開展大單元教學(xué) 促進大概念發(fā)展

王靈勇 姜瀅

［摘 ?要］ 文章以2020年筆者和江山市教研室共同主持的省級教研課題“單元整體視角下小學(xué)數(shù)學(xué)研訓(xùn)的實踐思考”為背景，分析了整體教學(xué)視域下小學(xué)數(shù)學(xué)“大單元”教學(xué)的意義，從深度教材、依托學(xué)情、改進過程、優(yōu)化評價四個方面闡述了小學(xué)數(shù)學(xué)大單元教學(xué)的路徑，以整體促進學(xué)生“大概念”認(rèn)知結(jié)構(gòu)的生長。

［關(guān)鍵詞］ 整體教學(xué)；大單元教學(xué)；大概念

“大單元教學(xué)”是將數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)類似的內(nèi)容分模塊組合解讀，相對于自然單元更加體現(xiàn)整體性、系統(tǒng)化的大教學(xué)結(jié)構(gòu)，促進知識序列化的遷移和生長；根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點，改進學(xué)習(xí)方式，適當(dāng)調(diào)整、增減、拓展延伸相應(yīng)的內(nèi)容，體現(xiàn)合理性和實效性；課堂教學(xué)以多元表征整體推進，課堂生成更具有序列性、系統(tǒng)性；精準(zhǔn)評價，確保單元整體教學(xué)教評一致，達(dá)成預(yù)期成效［１］。大概念既能體現(xiàn)數(shù)學(xué)單元領(lǐng)域中最關(guān)鍵、最核心的教學(xué)內(nèi)容、數(shù)學(xué)思想，又能表現(xiàn)出較強的單元知識整體關(guān)聯(lián)性。建立大單元教學(xué)的思想，踐行“大概念”教學(xué)理念，有利于幫助學(xué)生編織起結(jié)構(gòu)狀的思維方式，培養(yǎng)學(xué)生的結(jié)構(gòu)思維；有利于教師用系統(tǒng)的思維整體規(guī)劃教學(xué)內(nèi)容、把握教學(xué)目標(biāo)，使課堂實現(xiàn)“1+X”精彩生成。

一、深研教材，尋找大單元教學(xué)的源頭

解讀教材時，梳理出核心數(shù)學(xué)概念，圍繞核心概念一級指標(biāo)建構(gòu)認(rèn)知結(jié)構(gòu)框架。根據(jù)知識的內(nèi)在關(guān)聯(lián)性，將新知識細(xì)分為二級指標(biāo)、三級指標(biāo)等，融合到知識結(jié)構(gòu)框架中，不斷細(xì)化、完善知識結(jié)構(gòu)，形成網(wǎng)狀生長性知識域。在教學(xué)中可以有以下三種關(guān)聯(lián)。

1. 形式上的類比性關(guān)聯(lián)

小學(xué)數(shù)學(xué)平面圖形“面積計算”系列課在教學(xué)結(jié)構(gòu)上很相似，需要根據(jù)知識形式化關(guān)聯(lián)建立大單元教學(xué)結(jié)構(gòu)，從面積的意義出發(fā)，按長正方形的面積、平行四邊形的面積、三角形的面積、梯形的面積、組合圖形的面積、圓面積順序安排教材。圖形面積計算教學(xué)，都基于“面積”意義的理解上升到數(shù)量的表征，都滲透了“轉(zhuǎn)化”“類比推理”的核心數(shù)學(xué)思想，都以猜想→推導(dǎo)→驗證→概括為教學(xué)主線，提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維。放眼其他教學(xué)內(nèi)容，用大單元教學(xué)的形式推而廣之，小學(xué)階段很多規(guī)律型的課都可以進行遷移運用，如體積的計算、積的變化規(guī)律、商不變的性質(zhì)、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)、比的性質(zhì)等。教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷歸納的全過程，獲得關(guān)于歸納推理的基本經(jīng)驗，促進學(xué)生對規(guī)律性知識探究的結(jié)構(gòu)化遷移。

