透析二次函數(shù) y=ax2+bx+c(a≠0) 中的a,b,c

劉愛丹

【摘要】二次函數(shù)復(fù)習(xí)課要讓學(xué)生通過對參數(shù)的歸納進(jìn)一步形成模型觀念，發(fā)展應(yīng)用意識和創(chuàng)新能力.教會學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界、用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，教師要由知識的傳授者、灌輸者轉(zhuǎn)變?yōu)橐龑?dǎo)學(xué)生主動學(xué)習(xí)的組織者和促進(jìn)者，使學(xué)生學(xué)會先模仿后創(chuàng)造的必要性學(xué)習(xí)手段，真正成為研究性學(xué)習(xí)的主人，養(yǎng)成有條理的思維品質(zhì)，逐步形成理性精神.教師要為學(xué)生架起一座由“學(xué)會”到“會學(xué)”的橋梁.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；二次函數(shù)；參數(shù)

在新課標(biāo)下的初中教育教學(xué)中，要求充分發(fā)揮學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的主觀能動性、積極性和創(chuàng)造性，變被動學(xué)習(xí)為主動參與.為此，教師就要由知識的傳授者、灌輸者轉(zhuǎn)變?yōu)橐龑?dǎo)學(xué)生主動學(xué)習(xí)的組織者和促進(jìn)者.激發(fā)了學(xué)生自主探究、歸納的興趣；使學(xué)生學(xué)會了先模仿后創(chuàng)造的必要性學(xué)習(xí)手段，真正成為研究性學(xué)習(xí)的主人；也使教師達(dá)到“教是為了不教”的教學(xué)目的.

【案例描述1】蘇科版九年級下冊，第六章，二次函數(shù)（復(fù)習(xí)課）教學(xué)片段

一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，且a≠0）的函數(shù)稱為二次函數(shù)，其中x是自變量，y是x的函數(shù).可別小看這里的常數(shù)a、b、c，它決定著所對應(yīng)的函數(shù)圖象，拋物線的形狀和性質(zhì).換句話說，a、b、c是使我們數(shù)學(xué)教學(xué)達(dá)到數(shù)與形完美結(jié)合的掌舵者.下面，對此做幾點(diǎn)透析.

a決定拋物線的開口方向

a＞0，拋物線開口方向向上；

a＜0，拋物線開口方向向下.

頂點(diǎn)坐標(biāo)（-b2a，4ac－b24a）

對稱軸

（1）直線x= -b2a；

（2）蘇科版為：①當(dāng)b=0時，對稱軸是y軸所在直線；②當(dāng)b≠0時，對稱軸是過其頂點(diǎn)（-b2a，4ac－b24a）且平行于y軸的直線.

描述：①a、b同號，對稱軸在y軸左側(cè)；

②a、b異號，對稱軸在y軸右側(cè)；

當(dāng)b=0，對稱軸是y軸所在直線.

最值

描述：①若a＞0，當(dāng)x= -b2a 時，

y的最小值為4ac－b24a；

②若a＜0，當(dāng)x= -b2a 時，

y的最大值為4ac－b24a.

【案例反思之一】

筆者將二次函數(shù)圖象——拋物線的對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)及最值稱為二次函數(shù)的三要素，認(rèn)識了頂點(diǎn)坐標(biāo)，就可知對稱軸上的任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都為頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)-b2a，因此稱對稱軸為直線x=-b2a；或過其頂點(diǎn)且平行于y軸的直線；如果遇到了b=0時，則頂點(diǎn)在y軸上，這時對稱軸為y軸所在直線.拋物線的頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，因此函數(shù)的最值就是當(dāng)x=-b2a時，得到了y=4ac-b24a.由此可見，這三要素有著密不可分的聯(lián)系，頂點(diǎn)坐標(biāo)是對稱軸和最值的橋梁與紐帶.

【案例描述二】

拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（0，c）

描述：當(dāng)x=0時，y=c . 因此，圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c）.

