系統(tǒng)思考、多向整合，促進深度學(xué)習(xí)

胡海光

［摘 要］如何讓學(xué)生真正學(xué)會用方程來解決問題，是簡易方程單元教學(xué)的一大挑戰(zhàn)。文章基于統(tǒng)整視角，在分析方程教學(xué)存在的問題后，從提前孕伏代數(shù)思想、把準單元教學(xué)主線、統(tǒng)整經(jīng)驗層面提出“實際問題與方程”的有效教學(xué)路徑，以促進學(xué)生對方程的深度學(xué)習(xí)。

［關(guān)鍵詞］統(tǒng)整視角；方程教學(xué)；深度學(xué)習(xí)

［中圖分類號］ G623.5［文獻標(biāo)識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2023）08-0051-04

一、問題的引出——代數(shù)思維VS方程思想

對于題目“五（1）班女生有30人，比男生人數(shù)的3倍少6人，男生有多少人？請列方程解答”，學(xué)生做錯的極少，令人驚訝的是，有幾個學(xué)生列出的方程是（30+6）÷x=3。筆者十分好奇，對其中一個學(xué)生進行了訪談。

筆者：能說說你列這個方程時的想法嗎？

學(xué)生：女生有30人，比男生人數(shù)的3倍少6人，說明男生人數(shù)的3倍就恰好比女生的人數(shù)多6，所以30與6的和除以男生人數(shù)等于3。

筆者：你是根據(jù)“女生人數(shù)比男生人數(shù)的3倍少6人”來思考的。那根據(jù)這句話，你還能找到哪個等量關(guān)系？

學(xué)生（遲疑）：男生人數(shù)×3-6=女生人數(shù)。

筆者：根據(jù)這個等量關(guān)系能列方程嗎？

學(xué)生：x×3-6=30。

可見，學(xué)生列不出教師所期望的方程，并非是列不出等量關(guān)系，而是習(xí)慣了算術(shù)思維，習(xí)慣了從問題出發(fā)來列算式，到最后一步再根據(jù)要求將其調(diào)整為方程的形式。這無疑與教學(xué)目標(biāo)背道而馳。為什么學(xué)生學(xué)了這么多課時的方程知識后，方程思想還如此薄弱？教學(xué)究竟存在怎樣的問題？又該如何改進？

二、原因分析——方程教學(xué)系統(tǒng)性思考的缺失

1.重視算術(shù)思維的訓(xùn)練，忽視方程思想的滲透

用方程解題與用算術(shù)方法解題，在思維方式上是不同的。算術(shù)的解題方式是通過一系列連續(xù)的運算，逐步展開面向結(jié)果的活動；方程的解題方式是發(fā)現(xiàn)各種量之間的關(guān)系，并把一個關(guān)系變成另一個等價關(guān)系的活動。從一年級到四年級，教師都是不斷地強化算術(shù)思維，不斷地訓(xùn)練學(xué)生搜尋信息解決問題的能力，使學(xué)生看到信息就將其與問題掛鉤，看到等號就想求等號左邊式子的運算結(jié)果。雖然教材早就編排了滲透方程思想的習(xí)題，如 “7+□=8、5+8=□+7”，但很多教師往往不夠重視，對學(xué)生的方程思想的培養(yǎng)流于形式，久而久之，學(xué)生對方程思想感到極為陌生。因此，通過一個單元的教學(xué)以期改變并使得學(xué)生形成方程思想就是一個很大的挑戰(zhàn)。

2.簡易方程單元教學(xué)缺乏整體思考，零敲碎打，流于形式，疏于本質(zhì)

