高中數(shù)學(xué)教學(xué)中建模思想的應(yīng)用

李娜

培養(yǎng)學(xué)生的建模思想有利于發(fā)展學(xué)生的思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力．但是實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)的前提是教師在教學(xué)中能全方位地滲透建模思想，從而保證培養(yǎng)學(xué)生的建模思想．本文就此從三個(gè)方面入手，分析如何在教學(xué)中應(yīng)用建模思想，提升學(xué)生的建模思維．

建模思想是指利用數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，揭示現(xiàn)實(shí)問題的變化規(guī)律并解決現(xiàn)實(shí)問題的思維過程．培養(yǎng)學(xué)生的建模思想要從意識(shí)活動(dòng)層面入手，通過設(shè)計(jì)各種問題激活并發(fā)散學(xué)生的思維，構(gòu)建與生活相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)模型，使其將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到生活中．這就意味著教師要在教學(xué)中改革設(shè)計(jì)，優(yōu)化環(huán)節(jié)，創(chuàng)新手段．

１ 教材專題中建模思想的應(yīng)用

分析高中數(shù)學(xué)教材不難發(fā)現(xiàn)，部分章節(jié)的主要內(nèi)容就是模型構(gòu)建與應(yīng)用．教師應(yīng)充分利用這些章節(jié)，滲透模型思想，可以先根據(jù)實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型，再對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，最后根據(jù)結(jié)果解決實(shí)際問題．在教學(xué)中，教師應(yīng)利用數(shù)學(xué)建模思想指導(dǎo)教學(xué)活動(dòng)的實(shí)施與推進(jìn)，從生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，使學(xué)生把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與運(yùn)用，讓他們理解數(shù)學(xué)知識(shí)，同時(shí)初步形成模型思想，為其觀察和認(rèn)識(shí)世界提供一個(gè)良好的數(shù)學(xué)依據(jù)，并為他們將來的繼續(xù)學(xué)習(xí)與深造搭建起一架堅(jiān)實(shí)的階梯．教師還需融入案例，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)建模過程，如函數(shù)模型．函數(shù)模型是高中數(shù)學(xué)模型的重要組成部分，分為二次函數(shù)模型、指數(shù)與對數(shù)函數(shù)模型、三角函數(shù)模型．比如，在高中數(shù)學(xué)人教Ａ 版必修第一冊“函數(shù)的應(yīng)用（一）”中體現(xiàn)的就是二次函數(shù)模型，該節(jié)課的主要教學(xué)目標(biāo)就是引導(dǎo)學(xué)生利用給定的函數(shù)模型或者建立函數(shù)模型來解決實(shí)際問題，并使學(xué)生在函數(shù)模型的建立、解釋、應(yīng)用的過程中形成建模思想，并按照以下步驟進(jìn)行教學(xué)．

１．１ 復(fù)習(xí)回顧

問題一：一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)的解析式分別是什么？問題二：舉例說明在生活中與其相關(guān)的實(shí)例．通過復(fù)習(xí)舊知識(shí)并聯(lián)系生活的方法，學(xué)生可以提高自身的概括、類比能力，也能意識(shí)到函數(shù)模型在生活中的應(yīng)用價(jià)值．

１．２ 構(gòu)建模型

出示實(shí)例，引發(fā)學(xué)生思考，遷移函數(shù)知識(shí)：假設(shè)小李的專項(xiàng)附加扣除金額、其他扣除金額及稅率與教材中同章節(jié)的例８相同．設(shè)小李的全年綜合所得收入額為x（單位：元），應(yīng)繳納個(gè)人所得稅稅額為y（單元：元）．（１）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（２）如果小李全年綜合所得從１８９６００ 元增加到２４９６００ 元，那么他應(yīng)該繳納多少個(gè)人所得稅？

模型準(zhǔn)備：教師引導(dǎo)學(xué)生分析變量之間的關(guān)系及代表的實(shí)際含義，提問：在該題中共有幾個(gè)變量，不同變量代表的實(shí)際意義是什么？根據(jù)問題學(xué)生很快就能分析出題干共提到了兩個(gè)變量．一個(gè)是小李的全年綜合所得收入額狓，代表小李全年的未被扣稅前的實(shí)際收入．一個(gè)是應(yīng)繳納個(gè)人所得稅稅額狔，按照規(guī)定的扣除金額和稅率，小李應(yīng)當(dāng)依法繳納的金額．接著，教師指導(dǎo)學(xué)生分析教材中的例子，找出有關(guān)扣除金額和稅率的信息．例子中，應(yīng)繳納個(gè)稅稅額狔與應(yīng)納稅所得額狋的關(guān)系為

模型求解、構(gòu)建：教師繼續(xù)追問，已知應(yīng)繳納個(gè)稅稅額y與納稅所得額t的關(guān)系式，能否通過自變量替換寫出y關(guān)于與x的函數(shù)關(guān)系式？當(dāng)x在什么范圍內(nèi)，可以使y在對應(yīng)的區(qū)間．

此時(shí)，學(xué)生就可以根據(jù)所學(xué)二次函數(shù)的知識(shí)和已知關(guān)系式，分析x與t的內(nèi)在聯(lián)系，并進(jìn)行替換，寫出最終的函數(shù)關(guān)系式，完成模型構(gòu)建．根據(jù)上述關(guān)系式能夠得到t＝x－６００００－x（８％＋２％＋１％＋９％）－９６００－５６０＝０．８x－７０１６０.

