分?jǐn)?shù)教學(xué)的另一種可能

劉正松

摘要：針對“分?jǐn)?shù)”序列知識教學(xué)屢見不鮮的尷尬和疑問，孔令春執(zhí)教的《認(rèn)識二分之一》一課，打破了關(guān)于“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”所有習(xí)慣的教學(xué)套路，做到了“結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)，整體建構(gòu)”“精準(zhǔn)表達(dá)，凸顯本質(zhì)”“突出實(shí)踐，促進(jìn)創(chuàng)生”，找到了分?jǐn)?shù)教學(xué)的另一種可能，充分彰顯了起點(diǎn)型核心知識“長程貫通”的教學(xué)理念。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；分?jǐn)?shù)的意義；起點(diǎn)型核心知識

小學(xué)數(shù)學(xué)知識點(diǎn)多而雜，不同的知識點(diǎn)在知識結(jié)構(gòu)中的意義和作用不盡相同。教師要選擇具有根基性和生長性的起點(diǎn)型核心知識展開長程教學(xué)。

“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”是典型的起點(diǎn)型核心知識，它是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中數(shù)概念的第一次擴(kuò)展，后續(xù)“分?jǐn)?shù)”序列知識都與其密不可分，其重要性毋庸置疑，自然成為教學(xué)研究的熱點(diǎn)。一直以來，關(guān)于這一內(nèi)容的教學(xué)爭議此起彼伏。

一、“分?jǐn)?shù)”序列知識教學(xué)的尷尬和疑問

爭議不斷，源于“分?jǐn)?shù)”序列知識教學(xué)的現(xiàn)實(shí)尷尬和重重疑問。

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級上冊“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識（一）”主要認(rèn)識一個(gè)物體或一個(gè)圖形的幾分之一和幾分之幾。教學(xué)時(shí)，教師通常是這樣引入分?jǐn)?shù)的：“把一個(gè)蛋糕平均分成2份，每人分得半個(gè)。半個(gè)也就是二分之一個(gè)。”顯然，這里的“二分之一個(gè)”和“4個(gè)”“1瓶”等一樣，都是具體的“數(shù)量”。隨后，便轉(zhuǎn)向“分率”的表達(dá)：“把一個(gè)蛋糕平均分成2份，每份是它的二分之一，寫作12?！边@里的“二分之一”表達(dá)的是部分與整體的關(guān)系。后續(xù)教學(xué)中涉及的每一個(gè)分?jǐn)?shù)，都是“分率”的表達(dá)，不見“數(shù)量”的蹤影。但是，這一階段，學(xué)生認(rèn)識的都是一個(gè)物體或一個(gè)圖形的幾分之一和幾分之幾，表示一份（或幾份）大小的“分率”和“數(shù)量”都是相同的分?jǐn)?shù)，比如“一個(gè)圓的14就是14個(gè)圓”。加之，學(xué)生在練習(xí)時(shí)遇到的都是“用分?jǐn)?shù)表示涂色部分”或“涂色表示分?jǐn)?shù)”兩類問題，一幅圖對應(yīng)一個(gè)分?jǐn)?shù)。同時(shí)，學(xué)生在交流每個(gè)具體情境中的分?jǐn)?shù)的意義時(shí)，進(jìn)行的都是簡約式的表達(dá)。這里，教師更多關(guān)注的是平均分的過程，對結(jié)果的正確表述并未深究，常常讓學(xué)生說出一個(gè)分?jǐn)?shù)即可，并不分辨此時(shí)學(xué)生理解的分?jǐn)?shù)是一個(gè)“數(shù)量”還是“分率”。因此，學(xué)生就這樣模模糊糊地初步認(rèn)識了分?jǐn)?shù)。

