在“變”與“不變”中感悟本質(zhì)

陶芳

摘要：為了讓學(xué)生學(xué)會從變量的角度認(rèn)識兩種量之間的關(guān)系，初步感受函數(shù)的思想方法，《正比例的意義》一課教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生“變中識不變，變中思不變，變中知不變”。重要的節(jié)點包括：比較對照，感悟正比例的意義；多元表征，建構(gòu)正比例的模型；操作體驗，體會正比例的圖像。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；變與不變；《正比例的意義》；函數(shù)思想

正比例關(guān)系是從對應(yīng)的角度認(rèn)識和研究兩種相關(guān)聯(lián)的量之間“變”與“不變”的規(guī)律?！皩?yīng)”兩個數(shù)量之間的“比值不變”是正比例關(guān)系的本質(zhì)屬性。從研究單個量走向多個量，從研究固定（具體）的量走向變化的量，從研究單個數(shù)據(jù)的靜態(tài)情況走向多個數(shù)據(jù)的動態(tài)關(guān)系，是學(xué)生認(rèn)識過程中的一次重大飛躍。同時，正比例的知識在日常生活中有著廣泛的應(yīng)用，學(xué)好這部分內(nèi)容，既可以鍛煉學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實生活的意識，提高思考現(xiàn)實問題的能力，又可以為學(xué)生初中進一步學(xué)習(xí)函數(shù)知識奠定扎實的基礎(chǔ)。為了讓學(xué)生學(xué)會從變量的角度認(rèn)識兩種量之間的關(guān)系，初步感受函數(shù)的思想方法，《正比例的意義》一課教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生“變中識不變，變中思不變，變中知不變”。

一、教學(xué)過程

（一）理解正比例意義中的“變”

1.通過猜拳游戲，理解“相關(guān)聯(lián)”

（課始，教師讓學(xué)生同桌玩“石頭剪刀布”的游戲，贏一次得5分，共玩9次。游戲結(jié)束后，全班匯報得分。）

師 得分的多少和獲勝的次數(shù)是有聯(lián)系的。獲勝的次數(shù)多，得分也多；獲勝的次數(shù)少，得分也少。像這樣“一種量變化，另一種量也隨著變化”，我們稱這兩種量為“相關(guān)聯(lián)的量”。

2.舉例與辨析

師 生活中相關(guān)聯(lián)的量很多。（出示一輛汽車勻速行駛的時間和路程對照表，見表1）請大家認(rèn)真研究：表格中有哪兩種量？

生 行駛的時間和路程。

師 它們是相關(guān)聯(lián)的量嗎？為什么？

生 汽車行駛的時間長，行駛的路程也長，行駛的時間和路程同時增加；時間短，路程也短，時間和路程同時減少。所以，時間和路程是相關(guān)聯(lián)的量。

師 行駛的時間和路程的變化是——

生 一致的。

師 請帶著這樣的思路繼續(xù)研究這幾張表中的數(shù)據(jù)。

（依次出示購買一種鉛筆的數(shù)量和總價、讀一本書時的已讀頁數(shù)和剩下頁數(shù)、用同樣多的錢購買不同的筆記本的單價和數(shù)量、正方形的邊長和面積、小明的年齡和身高等對照表，見表2—表6。）

生 鉛筆的數(shù)量和總價變化方向一致，二者是相關(guān)聯(lián)的量。

生 已讀頁數(shù)和剩下頁數(shù)變化方向不一致，但二者是相關(guān)聯(lián)的量。

生 筆記本單價和數(shù)量變化方向不一致，但二者是相關(guān)聯(lián)的量。

生 正方形的邊長和面積變化方向一致，二者是相關(guān)聯(lián)的量。

生 小明的年齡和身高不是相關(guān)聯(lián)的量，因為年齡變化，身高不一定發(fā)生變化。

（二）理解正比例意義中的“不變”