模型應(yīng)用：如果小李全年綜合所得從１８９６００ 元增加到２４９６００元，則x＝２４９６００，代入計(jì)算可得y＝０．０８×２４９６００－９５３６＝１０４３２，所以小李應(yīng)該繳納１０４３２元個(gè)人所得稅．

這樣按照模型應(yīng)用步驟設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)的方法不僅僅能保證函數(shù)模型的教學(xué)更貼合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，也能進(jìn)一步加深學(xué)生對函數(shù)模型的認(rèn)識(shí)，并使其在求解、構(gòu)建與應(yīng)用的過程中形成根深蒂固的建模思想．

２ 日常授課中建模思想的應(yīng)用

建模思想的培養(yǎng)是一個(gè)長期的過程．因此，教師應(yīng)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中建立長效機(jī)制，久而久之，學(xué)生對模型的認(rèn)知就會(huì)從只擁有基本的意識(shí)轉(zhuǎn)化為能夠熟練地應(yīng)用．

高中數(shù)學(xué)建模思想涉及的知識(shí)點(diǎn)有數(shù)列、向量、立體幾何、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、概率等．教師在以這些知識(shí)為載體，融入建模思想時(shí)，要注意合理設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，保證建模思想與授課知識(shí)銜接的流暢性．以“等差數(shù)列”的教學(xué)為例，教師可以設(shè)計(jì)探究活動(dòng)，使學(xué)生在了解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其推導(dǎo)方式的過程中，初步感受到建模思想，再通過引入生活實(shí)例學(xué)會(huì)簡單應(yīng)用．如（１）某劇場前１０排的座位數(shù)分別為５６，５４，５２，５０，４８，４６，４４，４２，４０、３８；（２）在生活中小朋友經(jīng)常這樣數(shù)數(shù)１，２，３，４，５，６，７，８，９，１０；（３）２０００ 年，女子舉重正式成為奧運(yùn)會(huì)比賽項(xiàng)目，該項(xiàng)目共設(shè)計(jì)了七個(gè)體重級(jí)別，其中四個(gè)較輕的級(jí)別為４８公斤級(jí)、５３公斤級(jí)、５８公斤級(jí)、６３公斤級(jí)，然后讓學(xué)生觀察數(shù)列，總結(jié)上述三個(gè)數(shù)列的共同特征，進(jìn)而引出等差數(shù)列的概念．接下來，為了引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，教師可以繼續(xù)提問：觀察上述三個(gè)數(shù)列，每個(gè)數(shù)列中前后兩項(xiàng)的差值是否固定？第二項(xiàng)至最后一項(xiàng)是否能夠用第一項(xiàng)及固定差值表示？讓學(xué)生根據(jù)問題的答案嘗試推導(dǎo)關(guān)系式；之后，教師再進(jìn)行總結(jié)、概括；最后，再出示相關(guān)例題，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用公式解題．這樣設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)既能保證學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，又能使學(xué)生形成建模思想．

３ 習(xí)題中建模思想的應(yīng)用

在習(xí)題中融入建模思想既可以幫助學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，又可以提高學(xué)生的模型應(yīng)用能力，還能發(fā)展學(xué)生的建模思維，提高解題能力．另外，在設(shè)計(jì)習(xí)題時(shí)還可以融入涉及模型思想的知識(shí)點(diǎn)，使學(xué)生在練習(xí)中進(jìn)一步強(qiáng)化建模思想．

例題：某食品廠成箱包裝食品，每箱２００包．在質(zhì)量檢測時(shí)，質(zhì)檢員會(huì)先從一箱產(chǎn)品中任意抽?。玻鞍?，然后根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否再對余下產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)．假設(shè)每包產(chǎn)品不合格的概率均為p（０＜p＜１），且各包產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立．（１）記２０包產(chǎn)品中恰有２包不合格品的概率為f（p），求其最大值狆０；（２）在某批次檢測中恰巧發(fā)現(xiàn)２０ 包產(chǎn)品中有２ 包不合格品，若p＝p０，每包產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為２元，假設(shè)有不合格的產(chǎn)品進(jìn)入用戶手中，則食品廠要支付相應(yīng)的不合格賠償費(fèi)用２５元．（ⅰ）若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X，求E（X）；（ⅱ）以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？

該習(xí)題以產(chǎn)品檢測問題為例，考查了獨(dú)立事件、導(dǎo)數(shù)、隨機(jī)變量的期望等知識(shí)點(diǎn)．學(xué)生在分析題目中會(huì)關(guān)聯(lián)各項(xiàng)知識(shí)點(diǎn)，并以實(shí)際問題為導(dǎo)向構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，完成解題．

針對第（１）問，依據(jù)概率知識(shí)可知f（p）的關(guān)系表達(dá)式為f（p）＝Ｃ２２０＝p２（１－p）１８，對其進(jìn)行求導(dǎo)并令f′（p）＝０，可計(jì)算出p０＝０．１．也就是說f（p）的最大值為０．１．針對（２）中（?。?，余下１８０包中不合格產(chǎn)品包數(shù)Y～B（１８０，０．１），則X＝２０×２＋２５Y＝４０＋２５Y，所以E（X）＝E（４０＋２５Y）＝４０＋２５E（Y）＝４９０．針對（ⅱ），假如對余下的所有產(chǎn)品都作檢驗(yàn)，那么全部檢驗(yàn)費(fèi)用為４００元．由于E（X）＝４００，故應(yīng)對余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)．

總之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用建模思想的關(guān)鍵是要依據(jù)教材，抓住涉及模型的知識(shí)點(diǎn)，合理設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)．

（完）