審辯式學(xué)習(xí)：用符號(hào)語言展現(xiàn)數(shù)學(xué)邏輯之美

陳婷 穆傳慧

［摘 要］小學(xué)階段的運(yùn)算律是運(yùn)算教學(xué)的難點(diǎn)之一，交換律作為其中的起始課，具有生發(fā)性和輻射性。在教學(xué)中，教師不能只關(guān)注交換律的表象特征，還需重視交換律的內(nèi)涵意義和教學(xué)價(jià)值，而運(yùn)用審辯式學(xué)習(xí)的理念引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與、勇于質(zhì)疑，能發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，培育學(xué)生的理性精神。

［關(guān)鍵詞］審辯式學(xué)習(xí)；加法交換律；乘法交換律；符號(hào)意識(shí)

［中圖分類號(hào)］ G623.5［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A［文章編號(hào)］ 1007-9068（2023）08-0007-04

【課前思考】

“加法交換律和乘法交換律”是北師大版教材四年級(jí)上冊的內(nèi)容，是學(xué)生在掌握了加、減、乘、除四則運(yùn)算意義和混合運(yùn)算順序的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)運(yùn)算律的起始課。

首先，追溯學(xué)生的學(xué)習(xí)過程。在一年級(jí)加法意義的學(xué)習(xí)中，知道3支筆和2支筆合在一起可以寫成3+2=5，也可以寫成2+3=5；在二年級(jí)乘法意義的學(xué)習(xí)中，知道3個(gè)2相加可以寫成3×2=6，也可以寫成2×3=6；在三年級(jí)豎式計(jì)算的學(xué)習(xí)中，學(xué)會(huì)交換兩個(gè)加數(shù)或乘數(shù)的位置進(jìn)行驗(yàn)算……可見，學(xué)生對加法交換律和乘法交換律并不陌生。那么，教材把這一知識(shí)點(diǎn)安排在四年級(jí)， 用意何在？學(xué)習(xí)這一知識(shí)的價(jià)值又是什么呢？

其次，為了更準(zhǔn)確地了解學(xué)生的真實(shí)認(rèn)知水平，筆者在課前對不同班級(jí)的部分學(xué)生做了問卷調(diào)查。問卷的第一個(gè)問題是“你知道加法交換律和乘法交換律嗎？”，結(jié)果顯示有41.6%的學(xué)生知道；第二個(gè)問題是“你能舉例說明什么是加法交換律和乘法交換律嗎？”，結(jié)果只有12.8%的學(xué)生能正確舉例；第三個(gè)問題是“填空并說說你的想法：42+28=28+（ ）、236+135=135+（?）、5×7=7×（?）、21×34=34×（ ）”，結(jié)果學(xué)生正確率高達(dá)99.3%。由此可知，大部分學(xué)生或許不知道“加法交換律”和“乘法交換律”這兩個(gè)名稱，卻能運(yùn)用它們解決問題。顯然，學(xué)生對于加法交換律和乘法交換律并不陌生，但對它們的理解僅止步于簡單的直覺感知，沒有深入理解其內(nèi)涵和算理。

運(yùn)算律不僅是規(guī)律性的知識(shí)、簡便運(yùn)算的依據(jù)，還蘊(yùn)含著豐富的學(xué)科基本思想、方法和理性精神。因此，如何引導(dǎo)學(xué)生從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)深入理解加法交換律和乘法交換律的本質(zhì)？是否可以帶領(lǐng)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中由數(shù)學(xué)思考走向理性精神？帶著這樣的疑問，筆者進(jìn)入了課堂實(shí)踐階段。

【課堂實(shí)踐】

一、創(chuàng)設(shè)情境，以問啟學(xué)

