數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)實(shí)踐與思考

張輝

[摘 ?要] 數(shù)學(xué)歸納法是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容之一. 但在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生對(duì)它的實(shí)質(zhì)、遞推關(guān)系及從無限到有限的轉(zhuǎn)化，在理解上存在一定的困難. 多米諾骨牌游戲作為遞推思想的直觀模型，應(yīng)用在課堂教學(xué)中，能讓學(xué)生類比出歸納法的實(shí)質(zhì)與意義. 鑒于此，文章從歸納法教學(xué)存在的問題，以及教學(xué)實(shí)錄分析等方面談一些具體思考.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)歸納法;遞推;多米諾骨牌

數(shù)學(xué)歸納法是一種演繹推理，主要將無窮的推理過程轉(zhuǎn)化為有限的推理步驟，這種方法是證明自然數(shù)相關(guān)問題的主要工具[1]. 隨著新課改的推進(jìn)，歸納法的應(yīng)用越發(fā)廣泛，它的來源、理論基礎(chǔ)以及應(yīng)用技巧等，受到教育界的廣泛關(guān)注，但在實(shí)施過程中，仍然存在一些不足之處.

存在問題

數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)，不論從單元出發(fā)，還是從本身出發(fā)，都應(yīng)著重突出類比和歸納的再發(fā)現(xiàn)過程，強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，為核心素養(yǎng)的形成奠定基礎(chǔ). 但在教學(xué)實(shí)踐中，仍然存在以下幾類問題：

1. 引入過于簡(jiǎn)單

有些教師存在“重解題，輕過程”的思想，歸納法的引入過于簡(jiǎn)化，著重將精力放在歸納法的實(shí)際應(yīng)用上，致使不少學(xué)生無法理解其原理，特別是對(duì)于遞推過程不勝其解，只能依靠生搬硬套而強(qiáng)行應(yīng)用.

2. 缺乏整體考慮

偉大的數(shù)學(xué)家歐拉認(rèn)為，類比與歸納是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要工具. 有些教師，執(zhí)教歸納法時(shí)，忽略了合情推理的過程，致使一些學(xué)生難以建構(gòu)完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，尤其是缺乏數(shù)學(xué)證明、推理的歸納法教學(xué)，使得學(xué)生錯(cuò)過了用類比獲得數(shù)學(xué)“再發(fā)現(xiàn)”的良好時(shí)機(jī).

3. 問題選擇不當(dāng)

有些教師在問題的選擇上比較隨意，無法凸顯出歸納法得天獨(dú)厚的優(yōu)勢(shì)，尤其是一些不用歸納法反而能更快、更簡(jiǎn)單地解決的問題，會(huì)讓學(xué)生覺得歸納法是個(gè)累贅，沒什么作用. 長(zhǎng)此以往，學(xué)生的思維就會(huì)受到局限，無法發(fā)散.

教學(xué)實(shí)錄評(píng)析

1. 問題情境，展示遞推模型

問題：已知數(shù)列{an}，a1=1，an=（n=1，2，3，…），歸納該數(shù)列的通項(xiàng)公式.

生1：結(jié)合教材，本題應(yīng)用合情推理可得an=.

師：哦？說說你的推理過程.

生1：通過審題，已知a1=1，將它代入式子an=，可得a2=;將a2的值代入an=，可得a3=，以此類推，可得an=. 這是通過不完全歸納所得的結(jié)論，至于結(jié)論正確與否，尚需證明.

師：那么有沒有辦法對(duì)它的結(jié)論一一驗(yàn)證？為什么？

生2：不行，驗(yàn)證只能以一個(gè)推導(dǎo)下一個(gè)，不可能驗(yàn)證無數(shù)個(gè).

師：不錯(cuò)，此數(shù)列是無限的，對(duì)于無限的命題，我們無法用完全歸納法來驗(yàn)證. 因此我們應(yīng)想方設(shè)法找出一種新的方法，將這種無限情況轉(zhuǎn)化為有限的. 剛剛所提到的“以一個(gè)推導(dǎo)下一個(gè)”的遞推方法在此是否有用？

生3：應(yīng)該有用，但總感覺這種遞推方法有點(diǎn)抽象.

師：確實(shí)有點(diǎn)抽象，如果能用直觀模型進(jìn)行演示，大家就會(huì)覺得簡(jiǎn)單多了. 多米諾骨牌大家知道嗎？

生（眾）：知道. （學(xué)生興趣盎然）

評(píng)析 本節(jié)課的引例是學(xué)生熟悉的一個(gè)數(shù)列，通過其成功地喚醒了學(xué)生對(duì)完全歸納法和不完全歸納法的記憶，學(xué)生在自己的認(rèn)知沖突中感知到：想要否定一個(gè)結(jié)論，用一個(gè)反例即可;但要肯定一個(gè)結(jié)論，則需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明過程. 由此成功誘導(dǎo)了學(xué)生的“惑”，有效觸動(dòng)了學(xué)生的探究欲，讓學(xué)生充分感受到了新方法的重要性，尤其是怎樣將無限轉(zhuǎn)化為有限的提議，為學(xué)生的思維指明了方向.