像這樣，形式上結(jié)構(gòu)化類比關(guān)聯(lián)，以“類”聚合的內(nèi)容在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中還有很多。低年級學(xué)習(xí)的“長度計量單位”，中高年級學(xué)習(xí)的“面積計量單位”“體積計量單位”，都體現(xiàn)了“度量”大概念核心教學(xué)思想，教學(xué)形式上都是基于“長度計量單位”教學(xué)模式作類比遷移。每一個內(nèi)容都體現(xiàn)了以下結(jié)構(gòu)模式：立標(biāo)準(zhǔn)，定單位→造單位，記個數(shù)→簡便數(shù)，構(gòu)模型。教學(xué)時，教師要在長度計量單位的探究上精耕細(xì)作，繼而推廣到面積計量單位、體積計量單位教學(xué)。類似的教學(xué)模式結(jié)構(gòu)是明線，以大概念統(tǒng)整，基于學(xué)生思維邏輯為依據(jù)架構(gòu)共性教學(xué)路徑是核心主線。

2. 內(nèi)容上的本質(zhì)性關(guān)聯(lián)

以小學(xué)階段數(shù)的概念教學(xué)為例，學(xué)生掌握數(shù)的概念的本質(zhì)，包含了三個層面：不僅指向教學(xué)內(nèi)容，明確“是什么”，單純教學(xué)定義，停留在模仿、記憶層次；還要指向知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，突出本質(zhì)關(guān)聯(lián)，思考“為什么”，理解關(guān)系；還有后續(xù)生長的過程“怎么樣”，建構(gòu)概念域。

小學(xué)階段數(shù)的概念的教學(xué)主要包括整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)。在體會數(shù)（shù）源起于數(shù)（shǔ）的共性中凸顯以計數(shù)單位數(shù)數(shù)的思想，理解數(shù)的產(chǎn)生是因需要不斷擴展而來，從而類比遷移序列化內(nèi)容教學(xué)的共同之處。例如小數(shù)意義的教學(xué)，以分?jǐn)?shù)和整數(shù)為核心建立廣泛的聯(lián)結(jié)，利用數(shù)軸充分溝通分?jǐn)?shù)與整數(shù)、小數(shù)之間的聯(lián)系。數(shù)軸上猜數(shù)5，將“10”平均分成10份，每份是1，5個1就是5；數(shù)軸上猜數(shù)0.5，將“1”平均分成10份，每份是0.1，5個0.1就是0.5。為什么都是平均分成10份，得到的5份卻是不同的數(shù)呢？因為計數(shù)單位不同。在這個過程中教師要引導(dǎo)學(xué)生逐步感悟，小數(shù)計數(shù)單位是按照十進制不斷均分得到的。用0.1為計數(shù)單位進行數(shù)數(shù)時，出現(xiàn)0.5和0.6之間無法用一位小數(shù)精確表示的小數(shù)，能激發(fā)學(xué)生探究比0.1更小的計數(shù)單位，從而產(chǎn)生用兩位小數(shù)進行精確度量的需求，理解并結(jié)構(gòu)遷移到三位、四位、五位小數(shù)等?；仡櫿麛?shù)計數(shù)的“一而十，十而百，百而千，千而萬”，對比小數(shù)相鄰計數(shù)單位之間的關(guān)系，可利用十進制遷移小數(shù)數(shù)系與自然數(shù)數(shù)系的關(guān)系。在建構(gòu)小數(shù)數(shù)系的同時，將其自然納入以十進制為核心概念的數(shù)系知識結(jié)構(gòu)體系中，與自然數(shù)系共同形成更大的具有內(nèi)在邏輯聯(lián)系的知識整體結(jié)構(gòu)（圖1）。

3. 認(rèn)知上的遞進性關(guān)聯(lián)

無論是整數(shù)、分?jǐn)?shù)還是小數(shù)教學(xué)，用計數(shù)單位進行疊加計數(shù)，都是數(shù)概念教學(xué)的重點。整數(shù)概念教學(xué)分四個階段呈遞進性關(guān)聯(lián)，如圖2。