師（出示動(dòng)畫）：瞧，這是我們的好朋友——笑笑。根據(jù)動(dòng)畫，你能提出什么數(shù)學(xué)問題？

生1：笑笑家到少年宮的距離是多少千米？

師：好問題。你能解決這一問題嗎？

生1：3+4=7（千米）。（板書：3+4=7）

師：還可以怎么列式？

生2：4+3=7（千米）。（板書：4+3=7）

師：同一個(gè)問題，列出了兩個(gè)算式“3+4”和“4+3”。這兩個(gè)算式可以用什么符號(hào)連接？

生（齊）：等號(hào)。

師：為什么？

生3：因?yàn)檫@兩個(gè)算式結(jié)果相等，都等于7。

生4：求笑笑家到少年宮的距離，就是把兩段路的長度合起來，無論誰加誰，都是一樣的。

師：對，從結(jié)果和意義兩個(gè)方面都能說明這兩個(gè)式子相等。（板書：3+4=4+3）

【設(shè)計(jì)意圖：四年級(jí)的學(xué)生正處于形象思維向抽象思維過渡的轉(zhuǎn)折期。因此，在課始借助簡單的情境，喚醒學(xué)生對加法交換律簡單、零散、模糊的感性認(rèn)識(shí)，同時(shí)提供了一個(gè)生動(dòng)的素材，幫助學(xué)生從運(yùn)算結(jié)果和現(xiàn)實(shí)背景雙重角度了解“3+4=4+3”這一等式的內(nèi)涵，為接下來的探究提供啟發(fā)與支撐?！?/p>

二、審思明辯，探索規(guī)律

1.提出猜想

師（出示一組等式，略）：請觀察這一組等式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：這兩個(gè)算式雖然加數(shù)交換了位置，不過和沒變。

生2：交換加數(shù)的位置，和都是不變的。

師：你的意思是，在所有的加法算式里交換加數(shù)的位置，和都不變？

生2：是的。

師：大家的想法呢？

生（齊）：是的。

師：只根據(jù)這一組等式就得出結(jié)論，好像有點(diǎn)不嚴(yán)謹(jǐn)。我們不妨把剛剛的發(fā)現(xiàn)當(dāng)成一個(gè)猜想。（板書：猜想）

2.進(jìn)行驗(yàn)證

師：有了猜想之后，就需要——

生（齊）：驗(yàn)證！

師：請小組合作，想辦法驗(yàn)證你們的猜想。（板書：驗(yàn)證）

師（選取具有代表性的小組作品展示在黑板上）：瞧，這是我們班兩個(gè)小組的驗(yàn)證方法，哪種方法更具有說服力？為什么？

生1：我覺得第二個(gè)小組的驗(yàn)證方法更具有說服力，因?yàn)樗麄兣e的例子多一些。

生2：我也認(rèn)為第二個(gè)小組的驗(yàn)證方法更具有說服力，因?yàn)樗麄儾粏螁斡昧苏麛?shù)，還用了分?jǐn)?shù)來驗(yàn)證。

生3：我也覺得第二個(gè)小組的驗(yàn)證方法更具有說服力。第一個(gè)小組沒有寫出得數(shù)，不能一目了然地知道兩個(gè)算式交換加數(shù)位置前后的和是不是相等。第二個(gè)小組不僅寫出了得數(shù)，很清楚地讓我們知道和相等，還寫了很多例子，還有加數(shù)是分?jǐn)?shù)的例子。

師：是的，繼續(xù)舉例可以驗(yàn)證猜想是否合理。舉例越多、種類越全，猜想就越具有說服力。但是，為了使我們的結(jié)論更能令人信服，需要把所有例子都一一列舉完嗎？能舉完嗎？

生4：舉不完，一輩子都舉不完。

生5：這樣的例子寫不完。

師：那怎么辦？

生6：如果我們的目的就是要驗(yàn)證這個(gè)猜想是不是真的，可以去找不符合猜想的例子。

師：能具體說說是怎樣不符合的例子嗎？

生7：就是加數(shù)的位置換了，但和不相等的例子。

師：你找到了嗎？

生7：沒有。

生8：找不到這樣的例子。

師：大家?guī)蛶兔σ黄鹫艺摇?/p>

生（不約而同地?fù)u頭）：沒有這樣的例子。

3.得出結(jié)論

師：既然從不同角度大量舉例都滿足猜想，又找不到反例，那我們就可以得出結(jié)論。（板書：結(jié)論）

4.表述規(guī)律

師：能用你喜歡的方式將猜想表示出來嗎？請先想一想、畫一畫、寫一寫，完成后再和小組內(nèi)的同學(xué)說一說。

（教師巡視并收集學(xué)生的作品，然后隨意、無序地張貼在黑板上）

學(xué)生作品：

①在加法算式里，交換加數(shù)的位置，和不變。

②甲+乙=乙+甲

③★+▲=▲+★

④A+B=B+A

⑤1+2=2+1

⑥一個(gè)數(shù)+另一個(gè)數(shù)=另一個(gè)數(shù)+一個(gè)數(shù)