1.獨立探究，初步感知意義

師 根據(jù)剛才的分類，仔細(xì)觀察表1、表2和表5這三張表，其中相關(guān)聯(lián)的兩種量變化方向都一致，那它們有沒有什么變化規(guī)律呢？如果有，又是按什么規(guī)律變化的呢？（指表1）先來看表1，路程和時間在變化的過程中有什么規(guī)律呢？

（學(xué)生計算驗證。）

生 路程和所對應(yīng)的時間的比值都是80。

師 還真是這樣的，那么，這個比值80就是汽車的——

生 速度。

師 所以，我們還可以用怎樣的數(shù)量關(guān)系式來表示？

生 路程時間=速度（一定）。

師表2和表5中相關(guān)聯(lián)的兩種量又有怎樣的變化規(guī)律呢？和你的同桌一起說一說，算一算，完成研究單。

（學(xué)生交流并完成研究單。）

生 （展示自己的研究單，如下頁圖1所示）表2中總價和數(shù)量是兩種相關(guān)聯(lián)的量，總價和數(shù)量的比值是不變的，也就是單價是一定的。數(shù)量關(guān)系為：總價/數(shù)量 =單價（一定）。

生 （展示自己的研究單，如圖2所示）正方形的邊長和面積是兩種相關(guān)聯(lián)的量，面積隨著邊長的變化而變化，但是面積和邊長的比值是變化的，并不一定。

2.歸納總結(jié)，揭示正比例意義

師 同學(xué)們，剛才的三張表中，兩種量的變化方向都是一致的，但是對應(yīng)的兩種量的比值有的一定，有的不一定。當(dāng)比值一定時，我們就說兩種相關(guān)聯(lián)的量成正比例關(guān)系，這兩種相關(guān)聯(lián)的量是成正比例的量。比如，路程和時間是兩種相關(guān)聯(lián)的量，當(dāng)路程和時間的比值一定，也就是速度一定時，我們就說路程和時間成正比例關(guān)系，路程和時間是成正比例的量。（板書：路程和時間成正比例關(guān)系）總價和數(shù)量成正比例關(guān)系嗎？為什么？

生 總價和數(shù)量是兩種相關(guān)聯(lián)的量，總價和對應(yīng)的數(shù)量的比值一定，也就是單價一定，所以總價和數(shù)量是成正比例的量。

師 這就是我們今天所要研究的正比例的意義。（板書課題：正比例的意義）比較一下，成正比例關(guān)系的兩種相關(guān)聯(lián)的量有什么特點？（板書：變化的量，不變的量）那正方形的邊長和面積成正比例關(guān)系嗎？為什么？

生 正方形的邊長和面積的比值不一定，所以不成正比例關(guān)系。

師 看來，兩種相關(guān)聯(lián)的量，只有比值一定，才成正比例關(guān)系。那怎樣來判斷兩種量是否成正比例關(guān)系呢？同桌互相說一說。

（學(xué)生討論。）

師 看一看兩種量是不是相關(guān)聯(lián)的量，也就是“變”；算一算相關(guān)聯(lián)的兩種量的比值是不是一定，也就是“不變”。

3.抽象概括，建立模型

師 像這樣比值一定的式子，寫得完嗎？

生 （齊）寫不完。

師 如果用字母x和 y分別表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示它們的比值，正比例關(guān)系可以用怎樣的式子來表示？

［教師根據(jù)學(xué)生的回答板書：yx=k（一定）。］

（三）從正比例的意義到正比例的圖像

師 判斷正方形邊長和周長是否成正比例。

（學(xué)生自主列出表7，并判斷、說理。）

師 （出示下頁圖3）往同一個圓柱形杯子中倒水，水的體積和高度成正比例嗎？為什么？

（學(xué)生回答。）

師 （出示下頁圖4）我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)水的體積和高度成正比例關(guān)系時，把體積和高度的對應(yīng)點連起來正好是一條直線。