20以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識，重在一一數(shù)數(shù)、計數(shù)，用小棒、動物、植物、圖形等具體、形象的物品作為重要的學(xué)習(xí)材料；認(rèn)識百以內(nèi)的數(shù)時，借用具體、半形象的材料數(shù)數(shù)，如帶文字?jǐn)⑹鼋Y(jié)構(gòu)化的立體圖形、小棒、蘋果、小動物，但不再只是可視化的直觀具體材料，抽象水平有所提升；教學(xué)萬以內(nèi)更大數(shù)的認(rèn)識時，已經(jīng)使用了數(shù)軸、計數(shù)器、數(shù)位順序表、文字表示等模型、半抽象的結(jié)構(gòu)化材料來讀數(shù)、數(shù)數(shù)；在教學(xué)億以內(nèi)的大數(shù)時，已完全抽象為用文字描述、數(shù)位順序表、抽象符號（數(shù)字）進行數(shù)的讀寫。

二、依托學(xué)情，把握大單元教學(xué)的契機

數(shù)學(xué)具有高度的抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓?。早期的運算需要強化成直覺記憶，如20以內(nèi)進位加和退位減、表內(nèi)乘除法、乘加口算等。從理解算理、算法選擇入手，最終達(dá)到熟練化和自動化，從文本記憶走向工具運用。教師基于大單元教學(xué)理念，遵循學(xué)生的認(rèn)知水平，精練學(xué)習(xí)內(nèi)容，彌補認(rèn)知不足，讓教學(xué)更高效。

1. 以少勝多，對應(yīng)難點作精簡剔除

如20以內(nèi)退位減法，共36題，是后續(xù)學(xué)習(xí)其他加減法的基本技能之一。根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)的重難點進行精心剔除，可以實現(xiàn)教學(xué)事半功倍。利用減數(shù)和差位置交換的先剔除16題，精簡到20題；再剔除有特點的熟悉的1□-9，精簡到12題；減數(shù)等于差（如16-8=8）比較特殊，對于學(xué)生來說也相對簡單，如果進一步進行精簡剔除，最后重點剩9題（圖3）。通過精練提高口算效率，提升運算技能，可以減輕師生負(fù)擔(dān)。

作為高水平的教師，應(yīng)針對學(xué)生學(xué)習(xí)中的困難節(jié)點做好提前防護，防患于未然。在學(xué)習(xí)了多位數(shù)筆算乘（除）法后，教師就會發(fā)現(xiàn)學(xué)生雖然掌握了算理算法，但錯誤率卻居高不下。其實，任何筆算的計算過程都可以分解成乘加口算。例如計算359×37，其中就有5×7+6的進位心算過程，口算“□×□+□”是筆算乘除法的基礎(chǔ)。但不能等到教了筆算乘除法了再練口算，要提前在二年級教完乘加后，再開始針對難點和易錯點訓(xùn)練乘加口算。以“5×7+□”為例，共有9個算式，但因為乘數(shù)是7，后一位最大乘9也只有進6，所以多位數(shù)乘法涉及的乘加算式就只有6種可能。在這6種可能中，可以分成兩類：第一類不進位（5×7+1，5×7+2，5×7+3，5×7+4）；第二類進位（5×7+5，5×7+6）。顯而易見，“5×7+□”的乘加口算根據(jù)后續(xù)學(xué)習(xí)的是否常用，以及是否進位的難易度從9題精簡到2題。推而廣之，“□×7+□”包含的81題可以精簡到需要重點練習(xí)的21題，所有的“□×□+□”乘加口算都可以按此方法進行精簡剔除，然后進行對應(yīng)的強化訓(xùn)練。

基于數(shù)學(xué)教學(xué)的序列性，學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升的需求，教師適時補充相應(yīng)的練習(xí)，幫助學(xué)生精簡剔除，可以讓教學(xué)更精準(zhǔn)發(fā)力、更高效生成。