⑦a+b=b+a

⑧■+□=□+■

師：你能看懂這些同學(xué)的作品嗎？我覺得這樣貼有點(diǎn)亂，你能幫忙整理，并說一說整理的理由嗎？

生1：①是一句話，單獨(dú)作一組；②和⑥放一起，它們是用文字表示加數(shù)的；③和⑧放一起，它們是用圖形表示加數(shù)的；④和⑦放一起，它們是用字母表示加數(shù)的；⑤單獨(dú)作一組，它是用數(shù)字表示加數(shù)的。

師：大家同意嗎？

生（齊）：同意！

師：這么多種表示方法，你更喜歡哪一類呢？為什么？

生2：我更喜歡用圖形表示，因?yàn)楸任淖趾唵?，而且好畫?/p>

生3：我更喜歡用數(shù)字表示，數(shù)字既簡單又清楚。如果畫長方形和正方形，畫得不好，很容易讓人分不清楚。

生4：數(shù)字1就是1，只能表示一個(gè)例子，而字母可以表示很多個(gè)例子，A可以是1、2、3、4……中的任何一個(gè)數(shù)。我更喜歡用字母的表示方法。

師：是啊，用字母表示又簡潔又清楚（板書：從繁到簡），還能概括所有的例子（板書：特殊→一般）。數(shù)學(xué)上，我們約定用小寫字母a、b表示兩個(gè)數(shù)，寫成a+b=b+a，這就是加法交換律。（板書：加法交換律a+b=b+a）

師：仔細(xì)觀察，加法交換律中，變的是什么？不變的是什么？

生（齊）：變的是加數(shù)的位置，不變的是它們的和。

師：變與不變竟然這樣巧妙地結(jié)合在一起。（板書：變與不變）

【設(shè)計(jì)意圖：由具體到表象再到抽象，引導(dǎo)學(xué)生聚焦規(guī)律本身，經(jīng)歷“猜想—驗(yàn)證—結(jié)論”的動(dòng)態(tài)過程。學(xué)生從基于經(jīng)驗(yàn)的發(fā)現(xiàn)，到對其數(shù)學(xué)意義的理解，再到內(nèi)化后的個(gè)性表述，不僅加深了對加法交換律本質(zhì)內(nèi)涵的理解，水到渠成地提升了發(fā)現(xiàn)問題、解決問題、多元表征的能力及符號(hào)意識(shí)，還積累了合情推理的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，為后續(xù)相關(guān)運(yùn)算律的學(xué)習(xí)做好鋪墊?！?/p>

三、類比遷移，自主建構(gòu)

師：探尋出了加法交換律，你還有其他猜想嗎？

生1：有沒有減法交換律？

生2：有沒有乘法交換律、除法交換律呢？

師：你們提出了這么多猜想，想不想繼續(xù)驗(yàn)證？

生（齊）：想！

師：小組合作，可以選其中的一個(gè)猜想進(jìn)行驗(yàn)證，也可以全部都進(jìn)行驗(yàn)證。

生3：我們驗(yàn)證的是減法有沒有交換律。通過4-3=1，而3-4等于負(fù)數(shù)，不等于1，能得出反例，所以減法沒有交換律。

生4：我不同意。5-5=0，交換位置后5-5=0，差相等，所以減法是有交換律的。

生5：你舉的這個(gè)例子是特殊的，被減數(shù)和減數(shù)不相等時(shí)差就變了。

生6：我們驗(yàn)證時(shí)，只要找到一個(gè)不符合猜想的例子，猜想就不成立，而不是只要找到一個(gè)符合的例子，這個(gè)猜想就成立。既然能舉出反例，說明減法不存在交換律。

生7：除法也不存在交換律，也能舉出反例。10÷5=2，而5÷10=[12]，結(jié)果不相等。

生8：乘法存在交換律。交換兩個(gè)乘數(shù)的位置，結(jié)果都是相等的，而且也舉不出反例，所以乘法有交換律。

師：你們太棒了！通過舉出一個(gè)反例的方法，得到減法和除法不存在交換律，又通過大量舉例且找不到反例，從而發(fā)現(xiàn)乘法也存在交換律。你能結(jié)合一個(gè)生活實(shí)例說明乘法交換律嗎？