二、教學(xué)思考

（一）“變”中識“不變”：比較對照，感悟正比例的意義

判斷兩個變量是否成正比例，首先要看這兩個量是否相關(guān)聯(lián)，而判斷的核心是看這兩個變量在變化過程中，比值是否一定。所以，讓學(xué)生明確研究的方向是兩個變量的比值，是本節(jié)課的關(guān)鍵。課始，采用學(xué)生喜歡的猜拳游戲引入，為“兩種相關(guān)聯(lián)的量”進行思維預(yù)熱。接著，選擇6個具有較強對比性的學(xué)習(xí)素材，讓學(xué)生判斷每份材料中的兩種量是否相關(guān)聯(lián)。學(xué)生在比較、反思中逐步發(fā)現(xiàn)，“相關(guān)聯(lián)”的概念還是比較寬泛的，無論是變化方向相同還是變化方向相反，只要是一個量變化，另一個量也隨著變化，這樣的兩個量就是相關(guān)聯(lián)的量。學(xué)生在研究變化規(guī)律時發(fā)現(xiàn)，有的是比值一定，有的是乘積一定，有的是和一定，有的是差一定，從而在對比中主動確定研究的方向，總結(jié)出成正比例的兩個量在變化過程中的不變?yōu)楸戎狄欢ā?/p>

（二）“變”中思“不變”：多元表征，建構(gòu)正比例的模型

函數(shù)有三種數(shù)學(xué)表示方法：表格、解析式和圖像。本課的教學(xué)從表格和列式切入，對數(shù)量關(guān)系進行抽象的梳理，從中認(rèn)識常量和變量的主要特征，并概括出變量關(guān)系的共同特征。學(xué)生學(xué)習(xí)兩個現(xiàn)實情境中的正比例關(guān)系之后，教師通過富有啟發(fā)性的問題，引導(dǎo)學(xué)生比較、提取共同的本質(zhì)：都有兩種相關(guān)聯(lián)的量，對應(yīng)數(shù)量的比值不變，都成正比例關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)用解析式符號表征正比例關(guān)系，從而在抽象層面認(rèn)識正比例關(guān)系的本質(zhì)。而練習(xí)再次聯(lián)系生活，結(jié)合相似圖形，孕伏呈現(xiàn)函數(shù)圖像。多元表征，讓概念更加飽滿豐盈。

（三）“變”中知“不變”：操作體驗，體會正比例的圖像

“正比例的圖像”主要是下一課時的教學(xué)內(nèi)容，而本節(jié)課的練習(xí)環(huán)節(jié)，通過水的體積和高度，引導(dǎo)學(xué)生將相對應(yīng)的點連起來，初步感知正比例的圖像呈一條直線。引入圖像，更能讓學(xué)生在數(shù)形結(jié)合中體驗變與不變的函數(shù)思想、一一對應(yīng)思想、極限思想等，同時也為下一課時的學(xué)習(xí)做了鋪墊。在學(xué)生認(rèn)識各點含義的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生連點成線，體驗正比例圖像的形成過程，讓正比例關(guān)系的內(nèi)涵 “看得見”。教學(xué)時，可從“往大”和“就小”兩個方面追問：比圖中時間更大的點還有嗎？比圖中路程更小的點呢？引導(dǎo)學(xué)生更好地感知符合不變規(guī)律的“每組數(shù)”的無限性，在圖像的延伸中使正比例的內(nèi)涵“看得清”。這樣，學(xué)生初步認(rèn)識到兩個數(shù)量的正比例關(guān)系既可以通過具體的數(shù)據(jù)體現(xiàn)出來，也可以通過直觀的圖像表現(xiàn)出來。從正比例的圖像再回頭看正比例的意義，無疑更能加深學(xué)生對正比例意義的理解，使學(xué)生從具體形象的靜態(tài)認(rèn)識，上升到動態(tài)建構(gòu)的過程。