在教學(xué)簡易方程單元時，如果缺乏整體思考，就課論課，就會導(dǎo)致學(xué)生對概念本質(zhì)的理解不深刻、單元核心內(nèi)容不能深化。如“方程的意義”這一課，很多教師認為就是讓學(xué)生知道“方程是含有未知數(shù)的等式”，因此在教學(xué)時都是給出一堆等式、不等式、有未知數(shù)或沒有未知數(shù)的式子，讓學(xué)生在分類辨別中認識方程。從形式到形式，教師教的也是形式化的方程，至于形式背后的深層含義——“方程應(yīng)該是等號兩邊講兩個故事，兩個故事的量相等，即含有未知的表示量相等的等式，其要點在于等量關(guān)系”（史寧中教授語），則往往不被教師察覺。這種忽視，使“方程的意義”的教學(xué)無法讓學(xué)生充分體驗量的相等關(guān)系與方程之間的本質(zhì)聯(lián)系，不能為后續(xù)“實際問題與方程”的教學(xué)做好充分的鋪墊。

缺乏整體思考、整體設(shè)計的方程教學(xué)，只能就事論事，導(dǎo)致教學(xué)目標(biāo)定位不準、教學(xué)合力不足。

三、教學(xué)對策——基于統(tǒng)整視角系統(tǒng)設(shè)計方程教學(xué)

1.縱向聯(lián)系，理順滲透目標(biāo)

一種思想的形成并不是通過一個單元幾課時的教學(xué)就能做到的，方程思想的形成亦是如此。人教版教材五年級上冊的簡易方程單元僅僅是方程知識、代數(shù)思想的集合，但人教版教材在編排時，早就有意識地在不同年級、不同知識領(lǐng)域滲透方程的相關(guān)知識與思想（見表1）。

從內(nèi)容上看，教材中滲透的方程知識與思想呈螺旋式上升、由易到難之勢。在一年級，教材更多的是用方框代表未知數(shù)，二年級下冊則開始用圖形□、○等代表未知數(shù)，到四年級下冊就開始用字母代表任意數(shù)了。與方程相關(guān)的等式的含義、等量關(guān)系等也隨著年級的升高逐步滲透。

從量上看，教材編排的方程知識與思想有著由多到少再到多的特點。在一年級上冊中，根據(jù)低年級學(xué)生以順向思維為主的特征，用方框代表未知數(shù)的次數(shù)相當(dāng)多，共有10處，既為滲透方程思想，亦為學(xué)生逆向思維的培養(yǎng)奠定了思維基礎(chǔ)。但到二、三年級，學(xué)生的逆向思維初步發(fā)展后，這種明顯滲透代數(shù)思想的習(xí)題或內(nèi)容顯著減少，只有1、2處，到了四年級，數(shù)量又明顯增加，尤其是在四年級下冊，多達7、8處，但內(nèi)容與一、二年級的差異較大，更多的是用字母代表未知數(shù)，抽象層次、符號化程度更高了。

順應(yīng)教材的編排特點，教師在教學(xué)時應(yīng)統(tǒng)整教學(xué)目標(biāo)，利用恰當(dāng)?shù)膬?nèi)容，尋找合適的時機，選擇合理的方式，采取逐步滲透的方法，及時訓(xùn)練學(xué)生的代數(shù)思維與方程思想，為學(xué)生的長遠發(fā)展奠定良好的基礎(chǔ)。對于一年級上冊第56頁的第11題（見表1），可以讓學(xué)生說一說“算式中的7是什么意思？8呢？這個方框里應(yīng)填什么呢？”學(xué)生在教師的引導(dǎo)下能夠得出“方框里的數(shù)表示拿走的個數(shù)，7個加上拿走的個數(shù)一共是8個”，初步感悟方程思想。對于二年級下冊第26頁第2題（見表1），則可以引導(dǎo)學(xué)生觀察“□+□+□+□=8、12=○+○+○”后說一說這兩個算式各自在講一個怎樣的故事，讓學(xué)生認識到“這里的□、○各代表一個未知數(shù)，在同一個算式中□代表同一個數(shù)，4個相同的數(shù)加起來的和與8相等，同理，3個由○代表的相同的數(shù)的和與12相等”，最后通過問題“什么樣的故事也可以用這樣的算式表示？”進一步加深學(xué)生對方程思想的認識。對于四年級下冊的加法交換律的教學(xué)，則讓學(xué)生舉例后思考：能否用一個式子表達你們想要表達的規(guī)律？在學(xué)生得出“a+b=b+a”時，追問：“這里的a、b表示什么？可以表示哪些數(shù)？這樣表示有什么好處？”讓學(xué)生感悟用字母可以表示數(shù)或用字母式可以表示規(guī)律，并感受用字母來表示的簡潔性。這樣有意識的、有層次的滲透，能讓學(xué)生種下方程思想的種子，為后續(xù)學(xué)習(xí)方程的知識做足準備。

