即f（x）>f（2ln2-x）. 因?yàn)閤>ln2，所以f（x）>f（2ln2-x）. 而f（x）=f（x），所以f（x）>f（2ln2-x）. 由x>ln2可知2ln2-x<ln2，x<ln2，由第（1）問可知原函數(shù)f（x）在（-∞，ln2）上單調(diào)遞減，所以x<2ln2-x，即x+x<2ln2，得證.

評析 上述函數(shù)f（x）顯然發(fā)生了極值點(diǎn)偏移，第（2）問證明不等式時(shí)先確定了x關(guān)于x=ln2的對稱點(diǎn)，然后基于不等式的性質(zhì)構(gòu)造了新函數(shù)，最后利用函數(shù)性質(zhì)推導(dǎo)出了不等關(guān)系. 其中判斷極值點(diǎn)偏移情況是此類問題的解答前提，構(gòu)造新函數(shù)轉(zhuǎn)化問題是解答關(guān)鍵，而研究函數(shù)性質(zhì)是破題核心.

解后反思，教學(xué)建議

上述對一道極值點(diǎn)偏移的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題進(jìn)行了思路突破，并總結(jié)了方法，開展了關(guān)聯(lián)探究. 其中函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性、不等式等相關(guān)知識是考查核心，問題解答需要深刻理解基礎(chǔ)知識，綜合運(yùn)用求解方法. 通過深入反思，下面提出幾點(diǎn)建議.

1. 立足基礎(chǔ)，探究知識

高考中的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)壓軸題常以函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式的關(guān)聯(lián)綜合作為主線，全面考查學(xué)生的核心能力，而問題解答需要立足數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，故探究函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式的基礎(chǔ)知識十分關(guān)鍵. 基礎(chǔ)知識的探究需要理解知識內(nèi)涵，總結(jié)定理公式，包括不同函數(shù)的定義、單調(diào)性、值域，以及單調(diào)性的判斷方法、值域的求解方法等. 解題探究中，筆者建議引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注考點(diǎn)，回歸教材基礎(chǔ)，思考需要的定義公式. 對于其中的復(fù)合型問題，可先拆解問題，再探究知識考點(diǎn).

2. 關(guān)聯(lián)轉(zhuǎn)化，構(gòu)建思路

與極值點(diǎn)偏移相關(guān)的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題的解析難度較大，問題探究需要把握函數(shù)的性質(zhì)特征，靈活運(yùn)用解題策略來轉(zhuǎn)化分析. 從上述解題過程來看，需要分三步進(jìn)行：第一步，判斷函數(shù)極值點(diǎn)偏移的情況，可繪制草圖;第二步，建立問題與函數(shù)的關(guān)系，初步處理?xiàng)l件，轉(zhuǎn)化問題;第三步，構(gòu)造新函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)解析問題. 上述“三步法”是此類問題思路構(gòu)建的常規(guī)方法，教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生明晰構(gòu)建過程的目的指向，掌握問題的轉(zhuǎn)化方法以及函數(shù)的構(gòu)造技巧.

3. 總結(jié)歸納，提升素養(yǎng)

綜合型問題的知識考點(diǎn)、解題方法較為多樣，針對不同類型的問題，其解法技巧、構(gòu)建思路也不同，對其加以總結(jié)和反思?xì)w納是十分必要的. 以上述極值點(diǎn)偏移的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題為例，需要理解極值點(diǎn)偏移的含義、判斷方法、常見類型，以及問題破解的策略. 同時(shí)探索解題策略中隱含的數(shù)學(xué)思想，引導(dǎo)學(xué)生掌握其中的思想內(nèi)涵，如數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、轉(zhuǎn)化思想、構(gòu)造思想等. 學(xué)生應(yīng)基于數(shù)學(xué)思想反思思路構(gòu)建，從而深刻理解解題策略，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

寫在最后

真題的知識考點(diǎn)指明了高考考向，其解題方法具有極高的學(xué)習(xí)價(jià)值，深入研究可提高解題能力，拓展思維. 因此在教學(xué)中，要立足考題開展解題探究，總結(jié)方法策略. 上述探究與極值點(diǎn)偏移相關(guān)的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題的難度較高，教學(xué)時(shí)要注重學(xué)生的思維引導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，同時(shí)注重方法拓展，提升學(xué)生的學(xué)科思維品質(zhì).