教師根據(jù)學(xué)生的身心特征，提出學(xué)生感興趣的多米諾骨牌，成功地將抽象轉(zhuǎn)化為直觀，也明確了本節(jié)課的核心——遞推，激發(fā)了學(xué)生繼續(xù)深入思考與探究的欲望.

2. 條件探究，明確遞推原理

用PPT演示多米諾骨牌（簡(jiǎn)稱骨牌）游戲的動(dòng)態(tài)效果，要求學(xué)生獨(dú)立思考后討論：在什么條件下，骨牌會(huì)倒下？

結(jié)論 ①排在第一的骨牌倒下，其他骨牌順著倒下;②任意鄰近的骨牌，前一張倒下，后一張也跟著倒下.

師：只要滿足這兩個(gè)條件就可以了嗎？

生4：對(duì)的，簡(jiǎn)單來說就是1倒下→2倒下→3倒下……

師：也就是說，當(dāng)?shù)谝粡埞桥频瓜聲r(shí)，咱們就能確定所有骨牌都將倒下. 為什么我們能這么肯定呢？

生5：第一張骨牌倒下必然會(huì)觸碰到第二張，導(dǎo)致第二張骨牌倒下，以此類推，最終所有的骨牌都將倒下.

師：這應(yīng)該是針對(duì)條件①而言，那么你們所獲得的條件②有什么用呢？

生6：其實(shí)條件②就是遞推，前一張骨牌的倒下，可遞推出后一張骨牌倒下的必然性.

師：不錯(cuò)，條件②看似只是一個(gè)條件，但它卻含有遞推過程，那么條件①和條件②分別具有怎樣的作用呢？

生7：條件①可以理解為推動(dòng)的開始，條件②則為遞推的過程，兩者結(jié)合在一起就說明所有骨牌倒下.

師：非常好！若讓你們來檢查是否所有骨牌都能倒下，你們會(huì)觀察什么？

生8：首先看第一張骨牌是否能夠倒下，再逐個(gè)檢查前一張骨牌倒下了，后面一張骨牌是否具備跟著倒下的條件.

師：也就是先查第一張骨牌“行不行”，再查遞推“能不能”，只要滿足了這兩個(gè)條件，即可完成整個(gè)游戲. （板書關(guān)鍵詞）

評(píng)析 多米諾骨牌游戲?qū)儆谶f推思想的一個(gè)重要模型，學(xué)生在自主思考與討論后所獲得的兩個(gè)條件即數(shù)學(xué)歸納法的雛形. 想讓后一張骨牌倒下，這兩個(gè)條件是必不可少的. 于高中生而言，要透徹理解歸納法中的“若n=k時(shí)成立，證明n=k+1時(shí)，結(jié)論亦成立”稍微有點(diǎn)難度，至于“為什么要先假設(shè)n=k時(shí)成立呢？這個(gè)假設(shè)怎么能當(dāng)作條件運(yùn)用呢？”這些問題，由于過于抽象，導(dǎo)致很多學(xué)生難以理解，證明也只能是從形式到形式的過程. 為此，教師提出讓游戲成立，需要觀察些什么，就是針對(duì)以上難以理解的抽象內(nèi)容所設(shè)置的，學(xué)生從直觀形象的“骨牌游戲成立”的條件觀察中，重點(diǎn)突出了檢查的兩項(xiàng)內(nèi)容，并將這兩項(xiàng)內(nèi)容加起來，才能保證游戲的萬無一失，這為后繼教學(xué)奠定了基礎(chǔ).

3. 引例證明，生活實(shí)例類比

師：通過以上對(duì)骨牌游戲的分析，我們得到了一定的啟示，那么該如何應(yīng)用這些啟示來解決引例這個(gè)問題呢？結(jié)合骨牌游戲與問題，我們可將骨牌游戲的條件①類比成問題中的什么？將條件②類比成問題中的什么？

（學(xué)生經(jīng)過合作學(xué)習(xí)，獲得結(jié)論，略）

師：非常好！那么在骨牌全部倒下時(shí)，又與什么相對(duì)應(yīng)呢？

生9：與“數(shù)列通項(xiàng)a=，所有正整數(shù)n均成立”相對(duì)應(yīng).

