對兩道拋物線高考題的一點(diǎn)思考*

廣東省中山市中山紀(jì)念中學(xué)(528454) 謝林濤

一、真題與解答

題目1(2018年高考浙江卷)如圖,已知點(diǎn)P是y軸左側(cè)(不含y軸)一點(diǎn),拋物線C:y2=4x上存在不同的兩點(diǎn)A,B滿足PA,PB的中點(diǎn)均在C上.

(Ⅰ)設(shè)AB中點(diǎn)為M,證明:PM垂直于y軸;

(Ⅱ)若P是半橢圓上的動點(diǎn),求?PAB面積的取值范圍.

題目2(2021年高考乙卷理科)已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,且F與圓M:x2+(y+4)2=1 上點(diǎn)的距離的最小值為4.

(1)求p;

(2)若點(diǎn)P在M上,PA,PB是C的兩條切線,A,B是切點(diǎn),求?PAB面積的最大值.

題目1 的解答(I)的方法1.設(shè)PA,PB的中點(diǎn)分別為D,E,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4),則兩式相減得(y1+y2)(y1?y2)=4(x1?x2),所以直線AB的斜率.同理可得直線DE的斜率,因?yàn)锳B//DE,所以kAB=kDE,因此y1+y2=y3+y4,所以AB中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)與DE中點(diǎn)M′的縱坐標(biāo)相同,即MM′垂直于y軸,又P,M,M′三點(diǎn)共線,所以PM垂直于y軸.

(I)的方法2.設(shè)P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),因?yàn)辄c(diǎn)A及PA的中點(diǎn)都在拋物線上,所以,再代入后式整理得因?yàn)辄c(diǎn)B及PB的中點(diǎn)都在拋物線上,同理可得所以y1,y2為方程的兩個根,由韋達(dá)定理所以點(diǎn)M的縱坐標(biāo)與點(diǎn)P的縱坐標(biāo)相同,即PM垂直于y軸.

(II)由(I)可知

題目2 的解答(1)p=2(過程從略).(2)設(shè)P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),易得切線PA的方程為y?y1=,將代入得同理切線PB的方程為又P(x0,y0)既在切線PA上,也在切線PB上,所以這說明A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn)都在直線上,即直線為直線AB,將其與x2=4y聯(lián)立,整理得x2?2x0x+4y0=0,所以點(diǎn)P到直線AB的距離于是?PAB面積在M:x2+(y+4)2=1 上,即故當(dāng)y0=?5 時,S?PAB取得最大值,最大值為.

將①的前式寫成

評注經(jīng)過計(jì)算,我們發(fā)現(xiàn)題目1 和題目2 中?PAB面積的面積的表達(dá)式非常類似,于是筆者大膽猜測如果將題目1 中的“中點(diǎn)”和題目2 中的“切點(diǎn)”改為一般的“分點(diǎn)”,應(yīng)該會有更一般的結(jié)論,下面分享筆者發(fā)現(xiàn)的拓展結(jié)論.

二、結(jié)論拓展

已知點(diǎn)P(x0,y0)是拋物線C:y2=2px外一點(diǎn),A,B是拋物線C上不同的兩點(diǎn),AB的中點(diǎn)為M.

結(jié)論1若PA,PB的中點(diǎn)都在拋物線上,則PM垂直于y軸,且?PAB的面積為.

結(jié)論2若PA,PB是拋物線的兩條切線,A,B是切點(diǎn),則PM垂直于y軸,且?PAB的面積為.

結(jié)論3若直線PA與拋物線交于另外一點(diǎn)D,直線PB與拋物線交于另外一點(diǎn)E,且則PM垂直于y軸,且?PAB的面積為.

結(jié)論4若直線PA與拋物線交于另外一點(diǎn)D,直線PB與拋物線交于另外一點(diǎn)E,且直線PM與拋物線交于點(diǎn)N,且拋物線在點(diǎn)N處的切線與直線PA,PB分別交于Q,R兩點(diǎn),則(1);(2)QR//AB;(3)?PQR的面積為

結(jié)論5若PA,PB是拋物線的兩條切線,A,B是切點(diǎn),直線PM與拋物線交于點(diǎn)N,且拋物線在點(diǎn)N處的切線與直線PA,PB分別交于Q,R兩點(diǎn),則(1)N為PM的中點(diǎn);(2)QR//AB;(3)?PQR的面積為.

結(jié)論1 和結(jié)論2 的證明類似題1 和題2 的解答過程,本文不再贅述.

結(jié)論3 的證明方法1.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4),M(xM,yM).由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式可知由D點(diǎn)在拋物線上,所以代入,整理得同理可得故y1,y2為方程的兩個根,由韋達(dá)定理得所以yM=y0,PM垂直于y軸.

方法2.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4),M(xM,yM),DE中點(diǎn)為M′,則兩式相減得(y1+y2)(y1?y2)=2p(x1?x2),所以直線AB的斜率同理可得直線DE的斜率,因?yàn)锳B//DE,所以kAB=kDE,因此y1+y2=y3+y4,所以AB中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)與DE中點(diǎn)M′的縱坐標(biāo)相同,即MM′垂直于y軸,又P,M,M′三點(diǎn)共線,所以PM垂直于y軸.

?PAB的面積

結(jié)論4 的證明由(3)知N點(diǎn)的縱坐標(biāo)yN=y0,則N點(diǎn)的橫坐標(biāo)于是

對y2=2px兩邊對x求導(dǎo)得,2y·y′=2p,即所以切線QR的斜率直線AB的斜率kAB=因此kQR=kAB,即QR//AB.易知?PQR∽?PAB,相似比為,所以?PQR的面積

類似地我們可以證明結(jié)論5,留給讀者自行證明.

現(xiàn)在我們再回頭去看高考題目1 和題目2.由結(jié)論3,當(dāng)λ=1 時即為結(jié)論1 的結(jié)果,當(dāng)λ →+∞時即為結(jié)論2 的結(jié)果.再由結(jié)論1,當(dāng)p=2 時即可得到題目1 中的結(jié)果,由結(jié)論2,當(dāng)p=2 即可得到題目2 的結(jié)果(交換x,y的位置).

三、備考建議

高考是一個選拔性考試,數(shù)學(xué)是高考選拔人才的重要學(xué)科,數(shù)學(xué)高考題越來越靈活多變,這就要求我們能夠在靈活多變的表象下,透過表象看本質(zhì).在高考備考中,需要教師專研高考題,特別是同類的高考題,找到相似處,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,揭露其數(shù)學(xué)本質(zhì),教師看清楚了題目的本質(zhì),學(xué)生才能做到舉一反三,觸類旁通.教師可以將數(shù)學(xué)閱讀與寫作引入課堂,改過去“講練結(jié)合”為“講練讀寫四結(jié)合”,優(yōu)化課堂結(jié)構(gòu),指導(dǎo)學(xué)生做數(shù)學(xué)筆記(疑問性、感觸性、梳理性筆記),提高學(xué)生的理解、轉(zhuǎn)化、抽象、反思、歸納、建構(gòu)、交流合作等能力,增進(jìn)師生的情感交流,及時反饋,改進(jìn)教學(xué)策略.學(xué)生具有一定數(shù)學(xué)寫作能力有助于對數(shù)學(xué)知識的總結(jié)和內(nèi)化,發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題,進(jìn)一步探究更多數(shù)學(xué)結(jié)論,也是一項(xiàng)必不可少的技能.更加有助于學(xué)生的自我監(jiān)控和探究,專研學(xué)問,深化知識結(jié)構(gòu).