2. 由高往低，對應(yīng)缺陷作漸進式彌補

學(xué)生學(xué)習(xí)越到高年級，數(shù)學(xué)知識技能缺陷越難以彌補。這些基礎(chǔ)知識的困難在低年級就已漸露弊端：有些缺陷是因為教材編排結(jié)構(gòu)造成的認(rèn)知困難；有些是因為技能的訓(xùn)練沒有針對性。教學(xué)中，教師及時進行漸進式的彌補非常重要。

如學(xué)生在學(xué)習(xí)“用7～9乘法口訣求商”前，已經(jīng)能用2～6的乘法口訣求商，但在分析“用7～9乘法口訣求商”的45道前測題時，發(fā)現(xiàn)了三類錯誤：①用同一句口訣求商的過程中，除數(shù)比商小的除法算式錯誤率較高，如16÷2=8比16÷8=2更容易出錯；②關(guān)于8的乘法口訣求商，錯誤率比7和9的要高等。這些錯誤會讓教師反思學(xué)生的學(xué)習(xí)路徑。首先，乘法口訣按“小九九”的方式編排，積比較大的口訣都跟7、8、9這些乘數(shù)比較大的正相關(guān)，如“二八十六”這句口訣是在8的乘法口訣中學(xué)習(xí)的，積16跟8的關(guān)聯(lián)自然要比跟2的關(guān)聯(lián)更大一些。其次，7的口訣是單元教學(xué)修正一段時間后再學(xué)的，9的口訣是乘法口訣學(xué)習(xí)的最后一個內(nèi)容，對于學(xué)生的認(rèn)知而言，8的口訣相對不熟練。因此，出現(xiàn)對8的口訣求商最薄弱，是符合學(xué)生的認(rèn)知心理的。對應(yīng)這些缺陷，要提前到乘法口訣教學(xué)時就做出相應(yīng)的調(diào)整，比如學(xué)習(xí)完了所有的“小九九”編排的乘法口訣后，按大九九乘法表復(fù)習(xí)整理，強化積與兩個因數(shù)之間的關(guān)聯(lián)；或放緩對8的乘法口訣學(xué)習(xí)進程，加強8的乘法口訣練習(xí)等。

學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中結(jié)構(gòu)知識上的缺陷需要及時進行彌補，或拓展強化。如學(xué)生學(xué)習(xí)了“面積”以后，在計算圖形的周長與面積時總是出現(xiàn)混淆，這種缺陷在不同層次的學(xué)生中都普遍存在，縱觀各版本教材，周長和面積一課的教學(xué)，時間跨度大，學(xué)生認(rèn)知上容易出現(xiàn)斷層，因此常常出現(xiàn)“周長”與“面積”相混淆，而教材并沒有安排“周長”與“面積”整合的辨析課。“周長”與“面積”辨析問題要不要教，什么時候教，怎么教？對此，在三下認(rèn)識了面積之后教師設(shè)計了“周長與面積關(guān)系”一課。

課始，教師出示一個長方形與一個正方形，讓學(xué)生用藍(lán)筆涂一涂面積，用紅筆描一描周長，然后分別算一算周長和面積。這樣，能讓學(xué)生明確“面積”和“周長”的不同。接著，教師把一個長方形框架逐漸“擠壓”成平行四邊形，讓學(xué)生進一步發(fā)現(xiàn)“周長相等的圖形面積不相等”，強化對周長和面積意義的理解。隨后，教師設(shè)計了“在邊長為10厘米的正方形中減去一個長5厘米、寬4厘米的長方形”，讓學(xué)生自主提問并解答。例如，（1）這個正方形中有多少個小長方形？（2）剪去的長方形面積和周長各是多少？（3）剩下的圖形周長和面積各是多少？教師通過開放性問題，讓學(xué)生基于不同的認(rèn)知水平積極投入思考，參與交流，激發(fā)創(chuàng)新思維。接著，教師讓學(xué)生解決第4題（圖4）：（1）下圖中哪個圖形面積最大？為什么？（2）第一個和第三個圖形有什么發(fā)現(xiàn)？問題（1），讓學(xué)生進一步理解面積含義；問題（2），讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)“周長不相等面積相等”，與課始的“周長相等面積不相等”形成完整的認(rèn)知，強化對比辨析理解。緊接著，教師趁熱打鐵引入蘇教版教材“解決問題策略”（圖5），引導(dǎo)學(xué)生用列舉法解決問題。