師：不錯(cuò)！那么應(yīng)該驗(yàn)證骨牌起始與遞推這兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的引例問題的什么呢？

生10：只要驗(yàn)證條件①和條件②成立即可.

師：能具體說說嗎？

生10：就是驗(yàn)證命題“若a=，則a=”成立. 驗(yàn)證過程為：若a=，根據(jù)遞推關(guān)系可得a==.

師：我們可將遞推的起始和過程都類比過來嗎？

生11：可以，而且經(jīng)過類比后，所獲得的數(shù)列項(xiàng)（通項(xiàng)公式）是正確的.

師：現(xiàn)在回過頭來思考，此過程是怎樣將無限逐漸化為有限的？

生12：就是不斷遞推，也就是無數(shù)塊骨牌都倒下的過程.

師：結(jié)合多米諾骨牌游戲與本節(jié)課的數(shù)列問題，我們?cè)陬惐戎蝎@得了數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式a=，這種類比、歸納推理的方法一般可用來解決哪些數(shù)學(xué)問題呢？你們能總結(jié)出一般方法嗎？

學(xué)生再次類比數(shù)列通項(xiàng)證明與多米諾骨牌倒下的原理，經(jīng)過自主分析與合作探究，歸納出了一般原理.

評(píng)析 由數(shù)列問題到多米諾骨牌游戲，再回歸數(shù)列通項(xiàng)證明，整個(gè)過程自然、流暢，學(xué)生將自己所熟悉的生活實(shí)例與抽象的數(shù)學(xué)問題相對(duì)應(yīng)，并探究出相應(yīng)的列表方法，讓知識(shí)變得更有條理. 同時(shí)有效幫助學(xué)生用類比的方法，解決了同類問題.

當(dāng)學(xué)生的思維遇到卡頓點(diǎn)時(shí)，教師利用多米諾骨牌倒下的兩個(gè)條件，與通項(xiàng)公式中的兩個(gè)“驗(yàn)證”進(jìn)行類比，順利地解決了學(xué)生思維的障礙，幫助學(xué)生理解到數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟，有效防止了流于形式的歸納證明.

因?yàn)橛絮r活的生活實(shí)例與課堂引例作為教學(xué)的基礎(chǔ)，所以本節(jié)課的歸納法原理抽象得尤為順利. 同時(shí)，遞推的類比過程著重滲透著遞推思想，教師引導(dǎo)學(xué)生將無數(shù)骨牌倒下與通項(xiàng)對(duì)所有正整數(shù)成立相類比，獲得了數(shù)學(xué)歸納法原理，成功地實(shí)現(xiàn)了無限到有限的過渡.

4. 辯證分析，獲得相關(guān)原理

師：若想證明一個(gè)與正整數(shù)相關(guān)的命題，從歸納法原理出發(fā)，可怎么證明？

生13：此類命題的證明，主要是解決遞推問題，先要證明第一步能行，也就是先證明n=1時(shí)命題成立，到第二步再證明具備遞推的條件，即n=k時(shí)命題成立，那么n=k+1時(shí)命題肯定就是成立的.

師：分析得有道理. 現(xiàn)在我們將目光回到第一張骨牌來（用PPT演示起始骨牌未倒下），若將這個(gè)現(xiàn)象與數(shù)學(xué)歸納法的證明過程相結(jié)合，你們有什么感悟？

生14：從PPT的演示來看，第一張骨牌沒有倒下，其他骨牌都沒有倒下，也就是說當(dāng)n=1時(shí)，命題不成立，后面的遞推也就無法正常進(jìn)行了，所以遞推的關(guān)鍵條件不能缺失.

師：非常好！現(xiàn)在我們繼續(xù)來看屏幕（用PPT演示第一張骨牌倒下，隨之倒下幾張骨牌后，后面的骨牌都沒有倒下），將此現(xiàn)象推廣到數(shù)學(xué)歸納法的證明過程，對(duì)你們有什么啟發(fā)嗎？

生15：要達(dá)到遞推的條件，前面的骨牌倒下必須能帶動(dòng)下一張骨牌也倒下，也就是要確保遞推對(duì)所有正整數(shù)n都是成立的，若有一個(gè)正整數(shù)n不能遞推，則會(huì)導(dǎo)致后面的遞推不成立.

