“深度教學(xué)”視域下的高中數(shù)學(xué)精準(zhǔn)教學(xué)研究*
——以橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程為例

廣東省廣州大同中學(xué)(510545) 袁 安

1 “深度教學(xué)”視域下的高中數(shù)學(xué)精準(zhǔn)教學(xué)模式

圖1

“深度教學(xué)”視域下的高中數(shù)學(xué)精準(zhǔn)教學(xué)模式要求教師根據(jù)所學(xué)數(shù)學(xué)知識的屬性及課型進(jìn)行科學(xué)分析,通過變易圖式在課前、課中、課后針對性的進(jìn)行深度的學(xué)習(xí),通過大數(shù)據(jù)進(jìn)行精準(zhǔn)的教學(xué)設(shè)計和教學(xué)實施,充分發(fā)揮學(xué)生的自主性、能動性和創(chuàng)造性,讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人,教學(xué)模式如圖1.

2 “深度教學(xué)”視域下的高中數(shù)學(xué)精準(zhǔn)教學(xué)模式的教材深度理解

理解教材意圖既要從宏觀上把握教材體系的結(jié)構(gòu)、主線,從中觀上要明晰教材內(nèi)容呈現(xiàn)的方式、邏輯思路等,從微觀上把握知識點的具體表征方式、內(nèi)容,以及所涉及的思想方法.“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”是一節(jié)數(shù)學(xué)概念課,是本章圓錐曲線的第一節(jié)課,是承接“直線與圓的方程”的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上,用坐標(biāo)法研究其他幾何問題的第一個重要內(nèi)容.從教材編排上講,現(xiàn)行教材中把三種圓錐曲線獨編一章,更突出了橢圓的重要地位,在研究過程中,數(shù)形結(jié)合思想和坐標(biāo)法統(tǒng)領(lǐng)全局.從方法、基本模式和理論基礎(chǔ)上講,三種圓錐曲線的研究內(nèi)容、過程和方法都是“同構(gòu)”的,按照“曲線的定義——曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程——通過方程研究曲線的性質(zhì)——應(yīng)用”的過程展開,在展開過程中,教科書把橢圓作為重點,突出它的典型示范作用.這也是大單元教學(xué)設(shè)計的典型做法,希望通過類比、同化的方式進(jìn)行融合教學(xué),以便重點突出的同時,也讓學(xué)生掌握重要的數(shù)學(xué)研究方法和數(shù)學(xué)研究思路,為后期更深入的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ),提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3 課前精準(zhǔn)推送預(yù)習(xí)內(nèi)容,深度了解學(xué)生最近發(fā)展區(qū)

為了課堂中讓所有學(xué)生都能夠在相同的最近發(fā)展區(qū)進(jìn)行教學(xué),在“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”第一課時的課前推送3份課前預(yù)習(xí)資料和1份測試題:1、推送中學(xué)阿波羅尼圓的求解方法,讓學(xué)生溫習(xí)解析法求軌跡方程的“建、設(shè)、限、代、化、檢驗”六個步驟.2、推送化簡根式和絕對值的等價條件,反思有哪些方法?特別是雙根式和雙絕對值使用什么方法可以更加簡潔的化簡.3、通過微課和翻轉(zhuǎn)課堂形式推送求圓方程的4種常用方法,并得到了測試成績?nèi)鐖D2

圖2

從后臺數(shù)據(jù)看,學(xué)生都學(xué)習(xí)了推薦的相關(guān)知識和微課,從測試的結(jié)果看,基本掌握相關(guān)數(shù)學(xué)知識與方法,在靈活的應(yīng)用過程中還有待提升.針對檢測不及格的2位學(xué)生通過及時的反饋交流,了解出現(xiàn)問題的原因,并進(jìn)行針對性的輔導(dǎo),同時在課中要特別觀注他們的反應(yīng).幫助全體學(xué)生達(dá)到課堂需要的最近發(fā)展區(qū)水平,保證課堂教學(xué)的精準(zhǔn)性和針對性.

4 課堂深度教學(xué)過程的“精準(zhǔn)”實施

4.1 借章節(jié)圖,創(chuàng)設(shè)情景

為激發(fā)和維持學(xué)習(xí)動機,借教材章節(jié)引言,通過“用一個垂直于圓錐主軸的平面截圓錐得到的截面是圓的事件進(jìn)行展開拓展思考.

若改變截面與圓錐主軸所成的角大小,截面會是怎樣的曲線?使用GeoGebra軟件,現(xiàn)場轉(zhuǎn)動平面,用平面截雙圓錐,再展現(xiàn)出他們的交線,從而得到圖3.