三、跟進課堂，探索大單元教學(xué)的方式

學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、解決生活實際問題的能力在很大程度上需要依賴自身心理表征的抽象性和結(jié)構(gòu)性，而多元表征能幫助學(xué)生更好地記錄、理解數(shù)學(xué)知識，主動建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)［２］。

1. 以一至多形象理解

同樣的一個數(shù)學(xué)內(nèi)容，學(xué)生可以用具體實物、圖形表征、抽象的語言、文字符號等表述，在多元表征中理解相關(guān)的內(nèi)容（表1、圖6）。如“小數(shù)的意義”教學(xué)中，教師讓學(xué)生利用多元表征進行學(xué)習(xí)，在循序漸進中促進學(xué)生認(rèn)知由淺入深地轉(zhuǎn)化，對“1.76”進行的不同理解（如圖7）。

實物情境： 1元和7個1角和6個1分組成1.76元，共176個1分。

教具模型： 用皮尺直觀演示其中的1.76米。

圖形圖表：

語言：我爸爸的身高是1.76米，1表示1米，再把1米平均分成10份，先涂出7份，再把第8份平均分成10份，涂出其中的6份，就表示0.76，合在一起就是1.76。1.76在1.75和1.77之間。

書寫符號：1+0.7+0.06=1.76（米）

通過多元表征對數(shù)學(xué)概念的意義進行深化理解，鞏固提升，類比遷移，并通過多元化學(xué)習(xí)、多樣化交流互動，學(xué)生原有的經(jīng)驗得以完善和提煉，形成從低層次到高層次的深度理解。

2. 以多至一抽象表征

學(xué)生認(rèn)知表征分動作表征、圖像表征、符號表征三個不同階段遞進上升。前兩個階段是為了最后的符號表征，抽象理解。

計算教學(xué)中不僅要關(guān)注順向思維，還要關(guān)注逆向思維，算理與算法之間要進行多向聯(lián)系，促進圖式與口算的聯(lián)系、圖式與筆算的聯(lián)系、口算與筆算的聯(lián)系等，使學(xué)生真正理解算理。如教學(xué)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”，可以很好地借助直觀手段幫助學(xué)生理解筆算豎式的算理，掌握算法。學(xué)生已經(jīng)會兩位數(shù)乘一位數(shù)和兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)的口算和筆算，他們都有拆一個兩位數(shù)分開乘這樣的經(jīng)驗。當(dāng)學(xué)生面對14×12時，一般會出現(xiàn)以下兩種作品（圖8）。

教師可以結(jié)合學(xué)生作品進行算理解釋和算法溝通，引導(dǎo)學(xué)生在點子圖中圈出自己算式的每一步，一邊圈一邊說（圖9、圖10）。學(xué)生在圈畫中明白拆兩個因數(shù)，兩兩相乘只是其中的兩個部分積，還少了兩個部分積，補齊后發(fā)現(xiàn)應(yīng)該是：先算10×10=100，4×2=8，10×4=40，10×2=20，再相加。而圖8中的作品1只需要拆一個因數(shù)，只有兩個部分積，計算方便。通過正確與錯誤作品的對比，使學(xué)生不斷溝通點子圖與口算的聯(lián)系，明晰正確的拆分方法，再逐步形成正確的算法，最后延伸到筆算?！巴庠诒碚鳌獌?nèi)在表征——認(rèn)知結(jié)構(gòu)——數(shù)學(xué)對象”構(gòu)成的是一個學(xué)習(xí)循環(huán)的過程，運算技能的形成離不開這樣的學(xué)習(xí)循環(huán)抽象過程。

3. 以小悟大拓展思維

以小悟大，即通過題組引導(dǎo)學(xué)生的解題思路，使學(xué)生能夠?qū)⒁呀?jīng)學(xué)過的知識運用到解題過程中，并掌握一定的思維技巧，找到題組與知識體系間的最佳聯(lián)合點。