三年級下冊“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識（二）”主要認(rèn)識由幾個(gè)物體組成的整體的幾分之一和幾分之幾。教學(xué)時(shí)，教師通常創(chuàng)設(shè)情境，圖文結(jié)合地出示例題：把一盤桃平均分給2只小猴，每只小猴分得這盤桃的幾分之幾？此時(shí)，“有經(jīng)驗(yàn)”的教師都會用一塊不透明的布蓋住盤子，引導(dǎo)學(xué)生說出“每只小猴分得這盤桃的二分之一”。但當(dāng)教師揭開那塊布，將盤中的6個(gè)桃露出來后，畫風(fēng)突變：學(xué)生的答案又倒向“每只小猴分得這盤桃的六分之三”。曾聽到一位特級教師的反饋：“在學(xué)校試教這節(jié)課時(shí)，班上近90%的學(xué)生給出的答案就是‘六分之三’，雖然我們已經(jīng)做了精心的設(shè)計(jì)，但現(xiàn)狀不容樂觀?！眴栴}出在哪里？看來，那塊神奇的布是關(guān)鍵。用布刻意遮擋物體的個(gè)數(shù)，其實(shí)在無形中偷換了概念，使得學(xué)生根本沒有把幾個(gè)物體看作一個(gè)整體——因?yàn)樗麄兛吹降木褪且粋€(gè)物體。此時(shí)，學(xué)生只是用學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識（一）”時(shí)所獲得的認(rèn)知回答了問題。自然，揭開那塊布，真實(shí)的個(gè)數(shù)展現(xiàn)出來后，學(xué)生的思維就混亂了，或者說根本沒有學(xué)會該如何思維。于是，學(xué)生只能在教師反復(fù)的強(qiáng)調(diào)中懵懵懂懂地再次認(rèn)識分?jǐn)?shù)。

隨著學(xué)習(xí)進(jìn)程的推進(jìn)，在“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識（二）” 的后續(xù)練習(xí)中，出現(xiàn)了諸如“5分米＝（）／（）米”“8角＝（）／（）元”這樣的題目。雖然在完成這樣的練習(xí)前有鋪墊，但思維的跨度之大可想而知。關(guān)鍵是，這里的分?jǐn)?shù)又以具體“數(shù)量”的樣態(tài)出現(xiàn)。仔細(xì)研讀教材不難發(fā)現(xiàn)，安排這樣的練習(xí)不是為了完善學(xué)生對分?jǐn)?shù)的認(rèn)識，更主要的是為學(xué)習(xí)“小數(shù)的初步認(rèn)識”這一內(nèi)容做準(zhǔn)備。因?yàn)椤靶?shù)的初步認(rèn)識”是這樣引入的：通過測量得到桌面長5分米，進(jìn)而指出“5分米是5／10米，5／10米還可以寫成0.5米”。試問：學(xué)生何以明白這里分?jǐn)?shù)的意義？于是，很多學(xué)生只能在半猜半蒙間混過去。

到了五年級下冊系統(tǒng)教學(xué)“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”時(shí)，直到第二課時(shí)教學(xué)“分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系”，才正式擴(kuò)展學(xué)生對分?jǐn)?shù)意義的理解——分?jǐn)?shù)可以表示一個(gè)具體的數(shù)量。但第一課時(shí)教學(xué)“分?jǐn)?shù)的意義”后，練習(xí)中有“說出分?jǐn)?shù)表示的含義”這類題目，其中有一題是“一節(jié)課的時(shí)間是2／3小時(shí)”。說句實(shí)話，對學(xué)生能回答“把1小時(shí)看作單位‘1’”，我是另眼相看的，甚至感覺有些不可思議。

誠然，生活中我們使用分?jǐn)?shù)時(shí)更多的是用其“分率”意義，但如此不清不楚地教學(xué)，勢必造成學(xué)生對概念的混淆不清。面對教與學(xué)過程中的種種尷尬和疑問，我不禁思考：分?jǐn)?shù)教學(xué)，有另一種可能嗎？

二、《認(rèn)識二分之一》一課找到了分?jǐn)?shù)教學(xué)的另一種可能

現(xiàn)場聽到孔令春老師執(zhí)教的《認(rèn)識二分之一》一課時(shí)，我頓時(shí)眼前一亮，有一種驚艷之感。這種驚艷，源于孔老師的教學(xué)打破了我腦海中關(guān)于“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”所有習(xí)慣的教學(xué)套路，卻恰到好處地回應(yīng)了一直縈繞在我腦海中關(guān)于“分?jǐn)?shù)”序列知識教學(xué)的尷尬和疑問。分?jǐn)?shù)教學(xué)，有另一種可能！