圖3

4.2 深度了解圓錐曲線發(fā)展史,滲透數(shù)學(xué)文化

以短視頻的形式講解圓錐曲線發(fā)展的三個階段,第一階段最初發(fā)現(xiàn)是公元前5世紀(jì)—公元前4世紀(jì),數(shù)學(xué)家梅內(nèi)繆斯用平面截不同的圓錐,發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線.阿波羅尼奧斯在總結(jié)了歐幾里得等前人的成果基礎(chǔ)上,歸納提煉后系統(tǒng)化的寫出了《圓錐曲線》一書,全書8篇,共487個命題,將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡,以致后來2000多年的歷史長河中,幾乎沒有任何一人能寫出更多的性質(zhì).

第二階段直到16世紀(jì),開普勒發(fā)現(xiàn)了行星按橢圓的軌道圍繞太陽運行,物理學(xué)上伽利略提出來“斜拋運動”時,物體運行軌跡是拋物線,人們才恍然大悟,“圓錐曲線”是自然界物體運動的普遍形式,需要利用數(shù)學(xué)工具來研究圓錐曲線的規(guī)律和性質(zhì),讓我們更好的認(rèn)知和理解圓錐曲線.

第三階段是17世紀(jì),隨著笛卡爾發(fā)明了坐標(biāo)系,創(chuàng)立的“解析幾何”面世,使得人們可以通過代數(shù)方法來解決圓錐曲線問題,從而使人們對圓錐曲線的認(rèn)識進(jìn)入了新的階段.

通過視頻讓學(xué)生了解圓錐曲線產(chǎn)生的歷史背景,及其不同階段的發(fā)展史,了解圓錐曲線的發(fā)展及應(yīng)用.從而達(dá)到注重利用數(shù)學(xué)史料,滲透數(shù)學(xué)文化,激勵學(xué)生敢于思考、勇于創(chuàng)新,向先輩學(xué)習(xí).

4.3 深度體驗,質(zhì)疑探究,生生互動,歸納橢圓定義

4.3.1 深度體驗、精準(zhǔn)引導(dǎo)、變易探究、探究橢圓定義

表1 三種器材畫出的圖形

實驗材料:紙板,圖釘,無彈性的棉線,橡皮筋,鋼絲,GeoGebra軟件及PPT制做說明.

實驗過程:在紙板上隔開一定距離的兩點F1,F2扎上圖釘;

實驗1:選擇比兩點間距離稍長無彈性的棉線一根,將其兩端打結(jié)固定在圖釘上;

實驗2:選擇一根橡皮筋,將其兩端打結(jié)固定在圖釘上;

實驗3:選擇鋼絲將其兩端打結(jié)固定在圖釘上,并且保證鋼絲沒有彎曲;

在三種器材上套好筆,拉緊器材,移動筆尖畫圖,作出的圖形,歸納得到表1.

4.3.2 質(zhì)疑探究、生生互動、變易區(qū)分、辨析概念內(nèi)涵

為促進(jìn)學(xué)生對橢圓概念的理解,選擇用變易圖式“區(qū)分”功能列舉概念主要特殊的正、反例進(jìn)行研究,對定值2a與|F1F2|=2c的大小進(jìn)行研究.利用平板推送問題,同屏進(jìn)行探究,并通過變易圖式的“對比”功能引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行互動辨析,形成表2.

表2 變易圖式區(qū)分功能

學(xué)生自己歸納出不完備的橢圓定義:動點P到兩定點F1與F2的距離之和為一定值2a,且(2a>|F1F2|=2c)時,動點p的軌跡是橢圓.

4.3.3 引申拓展、師生互動、變易類合、辨析概念外延

對比平面與空間:我們試驗作圖時都是在同一個平面內(nèi)的,類比圓的定義:在平面內(nèi)動點P到定點O的距離等于定長的點的集合.能否去掉在平面內(nèi)?如果沒有限制條件就應(yīng)是空間動點P到定點O的距離等于定長的點的集合就是球.那么橢圓定義是否應(yīng)加上平面內(nèi)?引導(dǎo)學(xué)生對空間進(jìn)行研究,讓學(xué)生用剪刀剪下相同的橢圓,組成立體圖形是橢球體,并用GeoGebra軟件現(xiàn)場生成橢球,拓展學(xué)生的空間想象能力.讓學(xué)生對定義進(jìn)行辨析,并讓學(xué)生對自己小組的作品投屏展示,相互講解交流,統(tǒng)一橢圓定義的認(rèn)知,得到表3.

表3 變易圖式類合功能

最后讓學(xué)生重新歸納總結(jié)出規(guī)范準(zhǔn)確的橢圓的定義:平面內(nèi)動點P到兩定點F1與F2的距離之和為一定值2a,且(2a>|F1F2|=2c)時,動點P的軌跡是橢圓.