例如在復(fù)習(xí)“小數(shù)的整理與復(fù)習(xí)”一課時，教師在黑板上寫下“103.2560”，以此引導(dǎo)學(xué)生的拓展思維，并讓學(xué)生自主設(shè)計問題如下。

生1：這個小數(shù)的整數(shù)和小數(shù)部分分別是？以什么為界劃分？

生2：怎樣讀出這個小數(shù)？

生3：這個小數(shù)能夠表示生活中的哪些量？

生4：1在（ ?）位，表示1個（ ?）；2在（ ?）位，表示（ ?）個（ ?）；6在（ ?）位，表示（ ?）個（ ?）。

生5：103.2560是由（ ?）個1和（ ?）個0.0001組成的。

生6：103.2560中去掉哪些零，能夠保持?jǐn)?shù)量不變？為什么？

生7：如果在小數(shù)后增加單位“米”，則103.2560米表示103（ ?）256（ ?）；其中2表示2（ ?），5表示5（ ?），6表示6（ ?）。

由學(xué)生提出問題，然后解決問題，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時也讓學(xué)生理清了知識的來龍去脈，同樣能達(dá)到復(fù)習(xí)單元知識的教學(xué)目的。這種開放問題引發(fā)學(xué)生運用已有的知識、方法去思考，從而形成題組以小悟大，使學(xué)生的學(xué)習(xí)和探究能力進一步增強，并為后續(xù)知識建構(gòu)及拓展奠定堅實基礎(chǔ)。

4. 以點結(jié)塊建構(gòu)體系

教學(xué)中教師應(yīng)立足單元視角將知識結(jié)構(gòu)中以“點狀”形式存在的知識連成“線”，結(jié)成“塊”，使學(xué)生對知識的理解掌握形成結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

例如，對于面積單位的整理，不僅要讓學(xué)生明白所學(xué)面積單位適用于什么地方，更重要的是厘清面積單位之間的關(guān)系及換算。計量單位的呈現(xiàn)順序是從小到大逐步累加而來的，相應(yīng)的面積單位對應(yīng)著所學(xué)的長度單位。

師：對于學(xué)過的面積單位，你有什么疑問嗎？

生：我發(fā)現(xiàn)已經(jīng)學(xué)過的相鄰面積單位之間的進率是100，只有平方米與公頃之間的進率是10000——很特殊。在換算的時候容易弄錯。

生：平方米與公頃之間是否還存在著另一個面積單位呢？如果有，把它加進來就好記了。

師：有一個怎樣的面積單位呢？我們可以研究一下。

生：對照面積單位與長度單位的關(guān)系，我發(fā)現(xiàn)：邊長1分米的正方形面積是1平方分米，邊長1米的正方形面積是1平方米，邊長100米的正方形面積是1公頃。以此類推，在平方米與公頃間應(yīng)該有邊長10米的正方形面積的面積單位。

師：有道理，那應(yīng)該叫什么呢？（呈現(xiàn)圖片）邊長10米的正方形面積是100平方米，我們把它叫作公畝。1公頃等于多少公畝呢？

生：100公畝。因為1公頃等于10000平方米，1公畝等于100平方米，10000里面有100個100，所以1公頃等于100公畝。

師：公畝是介于平方米與公頃之間的一個面積單位。只是公畝現(xiàn)在不常用了，如果把公畝放進來，我們就發(fā)現(xiàn)：每相鄰的兩個面積單位之間的進率都是100。

教師針對學(xué)生提出的疑問，結(jié)合教材“做一做”適時引入對“公畝”的研究并介紹有關(guān)“公畝”的知識，讓學(xué)生徹底明白相鄰的面積單位之間的進率是100，只是公畝現(xiàn)在不常用而造成公頃與平方米之間的進率是10000。

在認(rèn)識“公畝”的同時，結(jié)合整節(jié)課對“公頃和平方千米”的認(rèn)識，對面積單位作如下的整理（圖11）。

四、優(yōu)化評價，提升大單元教學(xué)的成效

基于大單元教學(xué)的視角通盤制定規(guī)劃，確定單元模塊內(nèi)容，分課時確定目標(biāo)，給出詳細(xì)的單元教學(xué)安排與評價機制，努力做到教評一致、教有所依、學(xué)有所評，確保單元教學(xué)達(dá)成預(yù)期的成效。