一是結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)，整體建構(gòu)。把“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”分為兩次教學(xué)，人為割裂了知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，不便于知識的整體建構(gòu)。其實(shí)，“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”應(yīng)把握分?jǐn)?shù)意義的核心——“平均分的份數(shù)”以及“表示的份數(shù)”，至于平均分的物體究竟是什么，又有多少個(gè)，并不那么重要。厘清了這一點(diǎn)，“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”教學(xué)必然會呈現(xiàn)不同的樣態(tài)。孔老師創(chuàng)設(shè)“野餐活動時(shí)分食品”的情境，在學(xué)生將4個(gè)蘋果、2瓶礦泉水和1個(gè)蛋糕平均分成2份后，引導(dǎo)學(xué)生通過比較發(fā)現(xiàn)共同點(diǎn)：不管是什么食品，都是平均分成2份，每人拿其中的1份?；谶@樣的認(rèn)識，孔老師順勢揭示“把（）平均分成2份，每份是它的12”。教學(xué)過程就是這么簡簡單單、清清楚楚。基于已有的“平均分”經(jīng)驗(yàn)，將4個(gè)蘋果、2瓶礦泉水和1個(gè)蛋糕平均分成2份后，學(xué)生自然會說到每份的數(shù)量。但孔老師并未在數(shù)量上過多停留，甚至沒有在黑板上留下任何關(guān)于數(shù)量的板書；而是話鋒一轉(zhuǎn)，直接追問三次平均分的相同之處，將學(xué)生的目光成功地引向“平均分成2份”和“每人分得1份”上。實(shí)踐表明，當(dāng)教師結(jié)構(gòu)化呈現(xiàn)教學(xué)素材，并在比較中聚焦三次平均分的共同之處時(shí)，學(xué)生反而不再關(guān)注平均分的物體及其具體的數(shù)量，從而在初步認(rèn)識分?jǐn)?shù)時(shí)準(zhǔn)確建構(gòu)了分?jǐn)?shù)的意義。而這一意義又是前后一致的，為后續(xù)學(xué)習(xí)幾分之一、幾分之幾，直至五年級歸納分?jǐn)?shù)的意義做了充分的孕伏。

二是精準(zhǔn)表達(dá)，凸顯本質(zhì)。教學(xué)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”時(shí)，教師往往會在有意無意間忽略學(xué)生對每個(gè)分?jǐn)?shù)實(shí)際意義的精準(zhǔn)表達(dá)。說其有意，是因?yàn)榻處熡X得對于三年級學(xué)生而言，分?jǐn)?shù)的意義略顯抽象。于是，在后續(xù)練習(xí)中，都是一幅圖對應(yīng)一個(gè)分?jǐn)?shù)，在具體情境中，學(xué)生說出一個(gè)分?jǐn)?shù)便得到認(rèn)可，有時(shí)即使追問理由，也是一問一答式的。說其無意，是因?yàn)榻處熤粫P(guān)注學(xué)生表述分?jǐn)?shù)的意義時(shí)是否用上“平均分”，若學(xué)生只說“分成”，教師會即刻糾正。關(guān)注“平均分”固然沒錯(cuò)，但這只是表面現(xiàn)象，不影響學(xué)生對分?jǐn)?shù)意義的理解，因?yàn)樵诰唧w情境中，學(xué)生口中的“分成”就是“平均分”，只不過表達(dá)得不夠嚴(yán)謹(jǐn)。問題是，不少教師沒意識到完整表達(dá)的重要性，在學(xué)生結(jié)合具體情境正確說出一個(gè)分?jǐn)?shù)時(shí)，便認(rèn)為其理解了分?jǐn)?shù)的意義。其實(shí)，倘若學(xué)生不能明確所說的分?jǐn)?shù)表達(dá)的是部分與整體的關(guān)系，那么，教師的教學(xué)是不到位的?！罢Z言是思維的外殼”，孔老師的教學(xué)特別注重學(xué)生的語言表達(dá)。從開始的平均分三種食品，到比較三次平均分的相同點(diǎn)，再到揭示12的意義，她都引領(lǐng)學(xué)生反復(fù)地表述，并適度提供語言支架，幫助學(xué)生校正表述中不夠準(zhǔn)確的地方。學(xué)生在表述具體情境中的分?jǐn)?shù)時(shí)，既關(guān)注了分的過程“把（）平均分成（）份”，也關(guān)注了分的結(jié)果“每份是它的（）/（）”，從而深刻體悟到分?jǐn)?shù)的意義，有效發(fā)展了思維。顯然，從三年級“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”開始，就應(yīng)強(qiáng)化精準(zhǔn)的表達(dá)，通過語言的表述讓學(xué)生體會這里的分?jǐn)?shù)表達(dá)的是一種關(guān)系；同時(shí)，可以嘗試將這種關(guān)系與學(xué)生先前學(xué)習(xí)的“倍”的知識關(guān)聯(lián)，進(jìn)一步凸顯知識的本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生感悟知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而更精準(zhǔn)地建構(gòu)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