至于教材中很少安排或沒有明顯安排蘊含代數(shù)思想習(xí)題的二、三年級，有經(jīng)驗的教師會根據(jù)相關(guān)內(nèi)容有意識地滲透方程思想。如對于三年級上冊長方形與正方形單元的練習(xí)“請在格子圖中畫出周長是16厘米的長方形”，教師可通過追問周長16厘米是什么意思，引導(dǎo)學(xué)生得出式子“（? ? +? ? ）×2=16”，再讓學(xué)生填一填、畫一畫。如在解決“小明有5元和2元面值的人民幣各6張。如果要買一個30元的書包，有幾種恰好付30元的方式？”時，除了用列表法，還可以引導(dǎo)學(xué)生用這樣的方式來解決：（ ）×5+（ ）×2=30。學(xué)生在有序地解決問題的同時，學(xué)會思考解決問題的方法，在無形之中感受到方程思想的價值。

從整體目標(biāo)出發(fā)，充分地利用教材，合理、有意識、按步驟滲透方程知識和思想，學(xué)生在學(xué)會算術(shù)思維的同時，自然受到代數(shù)思想的熏陶，這為后續(xù)學(xué)習(xí)方程的知識奠定堅實的基礎(chǔ)。

2.橫向梳理，明晰單元核心主線

一個單元知識點的編排，不僅僅是前后知識點的串聯(lián)，更是數(shù)學(xué)思想的統(tǒng)一與貫穿。人教版教材五年級上冊的簡易方程單元一共分了兩大板塊：用字母表示數(shù)和解簡易方程。解簡易方程里又分了方程的意義、等式的性質(zhì)、解方程、實際問題與方程這四小板塊。從編排上可以看出，用字母表示數(shù)是解簡易方程的準備部分，實際問題與方程實質(zhì)是對方程的意義、等式的性質(zhì)、解方程這幾塊內(nèi)容的應(yīng)用?；谶@樣的理解，簡易方程單元本質(zhì)是圍繞“用方程解決實際問題”來編排知識點的，其核心是培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)思維與方程思想，使學(xué)生學(xué)會用建模（構(gòu)建一個含有未知量的等式）來解決問題。

具體到各板塊，“用字母表示數(shù)”是讓學(xué)生更清晰地認識到含有字母的式子既可以表示一個數(shù)，又可以表示數(shù)量間的關(guān)系，強化學(xué)生用字母表示未知量的意識。如在進行基礎(chǔ)練習(xí)后，可讓學(xué)生通過完成習(xí)題“爸爸比小林大25歲。小林（）歲，爸爸（）歲”進一步明確小林的年齡不確定，可以用字母表示，比如a，因為爸爸比小林大25歲，所以可用“a+25”來表示爸爸的年齡。這樣的教學(xué)不是死板地訓(xùn)練學(xué)生用字母表示數(shù)，而是在具體的問題情境中培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)思想。

“方程的意義”的教學(xué)應(yīng)關(guān)注方程的本質(zhì)，更強調(diào)方程的意義與現(xiàn)實中量的相等關(guān)系的對接，而非對單純抽象的等式的歸納。廣東省特級教師劉燕老師在教學(xué)“方程的意義”時，是這樣處理的：

