巧構(gòu)常數(shù)列，妙解數(shù)列題

林暉

常數(shù)列是指數(shù)列中各項(xiàng)的值都相等的一類特殊數(shù)列，特別地，各項(xiàng)的值非零的常數(shù)列既是公差為０的等差數(shù)列，又是公比為１ 的等比數(shù)列，巧妙實(shí)現(xiàn)等差數(shù)列與等比數(shù)列的和諧統(tǒng)一．在實(shí)際數(shù)列解題過(guò)程中，往往常數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征不明顯，要借助合理變形與轉(zhuǎn)化、巧妙構(gòu)建與處理等，才能選取、構(gòu)建或配湊出相應(yīng)的常數(shù)列，進(jìn)而利用常數(shù)列的基本性質(zhì)來(lái)解題．

１ 參數(shù)求值問(wèn)題

借助常數(shù)列的構(gòu)建與應(yīng)用或常數(shù)列的判定與識(shí)別等，結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本性質(zhì)以及相關(guān)的公式等，可以用來(lái)解決涉及等差數(shù)列的公差、等比數(shù)列的公比、數(shù)列中的系數(shù)等相關(guān)的參數(shù)求值問(wèn)題．

例１ 已知數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，若a１－１，a３－３，a５－５依次構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，則q＝（ ）．

Ａ．－２ Ｂ．－１ Ｃ．１ Ｄ．２

分析 根據(jù)題設(shè)條件，直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的性質(zhì)來(lái)分析與求解有一定難度，充分挖掘數(shù)列中的數(shù)據(jù)特征，利用等差數(shù)列自身的“等距性”，以及兩個(gè)等差數(shù)列的“相加性”（對(duì)應(yīng)項(xiàng)依次相加后還是等差數(shù)列）確定等差數(shù)列這一類型，綜合利用其還是等比數(shù)列這一特征，構(gòu)造常數(shù)列來(lái)進(jìn)行求解．

解 依題知數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，則數(shù)列｛a２n－１｝也是等差數(shù)列，而數(shù)列－１，－３，－５ 也構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，則數(shù)列a１ －１，a３ －３，a５ －５ 構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，又由于a１－１，a３－３，a５－５依次構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，從而a１－１，a３－３，a５－５是各項(xiàng)非零的常數(shù)列，則知q＝１，故選Ｃ．

點(diǎn)評(píng)

抓住等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本性質(zhì)，合理構(gòu)建兩者之間的統(tǒng)一體———常數(shù)列，使得問(wèn)題朝著更加方便解決的方向發(fā)展．在進(jìn)行數(shù)列中的一些參數(shù)求值、類型判斷或其他相關(guān)應(yīng)用中，經(jīng)常利用“各項(xiàng)非零的常數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列”這一基本性質(zhì)，結(jié)合常數(shù)列的基本性質(zhì)來(lái)解題．

２ 數(shù)列運(yùn)算問(wèn)題

借助常數(shù)列的構(gòu)建與應(yīng)用，化一般為特殊，化不規(guī)則為規(guī)則，在解決一些涉及等差數(shù)列或等比數(shù)列的運(yùn)算問(wèn)題中有奇效，使得數(shù)學(xué)運(yùn)算更加快捷簡(jiǎn)單，常常應(yīng)用于一些數(shù)列運(yùn)算中的定值的客觀題中．

例２ 若等比數(shù)列｛an｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足a５０a５１＋a４９a５２＝２ｅ１０，則ｌｎa１＋ｌｎa２＋…＋ｌｎa１００＝（ ）．

Ａ．１００ Ｂ．２５０ Ｃ．５００ Ｄ．ｌｎ５０＋１

分析 根據(jù)題意，解題的常規(guī)思維是借助等比數(shù)列的性質(zhì)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)等求解．利用特殊思維介入，抓住題設(shè)中的數(shù)列關(guān)系式進(jìn)行合理構(gòu)建常數(shù)列，使得數(shù)列更加具體直觀，以特殊代替一般進(jìn)行統(tǒng)一化處理，操作應(yīng)用與數(shù)學(xué)運(yùn)算起來(lái)更加簡(jiǎn)單快捷．

解 依題意，根據(jù)特殊思維，構(gòu)建常數(shù)列———公比為q＝１ 的數(shù)列｛an｝，結(jié)合條件a５０a５１ ＋a４９a５２ ＝２ｅ１０，可得a５０a５１ ＝ｅ５，所以ｌｎa１ ＋ｌｎa２ ＋ … ＋ｌｎa１００＝１００ｌｎｅ５＝１００×５＝５００，故選Ｃ．

點(diǎn)評(píng)