4.3.4 歸納總結(jié)、精準(zhǔn)反饋、變易融合、深度理解概念

為了更進(jìn)一步的完整理解概念,對應(yīng)在空間中2a>2c變?yōu)?a=2c或2a<2c有什么結(jié)論?引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行研究得到以下變易圖式.通過老師的引導(dǎo),同學(xué)們的相互溝通、交流和補充,完成對空間中動點到兩定點距離之和為定值的圖形的歸納總結(jié),分別得到橢球、線段和無圖形三類問題.得到表4.

表4 變易圖式融合功能

為促進(jìn)高中數(shù)學(xué)陳述性知識的鞏固,我們通常選擇思維導(dǎo)圖、定期推送知識重組,列表比較;精致性講述和舉例等教學(xué)策略,從而得到圖4.

圖4

4.4 用坐標(biāo)法(建、設(shè)、限、代、化、驗證),求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程

遵循解析幾何研究幾何圖形的邏輯,研究了橢圓的定義及橢圓的畫法,如何求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,引導(dǎo)學(xué)生回憶前一章直線與圓的學(xué)習(xí),用坐標(biāo)法的6個步驟(建、設(shè)、限、代、化、驗證)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類比探究教學(xué).我們能否建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系求出橢圓的方程呢?

為調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,課中老師引導(dǎo)學(xué)生類比求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程建系方法,通過搶答功能讓學(xué)生投屏來展示自己的建系方法,教師及時的反饋,并收集歸納學(xué)生如下圖的3類想法,引導(dǎo)學(xué)生相互交流,得到表5.

表5 三種常見的建系方法

從學(xué)生選擇方法進(jìn)行統(tǒng)計數(shù)據(jù)(如右圖5)可以看出63%的學(xué)生選擇以兩定點所在直線為x軸,以兩定點的中點為坐標(biāo)原點建系,但還是47%學(xué)生沒有進(jìn)一步的分析和思考,直接以兩定點所在直線為x軸,在兩定點中選取一個點作為坐標(biāo)原點建系.教師根據(jù)每一種情況進(jìn)行點評,在點評時要肯定學(xué)生的每一種方法都是可行,各有優(yōu)點和不足,并引導(dǎo)學(xué)生類比圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,根據(jù)橢圓圖形的對稱性及化簡過程的簡潔化和后期的方程的標(biāo)準(zhǔn)化,以兩定點的中點為坐標(biāo)原點的建系方法更優(yōu).

圖5

在建坐標(biāo)系后,設(shè)動點P(x,y),通過|MF1|+|MF2|=2a,轉(zhuǎn)化為代數(shù)式后,要求學(xué)生進(jìn)行獨立思考建立等式并進(jìn)行化簡,這時可以通過小組比賽的形式發(fā)布課堂測試,讓學(xué)生們用自己的方法來書寫化簡過程,化簡后再拍照上傳,同學(xué)互相討論學(xué)習(xí).

上傳的方法有直接平方法和移項平方兩種情況,統(tǒng)計是否完成化簡結(jié)果是(a2?c2)x2+a2y2=a2(a2?c2)情況統(tǒng)計結(jié)果如圖6.

圖6

從學(xué)生相互的評價中大家都能感受到對稱式通過移項平方,可以相互抵消,化簡時計算量更小一些,沒有出現(xiàn)4次的情況,但直接平方的同學(xué)因為出現(xiàn)了4次式,計算量太大,學(xué)生心中有畏難情緒,所以難以化簡出最后的結(jié)果.

為了突破本節(jié)課的難點,結(jié)合圖形7,根據(jù)勾股定理,找出a與的幾何意義.2a>2c,即a>c,a2?c2>0兩邊同除以a2(a2?c2)得到=1由圖可知|OF2|=c,|OP|=|PF2|=a,勾股定理變形有b2=a2?c2,設(shè)b2=a2?c2(b>0).兩邊同除以a2b2得:=1(a>b>0)再用換元的思想得到標(biāo)準(zhǔn)方程,從而感受數(shù)學(xué)的簡潔、對稱、和諧之美.

圖7

4.5 課堂精練,突出知識的綜合應(yīng)用

利用圖式,把橢圓的文字、幾何、代數(shù)表達(dá)書寫出來,有目的地讓學(xué)生深入探究并進(jìn)行系統(tǒng)和全面的理解,全面掌握相關(guān)知識.明確他們之間相互聯(lián)系,構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò).同時為強化學(xué)生對標(biāo)準(zhǔn)方程的理解,可以適當(dāng)加強用定義法和待定系數(shù)法求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.歸納總結(jié)如下表6.