先出示，通過兩個一年級小朋友小芳與小明引出兩種算法“8-2=6、6+2=8”后，讓學(xué)生進行解讀。通過質(zhì)疑小明的方法“6+2=8”——怎樣讓別人知道哪個數(shù)是答案？從而自然地得到“（）+2=8”，進而得出方程“x+2=8”。

再出示問題“盤子里原來有一些蘋果，吃掉了7個，還剩3個，盤子里原來有多少個蘋果？”分別用小芳和小明的方法來解決。由此得出“3+7=10、x-7=3”。

依次出示問題“爸爸今年36歲，小紅年齡的3倍剛好和爸爸的年齡一樣，小紅今年多少歲？”“一個數(shù)加上31，再減去56等于320，這個數(shù)是多少？”“某風(fēng)景區(qū)兒童票價格的2倍多5元，剛好是成人票的價格（145元）再加10元。兒童票的價格是多少元？”利用“小芳會怎么做？”“小明會怎么做？”這兩個問題，引導(dǎo)學(xué)生分別得出方程“x×3=36、x+31-56=320、x×2+5=145+10”，與算式“36÷3=12、320+56-31=345、（145+10-5）÷2=75”。最后引導(dǎo)學(xué)生觀察這些算式的異同，歸納方程的定義。

基于學(xué)生原有的經(jīng)驗，劉燕老師從一年級的看圖解決問題開始，圍繞實際問題的數(shù)量關(guān)系，把方程與等量關(guān)系巧妙地對接起來，凸顯了方程的本質(zhì)，滲透了方程思想，為后續(xù)教學(xué)“實際問題與方程”提供了知識與思想方法的準備。

讓同一個單元的每一節(jié)課，都能圍繞單元核心知識而展開，使每一節(jié)課都能成為單元核心知識網(wǎng)絡(luò)中的一個重要部分，就能形成教學(xué)合力，從而促進學(xué)生深度學(xué)習(xí)。

3.統(tǒng)整經(jīng)驗，探尋有效教學(xué)路徑

在小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，新知的學(xué)習(xí)都是建立在已有的知識基礎(chǔ)與相關(guān)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗上的。因此，統(tǒng)整學(xué)生相關(guān)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，幫助學(xué)生尋找對應(yīng)的學(xué)習(xí)路徑，能促進學(xué)生深度學(xué)習(xí)，從而提高教學(xué)的有效性?！皩嶋H問題與方程”這塊內(nèi)容是簡易方程單元的最后一塊內(nèi)容，其本質(zhì)是對前面“用字母表示數(shù)”“方程的意義”“等式的性質(zhì)”“解簡易方程”幾個板塊內(nèi)容的應(yīng)用。因此，根據(jù)學(xué)生的實際情況，整合其已有知識與經(jīng)驗，并在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)其學(xué)習(xí)，是有效達成“實際問題與方程”教學(xué)目標(biāo)的關(guān)鍵。