1. 分層制定評價標(biāo)準(zhǔn)

數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾曾指出，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是分層遞進的，數(shù)學(xué)教學(xué)的任務(wù)是幫助學(xué)生拾級而上提高層次，實現(xiàn)“再創(chuàng)造”。數(shù)學(xué)教學(xué)活動應(yīng)遵循學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律，以范希爾幾何思維水平層次為依據(jù)，精準(zhǔn)分析教材和學(xué)情，制定目標(biāo)、指定路徑、實施評價、分析目標(biāo)達(dá)成（簡圖如圖12）。

根據(jù)學(xué)生幾何思維層次水平，筆者以六上“什么是圓”大單元教學(xué)為例，對教學(xué)內(nèi)容進行系統(tǒng)梳理，制定了分層思維水平分析表（表2）。

基于大單元教學(xué)視角，學(xué)生幾何思維水平由水平0循序漸進向水平3——形式化演繹邁進，教學(xué)內(nèi)容、課時教學(xué)活動的設(shè)計、課堂推進也由易到難逐步推進，幫助學(xué)生整體、系統(tǒng)經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”。

2. 整體制定評價目標(biāo)

為了精準(zhǔn)分析學(xué)情，筆者團隊對城區(qū)、城郊、鄉(xiāng)鎮(zhèn)、山區(qū)等不同學(xué)校學(xué)生進行了抽樣調(diào)研，從中發(fā)現(xiàn)：約86%的學(xué)生對圓有初步感知，能正確辨認(rèn)出圓心、直徑、半徑等概念，只有9%的學(xué)生對相關(guān)概念能基本準(zhǔn)確地進行描述，55%的學(xué)生能舉出生活中圓的具體例子。約55%的學(xué)生在三年級認(rèn)識了圖形的周長，對圓周長的學(xué)習(xí)形成了方法的正遷移，能通過繩子等工具測量圓的周長。約34%的學(xué)生知道圓周長和面積公式，能初步套用公式進行正確計算，思維水平已經(jīng)達(dá)到了水平1，但學(xué)生不理解公式形成的過程，不知其所以然，“轉(zhuǎn)化”“化曲為直”的數(shù)學(xué)思想方法存在斷層。約90%的學(xué)生能用分割法、數(shù)格子法算出圓的面積。根據(jù)學(xué)情，筆者基于大單元教學(xué)視角，制定了以下評價目標(biāo)。

整體層面：

本單元重點是圖形的轉(zhuǎn)化思想和度量思想，讓學(xué)生基于長度的測量將圓的周長和面積解決問題轉(zhuǎn)化成已知圖形來解決。

具體目標(biāo)：

（1）通過觀察、操作，認(rèn)識圓，會用圓規(guī)畫圓。

（2）通過操作，了解圓的周長與直徑的比為定值，掌握圓的周長公式；探索并掌握圓的面積公式，并能解決簡單的實際問題。

（3）經(jīng)歷嘗試、探究、分析、反思等過程，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，在解決圓相關(guān)的數(shù)學(xué)問題的過程中，提高解決實際問題的能力。

（4）經(jīng)歷圓周長、面積計算公式推導(dǎo)過程，體會和掌握轉(zhuǎn)化、極限等數(shù)學(xué)思想。通過數(shù)學(xué)再創(chuàng)造活動，思維水平達(dá)到非形式化演繹，并向水平3形式化演繹過渡。