師：不錯(cuò)，通過以上過程，我們可以再次確定兩個(gè)條件缺一不可，條件①為遞推的基礎(chǔ)，條件②為遞推的過程，將它們聯(lián)系在一起，才能獲得命題對(duì)任意正整數(shù)都成立. 大家再看屏幕（繼續(xù)動(dòng)態(tài)演示：第一張骨牌沒有倒下，后面有一張骨牌倒下了，導(dǎo)致這張骨牌后面的所有骨牌都倒下），從中你們能看出這與數(shù)學(xué)歸納法相關(guān)的是什么嗎？

生16：可以看出第一步并不一定為n=1，就像骨牌游戲一樣，有可能會(huì)以第2、第3、第4……任意一張骨牌作為倒下的起始骨牌，導(dǎo)致后面的骨牌全都倒下. 從數(shù)學(xué)歸納法的角度來看，就是證明滿足n≥n（n為正整數(shù)）均成立的與正整數(shù)相關(guān)的命題時(shí)，第一步是“當(dāng)n=n時(shí)，命題是成立的”.

評(píng)析 遞推法所涉及的兩個(gè)步驟——“遞推基礎(chǔ)”與“遞推過程”是不可或缺的關(guān)系，骨牌游戲分別以條件扮演的方式，彰顯了遞推法兩個(gè)步驟的重要性，強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)遞推的任意性與無限性的認(rèn)識(shí).

此過程，將復(fù)雜、抽象的數(shù)學(xué)問題，用直觀、形象的骨牌游戲淋漓盡致地展示了出來，讓學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)到歸納法遞推過程中條件的重要性. 上述演示，是完善學(xué)生認(rèn)知的過程，讓學(xué)生在原有的認(rèn)知基礎(chǔ)上，補(bǔ)充認(rèn)識(shí)到歸納法的適用范圍為關(guān)于正整數(shù)n（n≥1）的命題.

教學(xué)思考

1. 利用“再發(fā)現(xiàn)”突破教學(xué)難點(diǎn)

弗賴登塔爾提出，由“再發(fā)現(xiàn)”所獲得的知識(shí)，遠(yuǎn)比被動(dòng)接受來得更為深刻，也保持得更長(zhǎng)久[2]. 新課標(biāo)倡導(dǎo)遇到教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)時(shí)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在獨(dú)立思考、自主探索、合作交流中逐個(gè)擊破難點(diǎn). 而思考、探索與交流的過程，則屬于知識(shí)“再發(fā)現(xiàn)”的過程. 本節(jié)課，教師利用骨牌游戲啟發(fā)學(xué)生思維，讓學(xué)生在類比中實(shí)現(xiàn)知識(shí)的“再發(fā)現(xiàn)”，突破了歸納法的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，取得了不錯(cuò)的教學(xué)成效.

2. 利用“問題驅(qū)動(dòng)”激活思維

問題驅(qū)動(dòng)，顧名思義就是以“問題”為載體，通過對(duì)元認(rèn)知的提示，激活學(xué)生思維，讓學(xué)生在思考中展開探究，對(duì)知識(shí)形成深刻的認(rèn)識(shí). 在本節(jié)課的教學(xué)中，若選擇一些簡(jiǎn)單的問題去引導(dǎo)，學(xué)生不免覺得奇怪——?dú)w納法也沒什么呀？我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)習(xí)這種方法呢？學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生的思維會(huì)處于抑制狀態(tài). 而趣味十足的多米諾骨牌游戲的展示與有一定深度的問題的提出，則有效驅(qū)動(dòng)了學(xué)生思維，讓學(xué)生結(jié)合骨牌游戲與引例的類比、分析，不僅深刻體現(xiàn)了遞推法需要滿足的條件，還充分展示了歸納法在數(shù)學(xué)中的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.

3. 以發(fā)展“核心素養(yǎng)”為目標(biāo)

新課標(biāo)提出，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)發(fā)展與提高學(xué)生的“四基”、“四能”與核心素養(yǎng)，而核心素養(yǎng)又關(guān)乎每個(gè)學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展[3]. 作為教師，應(yīng)根據(jù)學(xué)情與教學(xué)任務(wù)，有選擇性地應(yīng)用各類教學(xué)手段優(yōu)化教學(xué)，在提高教學(xué)實(shí)效的基礎(chǔ)上，通過持之以恒的努力，加強(qiáng)學(xué)生邏輯推理能力的訓(xùn)練，以發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).

總之，類比多米諾骨牌游戲推導(dǎo)數(shù)學(xué)歸納法原理，充分契合數(shù)學(xué)歸納法原理辨析和應(yīng)用的要求，有效體現(xiàn)了生活素材在數(shù)學(xué)教學(xué)中的價(jià)值，為教師更好地實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)提供了思考方向.

參考文獻(xiàn)：

[1] 華羅庚. 數(shù)學(xué)歸納法[M]. 上海：上海教育出版社，1963.

[2] 弗賴登塔爾. 作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M]. 陳昌平，唐瑞芬，譯. 上海：上海教育出版社，1995.

[3] 中華人民共和國(guó)教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.