表6 三種語言表達(dá)相關(guān)定義

5 課后精準(zhǔn)干預(yù),推送個性化作業(yè)、學(xué)生翻轉(zhuǎn)課堂自主學(xué)

根據(jù)課堂測試及課堂表現(xiàn)情況,對學(xué)生的復(fù)習(xí)進(jìn)行精準(zhǔn)的干預(yù),推送針對性的課后測試,學(xué)生根據(jù)測試情況,推送錯題解答和針對性的教學(xué)內(nèi)容,學(xué)生進(jìn)行反思和利用翻轉(zhuǎn)課堂進(jìn)行自主學(xué)習(xí).并針對測試內(nèi)容精準(zhǔn)推送個性化的輔助作業(yè)和拓展性作業(yè),根據(jù)學(xué)生的實際情況分層布置作業(yè).從當(dāng)天推送小測題得分率如表7.

6 “深度教學(xué)”視域下的高中數(shù)學(xué)精準(zhǔn)教學(xué)模式教學(xué)成效分析

通過表7的數(shù)據(jù)第1題與第2題的得分率達(dá)到了96.7%,說明學(xué)生對橢圓定義及方程掌握較理想,但第3題得分率只有46.7%,本題較為綜合,考查了新定義,過橢圓焦點三角形的幾何性質(zhì),這類題型學(xué)生十分的不適應(yīng),解題還是停留在剛學(xué)習(xí)的內(nèi)容或教師完全教過的內(nèi)容,對類比及拓展性知識的學(xué)習(xí)還有待加強.另外焦點三角形的性質(zhì)為第二節(jié)課幾何性質(zhì)講解的內(nèi)容,在這最主要是為下節(jié)課做準(zhǔn)備同時起到承上啟下的作用.

表7 高二(1)班課后測得分率

7 教學(xué)啟示

7.1 教學(xué)過程避免形式主義,應(yīng)重數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)

現(xiàn)在很多公開課的教學(xué)中,教師為了迎合學(xué)校的評價指標(biāo),大家都是按評價的條條框框來組建課堂,教師平時卻從來不用,整個過程觀賞性、作秀的成分太濃,花費大量時間在形式上.PPT設(shè)計的動畫十分精美,視頻錄像很熱鬧,但與教學(xué)內(nèi)容關(guān)系不大;答案展示十分完備,但黑板上沒有任何的板書過程;課堂熱鬧在游戲之中,而不在數(shù)學(xué)思維的形成過程中,教學(xué)中沒有體現(xiàn)出數(shù)學(xué)教學(xué)的核心思想.

7.2 教學(xué)內(nèi)容避免淺層展示,應(yīng)多維度體驗感悟

教師在處理教材和內(nèi)容時,對整體的教學(xué)框架不清晰,教學(xué)前后沒有聯(lián)系,只是把概念、公式、定理、性質(zhì)讀給學(xué)生聽,沒有充分的實例引導(dǎo)學(xué)生從概念的抽象生成及概念的內(nèi)涵和外延進(jìn)行剖析,學(xué)生只是進(jìn)行了淺層次的記憶,沒有理解其本質(zhì),不會分析解決,更不會靈活應(yīng)用.

7.3 大數(shù)據(jù)應(yīng)用避免喧賓奪主,應(yīng)為精準(zhǔn)教學(xué)服務(wù)

在使用信息技術(shù)和大數(shù)據(jù)時教師一定注意一個原則,信息技術(shù)只是教學(xué)工具,并不是萬能的.大數(shù)據(jù)為我們提供了豐富的信息,我們要利用數(shù)據(jù)精準(zhǔn)了解學(xué)情,并根據(jù)學(xué)情進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整教學(xué)過程,讓學(xué)生與教師的思維進(jìn)行充分的交流與碰撞,讓教學(xué)一直保持在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)進(jìn)行,實施真正的精準(zhǔn)教學(xué).

8 結(jié)語

“深度教學(xué)”視域下的高中數(shù)學(xué)精準(zhǔn)教學(xué)模式根據(jù)大數(shù)據(jù)伴隨式的實時掌握學(xué)情,對教學(xué)理論、教學(xué)目標(biāo)、操作程序、實現(xiàn)條件和評價方式進(jìn)行充分融合后,把課前、課中、課后的教學(xué)進(jìn)行了精細(xì)的分解,并對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行深度的體驗式學(xué)習(xí).解決了教師精準(zhǔn)、科學(xué)地教,學(xué)生精準(zhǔn)、高效地學(xué),提升課堂教學(xué)效率,也提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).