三是突出實(shí)踐，促進(jìn)創(chuàng)生。雖然教材將“分?jǐn)?shù)”序列知識分散在不同年級展開教學(xué)，但分?jǐn)?shù)的意義是不變的。學(xué)生初次建構(gòu)分?jǐn)?shù)的意義時(shí)，教師理應(yīng)促進(jìn)他們主動創(chuàng)生后續(xù)知識。這也是小學(xué)數(shù)學(xué)起點(diǎn)型核心知識教學(xué)的應(yīng)有之義。但知識本身內(nèi)隱的創(chuàng)生功能不會自然生發(fā)，需要在教師精心設(shè)計(jì)的教學(xué)活動中激活。無疑，突出實(shí)踐，引導(dǎo)學(xué)生“用中學(xué)”“做中學(xué)”“創(chuàng)中學(xué)”是行之有效的方式。在學(xué)生初步認(rèn)識1/2后，孔老師設(shè)計(jì)了三個(gè)活動。第一個(gè)活動引導(dǎo)學(xué)生“用中學(xué)”。孔老師課件出示三幅圖，讓學(xué)生判斷哪幅圖中的涂色部分可以用1/2表示。這里，學(xué)生直接運(yùn)用所學(xué)知識直觀作出判斷，并說明理由，及時(shí)鞏固了新知。第二個(gè)活動引導(dǎo)學(xué)生“做中學(xué)”。孔老師為每個(gè)學(xué)生小組提供正方形、長方形紙片各一張，6個(gè)正方體、8個(gè)正方體的集合圖各一張，讓學(xué)生選擇材料自主創(chuàng)造12。學(xué)生興趣盎然，紛紛選擇自己喜歡的材料進(jìn)行個(gè)性化創(chuàng)作。展示時(shí)，學(xué)生的表現(xiàn)精彩紛呈，相同的材料有不同的表達(dá)方法，不同的材料和不同的表達(dá)方法卻又表示相同的意義。學(xué)生在交流、比較中進(jìn)一步深化了對1/2的認(rèn)知。在此基礎(chǔ)上，第三個(gè)活動引導(dǎo)學(xué)生“創(chuàng)中學(xué)”?？桌蠋煶鍪?個(gè)三角形、4個(gè)圓的集合圖、10個(gè)正方形的集合圖，把它們分別平均分成3份、4份、5份，問學(xué)生每一份分別可以用哪個(gè)分?jǐn)?shù)表示。這一問題引發(fā)學(xué)生自然的創(chuàng)生。學(xué)生清晰地表達(dá)出每幅圖的意義，充分彰顯了起點(diǎn)型核心知識的意義和價(jià)值。在課尾設(shè)計(jì)1/3、1/4和1/5的簡單辨識，重點(diǎn)不是為了繼續(xù)認(rèn)識這幾個(gè)分?jǐn)?shù)單位，而是為后續(xù)學(xué)習(xí)預(yù)留一個(gè)接口。相信，有了今天的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生在認(rèn)識幾分之一和幾分之幾時(shí)必然更加順暢。

孔老師執(zhí)教的《認(rèn)識二分之一》一課給我們的啟示很多。我以為，這次成功的嘗試，其意義不僅在于部分解決了“分?jǐn)?shù)”序列知識教學(xué)一直存在的尷尬和疑問，還在于為我們提供了一種研究的路徑，即基于日常教學(xué)中存在的問題，深度研讀教材，尊重學(xué)生現(xiàn)實(shí)，在知識的發(fā)展邏輯與學(xué)生的學(xué)習(xí)邏輯之間尋求平衡，并勇于打破已成習(xí)慣套路的教學(xué)模式，找尋教學(xué)的另一種可能。

期待，在實(shí)踐中找尋教學(xué)的另一種可能，成為每位教師的行動自覺。