如對于“實際問題與方程”例1和例2，可以這樣處理：

（1） 喚醒經(jīng)驗，溝通聯(lián)系

出示圖1，要求學(xué)生看圖列式或列方程。

預(yù)設(shè)：100-34=66（千克）， x+2.7=6.9。

設(shè)問1：x+2.7=6.9表示什么意思？

設(shè)問2：為什么第①題用算式，第②題卻用方程？

追問：第①題也能像第②題那樣列出方程嗎？（把這個未知數(shù)看作字母x，可以列出方程）

小結(jié)：當(dāng)數(shù)量之間有相等關(guān)系且含有未知數(shù)時，就可以列方程。

（2）豐富表象，積累經(jīng)驗

下列信息中，數(shù)量之間存在相等關(guān)系嗎？能用方程表示嗎？

①爸爸今年45歲，比小紅大30歲。

②小王有72張郵票，是小紅的3倍。

③小林買了1本練習(xí)本和3支價格為1.5元的水筆，共用去13.5元。

預(yù)設(shè)：45-x=30、x+30=45、45-30=x。

設(shè)問：這三個關(guān)系式都能表示小紅和爸爸的年齡關(guān)系，哪個關(guān)系式最直白？

要求：請你用最直接、清晰的方程來表示第②、③題數(shù)量之間的相等關(guān)系。

引導(dǎo)比較：這里的列方程與我們以前看圖列式計算有什么不同？

質(zhì)疑：學(xué)會根據(jù)這些信息列出方程有什么用？

（3）運用經(jīng)驗，解決問題

出示：女生有60人，女生人數(shù)比男生的2倍多10人。男生有多少人？先獨立完成，再交流；列方程或用算術(shù)方法都可以。

比較算術(shù)與方程的思維過程，讓學(xué)生感受方程的價值和規(guī)范用方程解決問題的基本格式。

（4）鞏固練習(xí)，提升經(jīng)驗（略）

首先，通過兩個線段圖，讓學(xué)生回憶起已有的看圖列式計算的經(jīng)驗；其次，借助這種經(jīng)驗，讓學(xué)生嘗試列出結(jié)構(gòu)相同、未知數(shù)需用字母表示的方程，為后續(xù)的設(shè)未知數(shù)解題奠定基礎(chǔ)；再次，出示含有等量關(guān)系的信息，讓學(xué)生用方程表示，實質(zhì)是預(yù)先排除問題對學(xué)生列方程的干擾，進一步調(diào)用學(xué)生已有的經(jīng)驗，強化學(xué)生根據(jù)實際信息列方程的能力，為解決實際問題搭建好腳手架；最后，通過解決實際問題，讓學(xué)生在比較用算術(shù)方法解題與列方程解題的過程中，感受方程的價值，學(xué)會列方程解決問題的方法。這樣的教學(xué)，基于學(xué)生的已有經(jīng)驗，讓學(xué)生在經(jīng)驗的整合、改造中自然地獲得知識和發(fā)展能力，進而構(gòu)建良好的知識體系。

列方程解決問題對學(xué)生來說并不是全新的課題。在“用字母表示數(shù)”中，學(xué)生已經(jīng)多次練習(xí)“根據(jù)數(shù)量關(guān)系列代數(shù)式”；在“方程的意義”中，學(xué)生則多次接觸過“看圖列方程”或“根據(jù)信息列方程”。顯然，學(xué)生已有充足的根據(jù)等量關(guān)系列方程的經(jīng)驗。因此，在“實際問題與方程”的教學(xué)中，教師充分關(guān)注并整合學(xué)生已有的經(jīng)驗，讓新知與舊知無縫銜接，就是促進學(xué)生的學(xué)習(xí)更有深度、更有效益的有效途徑。

史寧中教授在《基本概念與運算法則》一書中談到方程教學(xué)時強調(diào)，方程應(yīng)該“先是進行生活中的提煉，然后到數(shù)學(xué)表達，再到形式化的過程，最后到解決方程問題”。這句話不僅指出了方程教學(xué)的實施路徑，也從側(cè)面反映了方程思想的培養(yǎng)不是通過一兩節(jié)課就能實現(xiàn)的，它的實現(xiàn)依賴于系統(tǒng)的思考與安排、合理的統(tǒng)整與設(shè)計。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 康克.凸顯關(guān)鍵問題 促成意義建構(gòu)：“列一步計算方程解決簡單實際問題”教學(xué)設(shè)計與說明[J]. 小學(xué)數(shù)學(xué)教育. 2020 （Z2）：82-84.

[2] 吳雷霞.換種思路教“方程”：“實際問題與方程（1）”教學(xué)實踐與反思[J].教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2015（Z2）：54-56.

[3] 張敏.“簡易方程”單元教學(xué)思考[J]. 中小學(xué)數(shù)學(xué)（小學(xué)版），2019（Z2）：91-94.

（責(zé)編 金 鈴）