①當(dāng)c＞0時，圖象與y軸交點(diǎn)在x軸的上方；

②當(dāng)c＜0時，圖象與y軸交點(diǎn)在x軸的下方；

③當(dāng)c=0時，圖象交點(diǎn)坐標(biāo)是原點(diǎn).

漸變性

描述：若a＞0，①當(dāng)x＜-b2a時，y隨x的增大而減??；

②當(dāng)x＞-b2a時，y隨x的增大而增大.

若a＜0，①當(dāng)x＜-b2a時，y隨x的增大而增大；

②當(dāng)x＞-b2a時，y隨x的增大而減小.

【案例反思之二】

筆者將拋物線的對稱軸視為二次函數(shù)圖象漸變性的分界線，并將頂點(diǎn)坐標(biāo)視為漸變性的分界點(diǎn).在分界線或分界點(diǎn)的兩側(cè)有著明顯不同的漸變性，筆者將此區(qū)分度加以概述后，能夠使學(xué)生很清楚的體會到函數(shù)的特性——因變量隨著自變量的變化而變化，恰恰體現(xiàn)了函數(shù)是描述現(xiàn)實(shí)世界變量之間關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型.這是筆者在函數(shù)的教學(xué)中能夠讓學(xué)生結(jié)合函數(shù)圖象的直觀變化從而體會函數(shù)意義的亮點(diǎn)，達(dá)到了形和意的完美結(jié)合.

【案例描述三】

b2-4ac 的功效

描述：b24ac決定著二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的個數(shù).

①當(dāng)b2-4ac＞0時，圖象與x軸有兩個交點(diǎn)；

②當(dāng)b2-4ac=0 時，圖象與x軸有一個交點(diǎn)；

③當(dāng)b2-4ac＜0時，圖象與x軸沒有交點(diǎn).

【案例反思之三】

筆者采用了二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）與其所對應(yīng)的一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）的對比教學(xué)法：

對比① 一元二次方程根的判別式b2-4ac 決定著根的個數(shù).因此，筆者將對學(xué)生說： b2-4ac 決定著一元二次方程根的個數(shù)，也對應(yīng)決定著二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的個數(shù).

對比② 若b2-4ac＞0，此時一元二次方程根的情況為：x1= m ，x2= n（m≠n）.因此，筆者將對學(xué)生說：一元二次方程的根對應(yīng)決定著二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），（n，0）. b2-4ac架設(shè)了二次函數(shù)與一元二次方程之間的橋梁，這樣的對比教學(xué)不但使學(xué)生感受到知識之間有著相輔相成、密不可分的聯(lián)系，而且教會了學(xué)生如何形成數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)，從而提高了學(xué)生總結(jié)歸納、綜合應(yīng)用的能力.

【案例反思之四】

復(fù)習(xí)課是教育教學(xué)工作的一個重要課型，復(fù)習(xí)課肩負(fù)著諸多使命.上好復(fù)習(xí)課，使之能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)的“四基”“四能”價值，將“溫故知新、發(fā)展核心素養(yǎng)”落實(shí)到位，這是在教學(xué)中要關(guān)注的問題.復(fù)習(xí)課上做適當(dāng)?shù)膹?fù)習(xí)歸納可以幫助學(xué)生理清知識結(jié)構(gòu)，突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)，掌握知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，對促進(jìn)學(xué)生構(gòu)建自己系統(tǒng)的知識網(wǎng)絡(luò)，有很大的幫助.促進(jìn)學(xué)生知識內(nèi)化，引領(lǐng)學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)，找到知識的精華所在.深化理解、磨礪并升華了學(xué)生的思維，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)，也更好的發(fā)揮評價的作用.歸納總結(jié)的復(fù)習(xí)是使教學(xué)環(huán)節(jié)更完整、學(xué)生思路更清晰，使教育教學(xué)有一個完美的結(jié)局.