生9：橫著看一行5朵花，有3行，豎著看一列3朵花，有5列，5×3和3×5的結(jié)果都是15，也就是表示這些花朵的數(shù)量不變，即5×3=3×5。

師：能用一種簡潔、概括的方式表示乘法交換律嗎？

生（異口同聲）：a×b=b×a。（板書：乘法交換律a×b=b×a）

師：大家通過共同努力發(fā)現(xiàn)了乘法也存在交換律。大家真是太了不起了。

【設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生在經(jīng)歷加法交換律的探究學(xué)習(xí)后，已初步形成相應(yīng)的探索心理基礎(chǔ)和歸納推理經(jīng)驗(yàn)。本環(huán)節(jié)先從一個(gè)發(fā)散性的問題出發(fā)，為學(xué)生提供一個(gè)質(zhì)疑的機(jī)會(huì)，從數(shù)學(xué)化的角度開啟類比聯(lián)想——“減法、乘法、除法是否也存在交換律？”；再讓學(xué)生將已積累的推理方法和經(jīng)驗(yàn)遷移，第二次經(jīng)歷“猜想—驗(yàn)證—結(jié)論”的過程。在這一過程中，學(xué)生突破思維的束縛，審思明辯、敢想敢說、理性分析、反思質(zhì)疑，進(jìn)一步加深了對規(guī)律普遍性的認(rèn)識(shí)和對“舉一個(gè)反例否定錯(cuò)誤猜想”方法的掌握，養(yǎng)成講道理、有條理的思維品質(zhì)，逐步由數(shù)學(xué)思考向理性精神過渡?！?/p>

四、學(xué)以致用，以用成學(xué)

師：我們用觀察、猜想、驗(yàn)證的方法探尋出加法交換律，又根據(jù)加法交換律提出新的猜想并驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)了乘法交換律。在生活中，很多地方都會(huì)運(yùn)用到它們，一起去看看。

題1：根據(jù)“3+4=4+3”，你還能想到什么生活情境？（引入“朝三暮四”成語故事）

題2：（1）看下面的每組豎式，你想到了什么等式？（2）你能結(jié)合今天所學(xué)的知識(shí)，解釋其中計(jì)算的道理嗎？

題3：男生女生來PK。

①84+16+68? ? ? ? ? ? 246+54+39? ? ? ? ? ? 25×4×23

=（?）+（ ）? ? =（ ? ）+（ ）? ? ? =（ ）×（?）

=（ ? ）? ? ? ? ? ? ? ? ?=（?）? ? ? ? ? ? ? ? ? =（ ）

②84+68+16? ? ? ? ? ? 246+39+54? ? ? ? ? ? 25×23×4

=（ ）+（ ? ）? ? =（?）+（ ）? ? ? =（ ）×（?）

=（ ）? ? ? ? ? ? ? ? =（?）? ? ? ? ? ? ? ? ? ?=（?）

（1）比一比：誰能算得又快又準(zhǔn)？

（2）說一說：你有什么發(fā)現(xiàn)？你能用字母表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？

【設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)源于生活，用于生活。練習(xí)、交流、比賽的方式，既符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，又能夠幫助學(xué)生對新知進(jìn)行內(nèi)化和升華。前兩道題，目的是再次喚醒學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步幫助學(xué)生加深對加法交換律和乘法交換律的理解與掌握。第3題則是讓學(xué)生在緊張、刺激的比賽中不斷建構(gòu)和完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)思維和符號(hào)意識(shí)，體會(huì)交換律的應(yīng)用價(jià)值。】

五、融會(huì)貫通，以融創(chuàng)學(xué)

師：回顧整節(jié)課，你有什么收獲？探尋和表述規(guī)律的過程給了你怎樣的啟示？

【設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生梳理總結(jié)本節(jié)課所學(xué)知識(shí)，進(jìn)而掌握其內(nèi)在聯(lián)系，讓新知得到升華。同時(shí)，課堂教學(xué)內(nèi)容得以自然延伸，為學(xué)生接下來繼續(xù)學(xué)習(xí)有關(guān)運(yùn)算律的知識(shí)打下夯實(shí)的基礎(chǔ)?！?/p>

師：計(jì)算下面各式后照樣子再寫幾組，說說你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？能用字母表示出來嗎？

12-3-4=? ? ? ? ? ? ?12÷3÷4=

12-4-3=? ? ? ? ? ? ?12÷4÷3=

【設(shè)計(jì)意圖：將課堂延伸，引導(dǎo)學(xué)生突破思維的束縛，仿照加法交換律和乘法交換律的探究過程，繼續(xù)在“猜想—驗(yàn)證—結(jié)論—表述”中穿梭，在“變”與“不變”的辨析下理解，在數(shù)學(xué)“再發(fā)現(xiàn)”的過程中，真正學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光理性地、辯證地看待問題。為學(xué)生的思考留一扇窗，學(xué)習(xí)才能隨時(shí)隨地發(fā)生。】

