關(guān)于圖形折疊的考查探究

姜露

【摘要】圖形折疊是中考考查的重點，通常從綜合視角命題，解析時需理清折疊過程，結(jié)合折疊特性來構(gòu)建模型，展開思路，同時合理處理其中的關(guān)聯(lián)知識，結(jié)合幾何性質(zhì)定理逐步剖析.本文以2022年江蘇省中考題為例，開展問題探究.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；圖形折疊；拋物線

折疊是幾何的三大運動形式之一，也是中考考查的重點，實際命題中并不單一考查折疊性質(zhì)，通常與其他知識相融合，如二次折疊與規(guī)律探究、折疊與動點、折疊與函數(shù)曲線等，下面以江蘇省各市中考題為例，進行圖形折疊考查探究.

1二次折疊特性探究

例1（2022年揚州市中考卷第17題）“做數(shù)學(xué)”可以幫助我們積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.如圖1，已知三角形紙片ABC，第1次折疊使點B落在BC邊上的點B′處，折痕AD交BC于點D；第2次折疊使點A落在點D處，折痕MN交AB′于點P.若BC=12，則MP+MN.

解三角形紙片ABC第1次折疊使得點B落在BC邊上的點B′處，折痕AD交BC于點D，

可推得BD=DB′=12BB′，且有AD⊥BC.

第2次折疊使得點A落在點D處，折痕MN交AB′于點P，

可推得AM=DM，MN⊥AD，

所以MN⊥AD，則MN∥BC.

又知AM=DM，則MN為△ADC的中位線，

可得MP=12DB′，MN=12DC.

因為BC=12，BD+DC=CB′+2BD=BC，

則MP+MN=12DB′+12DC

=12DB′+DB′+B′C=12BC=6，

即MP+MN=6.

評析上述考題的特殊之處在于以操作活動的形式開展三角形二次折疊探究，關(guān)注折疊過程，總結(jié)圖形特性是重點.具體探究時將兩次折疊的特性串聯(lián)，充分挖掘圖形性質(zhì)，提取其中的中位線.

2折疊與動點探究

例2（2022年蘇州市中考卷第16題）如圖2所示，在矩形ABCD中ABBC=23.動點M從點A出發(fā)，沿邊AD向點D勻速運動，動點N從點B出發(fā)，沿邊BC向點C勻速運動，連接MN.動點M，N同時出發(fā)，點M運動的速度為v1，點N運動的速度為v2，且v1<v2.當(dāng)點N到達點C時，M，N兩點同時停止運動.在運動過程中，將四邊形MABN沿MN翻折，得到四邊形MA′B′N.若在某一時刻，點B的對應(yīng)點B′恰好與CD的中點重合，則v1v2的值為.

解在矩形ABCD中，已知ABBC=23，

可設(shè)AB=2a，BC=3a，運動時間為t，

則CD=AB=2a，AD=BC=3a，

BN=v2t，AM=v1t.

在運動過程中，將四邊形MABN沿MN翻折，得到了四邊形MA′B′N，由折疊特性可得B′N=BN=v2t，A′M=AM=v1t.

在某一時刻，點B的對應(yīng)點B′恰好與CD的中點重合，則DB′=B′C=a.

在Rt△B′CN中，B′C=a，B′N=v2t，CN=3a－v2t，

分析可證△EDB′∽△B′CN，（E為A′B′與AD的交點）

結(jié)合相似性質(zhì)，由勾股定理可得DE=34a=A′E.

進一步分析可證△A′EM≌△DEB′（ASA），

可推得A′M=B′D=a，即AM=v1t=a.

則v1v2=v1tv2t=AMBN=a53a=35.

評析上述將矩形折疊與動點相結(jié)合，雙動點運動過程中進行了矩形折疊.上述解析過程中將速度比值轉(zhuǎn)化為線段比值，并將運動條件轉(zhuǎn)化為線段條件，聯(lián)合折疊特性來構(gòu)建線段關(guān)系.對于折疊中的運動問題，設(shè)定時間條件化動為靜是核心策略.

3折疊與拋物線探究

例3（2022年宿遷市中考卷第28題）如圖3，二次函數(shù)y=12x2+bx+c與x軸交于O （0，0），A（4，0）兩點，頂點為C，連接OC、AC，若點B是線段OA上一動點，連接BC，將△ABC沿BC折疊后，點A落在點A′的位置，線段A′C與x軸交于點D，且點D與O、A點不重合.

（1）試求二次函數(shù)的表達式；

（2）求證△OCD∽△A′BD；并求DBBA的最小值；

（3）當(dāng)S△OCD=8S△A′BD時，試求直線A′B與二次函數(shù)的交點橫坐標(biāo).

解（1）簡答，二次函數(shù)表達式為y=12x2－2x.

（2）先由折疊特性可知△ABC≌△A′BC，再證△OCD∽△A′BD；

DBBA的最小值為22.

（3）因為S△OCD=8S△A′BD，則S△OCDS△A′BD=8，

又知△OCD∽△A′BD，

則OCA′B=8=22，

其中OC=22，則A′B=AB=1，

可得點B（3，0），

求得直線BC的解析式為y＝2x-6.

設(shè)點A′（p，q），線段A′A的中點為（p+42，q2），中點在直線BC上，

故q2=2×p+42－6，可解得q=2p－4.

可推得A′B=（p－3）2+（2p－4）2=1，

整理可得（p－3）2+（2p－4）2=1，

可解得p=2或p=125.

當(dāng)p=2時，此時A′（2，0），顯然不符合題意；

當(dāng)p=125時，此時A′（125，45），符合題意，

求得直線A′B的解析式為y=－43x+4，與拋物線的解析式聯(lián)立，可求得直線A′B與的二次函數(shù)圖象的交點橫坐標(biāo)為2+2193或2－2193.

評析上述將拋物線與折疊相融合，考查學(xué)生綜合處理問題的能力.對于函數(shù)曲線背景中的折疊問題，核心解法為數(shù)形結(jié)合，同時需關(guān)注其中的兩點：一是折疊前后組合成軸對稱圖形，涉及相似、全等、中點特性；二是折疊圖形中的對應(yīng)點關(guān)于折痕對稱，且連線的中點必然位于折痕所在直線上.

4結(jié)語

上述問題呈現(xiàn)了折疊知識綜合考查的常見形式，立足折疊過程與特性，與幾何、動點、函數(shù)等知識相結(jié)合構(gòu)建綜合性問題.問題突破需關(guān)注折疊過程，理清對應(yīng)點，把握對稱、全等特性來推導(dǎo)位置關(guān)系和長度關(guān)系.同時解題過程充分利用數(shù)形結(jié)合、模型構(gòu)建等思想方法，提升解題直觀性.