在一些數(shù)列客觀題的求解中，特別是涉及數(shù)列的相關(guān)項(xiàng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算問(wèn)題，如果能夠借助特殊思維，合理構(gòu)建特殊數(shù)列———常數(shù)列（或與條件相吻合的其他特殊數(shù)列等），可以使得問(wèn)題更加直觀，分析求解起來(lái)更加簡(jiǎn)潔，往往使得問(wèn)題簡(jiǎn)單統(tǒng)一化，簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)運(yùn)算，優(yōu)化解題過(guò)程．

３ 數(shù)列通項(xiàng)問(wèn)題

借助常數(shù)列的構(gòu)建與應(yīng)用，可以合理轉(zhuǎn)化一些比較復(fù)雜的數(shù)列關(guān)系式問(wèn)題，通過(guò)常數(shù)列加以合理過(guò)渡，使得問(wèn)題得以巧妙轉(zhuǎn)化，為數(shù)列的通項(xiàng)公式及其相關(guān)問(wèn)題的求解提供條件，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)列通項(xiàng)公式的求解與應(yīng)用．

例３ 已知數(shù)列｛an｝滿足（n－１）an＋１＝nan－１（n∈N*犖 ），且a２ ＝３，則數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為an＝______．

分析 根據(jù)題設(shè)條件，常規(guī)思維是借助等差中項(xiàng)性質(zhì)或累加法加以變形與轉(zhuǎn)化．而抓住題設(shè)中的數(shù)列遞推關(guān)系式，利用數(shù)列關(guān)系式的恒等變形與轉(zhuǎn)化，構(gòu)建數(shù)列的通項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的比值之差的關(guān)系式，進(jìn)而通過(guò)合理轉(zhuǎn)化構(gòu)建新數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)

通過(guò)數(shù)列的遞推關(guān)系式或相關(guān)信息的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，借助常數(shù)列的巧妙構(gòu)建與合理應(yīng)用，無(wú)中生有，創(chuàng)新應(yīng)用，是數(shù)列的類型判斷、數(shù)列通項(xiàng)公式的確定等問(wèn)題中比較常用的一種技巧方法，關(guān)鍵在于合理變形數(shù)列的遞推關(guān)系式，巧妙構(gòu)建一個(gè)全新的常數(shù)列加以過(guò)渡或轉(zhuǎn)化．

４ 數(shù)列求和問(wèn)題

借助常數(shù)列的構(gòu)建與應(yīng)用，特別是整體思維方式的介入，合理將一些相關(guān)的不規(guī)則數(shù)列的求和及其相關(guān)應(yīng)用問(wèn)題轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的常數(shù)列、等差數(shù)列或等比數(shù)列問(wèn)題，使數(shù)列求和更加直觀有效，起到非常良好的效果．

例４ 已知數(shù)列｛an｝，a１＝１，a２＝２，且滿足an＋２＝an＋２×（－１）n（n∈N*?），則該數(shù)列｛an｝的前１００ 項(xiàng)和S１００ 為_(kāi)_____．

分析 根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式，借助數(shù)列中的奇偶項(xiàng)加以分類討論，過(guò)程比較繁雜．而結(jié)合題設(shè)中的遞推關(guān)系進(jìn)行恒等變換，利用數(shù)列中連續(xù)四項(xiàng)之間的代數(shù)關(guān)系，合理構(gòu)建常數(shù)列，結(jié)合新數(shù)列的整體思維來(lái)進(jìn)行合理的數(shù)列求和與運(yùn)算．特別地，創(chuàng)新的常數(shù)列的構(gòu)建，使得問(wèn)題變得更加具體，使分析與處理問(wèn)題更加簡(jiǎn)單快捷．

點(diǎn)評(píng)

合理把握題設(shè)條件與所求結(jié)論之間的聯(lián)系，充分構(gòu)建“橋梁”，抓住數(shù)列問(wèn)題的實(shí)質(zhì)與遞推關(guān)系式的巧妙變換，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行整體轉(zhuǎn)化，巧妙合理同構(gòu)相應(yīng)的常數(shù)列，通過(guò)特殊思維、分組思維與整體思維等來(lái)進(jìn)行變形與應(yīng)用，為數(shù)列求和問(wèn)題的破解提供便捷．

在實(shí)際數(shù)列解題過(guò)程中，充分剖析問(wèn)題內(nèi)涵與實(shí)質(zhì)，綜合巧妙的數(shù)學(xué)思維、敏銳的數(shù)學(xué)視角等，通過(guò)巧妙選取、巧妙構(gòu)建、合理配湊等技巧方法，挖掘并構(gòu)造對(duì)應(yīng)的常數(shù)列，結(jié)合常數(shù)列的概念、性質(zhì)等知識(shí)，有效回避靈活的數(shù)列性質(zhì)應(yīng)用與繁雜的數(shù)列運(yùn)算等，利用合理的邏輯推理以及正確的數(shù)學(xué)運(yùn)算等來(lái)分析與應(yīng)用，簡(jiǎn)化題設(shè)條件，優(yōu)化解題過(guò)程，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的有效破解．

（完）