【課后反思】

數(shù)學(xué)是一種理性精神，它建立在“學(xué)、問、思、辨、行”的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)和思考、實(shí)踐相輔相成。本節(jié)課圍繞兩個(gè)核心問題，促進(jìn)學(xué)生由具體到抽象、由感性到理性地深入理解加法交換律，且繼續(xù)對其他運(yùn)算中是否存在交換律的問題進(jìn)行猜想、探究，培養(yǎng)學(xué)生的理性精神。

一、抓住學(xué)習(xí)過程，在審思中喚醒符號(hào)意識(shí)

加法交換律是四則運(yùn)算的根本規(guī)律，也是小學(xué)數(shù)學(xué)課程體系中最核心的內(nèi)容之一。與本單元其他幾個(gè)運(yùn)算律相比，加法交換律更容易理解和掌握，它如同一顆種子，能有效地輻射數(shù)學(xué)知識(shí)，即加法交換律理解了，其他運(yùn)算律也就不難理解，順手為之就可以了。因此，在加法交換律的探究活動(dòng)中，先由簡單、熟悉的生活情境引入，讓學(xué)生自由地提問并列式解答，得出“3+4=4+3”這一等式；再通過學(xué)生提出的猜想“是不是任意兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和都一定不變呢？”引導(dǎo)學(xué)生思考、驗(yàn)證，從而感受猜想的合理性和可靠性；最后從用數(shù)字到用符號(hào)、圖形，再到用字母來表示加法交換律。學(xué)生充分經(jīng)歷“觀察→猜想→驗(yàn)證→結(jié)論”的全過程，對加法交換律的認(rèn)識(shí)逐步從模糊到清晰，從具體到抽象，從感性到理性。學(xué)生在充分思考和表達(dá)的過程中，深刻體驗(yàn)了合情推理，積累了合情推理的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展了符號(hào)意識(shí)，并為學(xué)習(xí)后面的運(yùn)算律做好了鋪墊。

二、利用學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，在明辯中培育理性精神

對于乘法交換律的探究，學(xué)生有更大的探索空間。在學(xué)生推導(dǎo)出加法交換律后，教師順勢利用 “你還有什么猜想？”“想不想繼續(xù)驗(yàn)證？”等問題打開學(xué)生的思維，引導(dǎo)學(xué)生把探索加法交換律時(shí)獲得的經(jīng)驗(yàn)與方法遷移到新的問題情境中，自主嘗試完成乘法交換律的探索之旅。整個(gè)探索過程中，學(xué)生突破思維的束縛，敢想敢說、明辯篤行，鍛煉了思維的靈活性，感受了類比遷移的真正魅力。

問、探、辯、用、融——審辯式“五學(xué)”課堂為培養(yǎng)學(xué)生的思維能力不遺余力。因?yàn)閿?shù)學(xué)學(xué)習(xí)不能只著眼于簡單的知識(shí)傳授，還應(yīng)看到方法、策略、思想，以及學(xué)習(xí)的價(jià)值與意義，只有當(dāng)教師的教著眼于學(xué)生的學(xué)、學(xué)生的能力養(yǎng)成、學(xué)生的思維提升，學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)才能真正落地生根。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 穆傳慧.總結(jié)經(jīng)驗(yàn)：審辯式學(xué)習(xí)的高貴品質(zhì)[J].小學(xué)教學(xué)，2021（6）：18-19.

[2] 穆傳慧.審辯式學(xué)習(xí)引領(lǐng)意義建構(gòu)：“百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)”教學(xué)實(shí)踐與思考[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2022（12）：67-69.

【本文系廣東省中小學(xué)數(shù)學(xué)教研專項(xiàng)課題“小學(xué)生數(shù)學(xué)審辯式學(xué)習(xí)的實(shí)踐研究”（課題編號(hào)：GDJY-2021-M011）及深圳市教育科學(xué)規(guī)劃課題“基于博弈思維的小學(xué)數(shù)學(xué)審辯式學(xué)習(xí)實(shí)踐研究”（課題編號(hào)：Zdfz20087）的階段性成果?！?/p>

（責(zé)編 金 鈴）