（5）通過生活實例、數(shù)學(xué)史料，感受數(shù)學(xué)之美，了解數(shù)學(xué)文化，提高學(xué)習(xí)興趣。

3. 系統(tǒng)規(guī)劃提升成效

縱觀不同版本教材關(guān)于“圓”的單元教學(xué)內(nèi)容，大致分為三個板塊內(nèi)容，即“什么是圓”“圓的周長”“圓的面積”。每塊內(nèi)容由新授及練習(xí)組成，圓的面積之后還增加了“圓與正方形”拓展課?；趯滩摹W(xué)生學(xué)情的分析，對教學(xué)內(nèi)容進行了系統(tǒng)規(guī)劃整合，分“立”“改”“整”“拓”四個模塊展開?！傲ⅰ保ㄊ裁词菆A）——單元開啟課，重點解決“圓一周同長”核心問題，領(lǐng)悟圓的本質(zhì)特征；“改”（圓的周長、圓的面積）——單元生長課，重點解決“周長與直徑之間的關(guān)系”“推導(dǎo)圓的面積公式”核心問題，感受極限思想，發(fā)展幾何推理能力；“整”（整合課）——重點解決“變式應(yīng)用面積公式推導(dǎo)，靈活解決生活問題”核心問題；“拓”（圓與正方形）——重點解決“建立數(shù)學(xué)模型，溝通圓與方的關(guān)系”核心問題，將面積差比拓展到倍比。具體安排如圖13。

4. 內(nèi)外融合檢測評價

評價是檢驗大單元教學(xué)成效的依據(jù)，應(yīng)充分挖掘知識間的內(nèi)在聯(lián)系，形成思維品質(zhì)，還需要結(jié)合課內(nèi)知識結(jié)構(gòu)和課外拓展材料設(shè)計出多角度、多層次、全方位思考的練習(xí)，進而整合評價學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。

完善知識結(jié)構(gòu)，檢測知識運用能力。教師應(yīng)該在學(xué)生初步建立知識結(jié)構(gòu)時，適時地進行知識方法的檢測，提升綜合運用能力。

以圓的面積靈活運用（課內(nèi)）片段為例，教師在教學(xué)中著重引導(dǎo)學(xué)生借助正方形的方格估計圓的面積，體會圓的面積與圓的半徑有關(guān)，是圓的半徑平方的3倍多一些。讓學(xué)生從不同的視角探究圓的面積，更能激發(fā)學(xué)生的探究欲望，也為面積計算教學(xué)打開了一扇窗。

因此，筆者覺得在練習(xí)檢測中可以把以下這類題組內(nèi)容融進課堂教學(xué)中，后續(xù)的練習(xí)中出現(xiàn)這類相關(guān)的問題就迎刃而解了。學(xué)生會從中感悟前面的“三倍多一些”其實就是π倍，在無法得到圓的半徑是多少的情況下，可以用a2來代替r2，巧算圓的面積。

例題：圖形面積巧計算

1. 如圖14，以點O為圓心，正方形OABC的面積是20cm2，求圓的面積。

2. 如圖15，以點O為圓心，三角形OAC的面積是20cm2，求圓的面積。

3. 如圖16，以點O為圓心，等腰直角三角形OAB的面積是30cm2，求圓的面積。

嘗試課外拓展，測試自主學(xué)習(xí)能力。知識方法的運用能力體現(xiàn)在生活中的問題解決中，而思維方式更體現(xiàn)在對全新知識的自主學(xué)習(xí)中，教師應(yīng)該給予學(xué)生這樣的機會，讓他們?nèi)L試觸碰一些相關(guān)聯(lián)的新知識，體會思維方式的價值。

例如：破鏡重圓數(shù)學(xué)小研究（課外）片段。圖17是從一個圓形紙片中撕下來的一部分，你能還原整個圓嗎？你想到了哪些方法？

學(xué)生靈活運用圓的特征從不同角度展開思考：折一折、畫一畫、估一估、拼一拼等，把一個殘缺的圓變得圓滿了。

參考文獻：

［１］ 侯學(xué)萍，陳琳. 小學(xué)數(shù)學(xué)單元教學(xué)的整體設(shè)計［Ｊ］. 教學(xué)與管理，２０１８（２９）：４３－４５.

［２］ 熊梅，李洪修. 發(fā)展學(xué)科核心素養(yǎng)：單元學(xué)習(xí)的價值、特征和策略［Ｊ］. 課程·教材·教法，２０１８，３８（１２）：８８－９４.