分離函數(shù)法在不等式證明題中的應(yīng)用*

廣東省揭陽第一中學(xué)(522031) 楊潔珊

在高中教學(xué)中,教師如果能引導(dǎo)學(xué)生主動深入探究,積極發(fā)現(xiàn)并系統(tǒng)總結(jié)有效的解題方法,那么學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中便能逐步培養(yǎng)思維的深刻性,增加思維的深度,這對提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)也有一定的幫助.本文將通過三類典型題,總結(jié)如何分離函數(shù),使得不等式證明題的解題過程化繁為簡,從而展示分離函數(shù)法這個解題技巧的應(yīng)用.

1 ex與有理函數(shù)的組合函數(shù)

例1(2018年全國II理,21(1))已知函數(shù)f(x)=ex?ax2.若a=1,證明:當(dāng)x≥0時,f(x)≥1.

證法一當(dāng)a=1時,f(x)=ex?x2,則f′(x)=ex?2x,f′′(x)=ex?2.令f′′(x)=0,得x=ln2.當(dāng)x∈[0,ln2)時,f′′(x)<0,f′(x)遞減;當(dāng)x∈(ln2,+∞)時,f′′(x)>0,f′(x)遞增.∴f′(x)min=f′(ln2)=eln2?2ln2=2?2ln2>0,故f′(x)>0.∴f(x)在[0,+∞)上遞增.∴f(x)min=f(0)=1,故當(dāng)x≥0時,f(x)≥1.

例1中ex?x2≥1是形如f(x)·ex+g(x)≥0的不等式,其中f(x),g(x)均為有理函數(shù).由于本例中g(shù)(x)的次數(shù)為2,因此需進(jìn)行二次求導(dǎo)才能最終達(dá)到證明目的.然而,有時一些函數(shù)二次求導(dǎo)之后,導(dǎo)函數(shù)形式十分復(fù)雜,甚至難以判斷其正負(fù),從而無法簡單完成證明.自然地,我們就會思考這樣一個問題,能否找到一個避免二次求導(dǎo)的方法?因此,我們提出以下這個做法:

證法二當(dāng)a=1時,f(x)=ex?x2.當(dāng)x≥0時,f(x)=ex?x2≥1等價于(1+x2)e?x≤1.令g(x)=(1+x2)e?x,則g′(x)=2xe?x?(1+x2)e?x=?(x?1)2e?x≤0,故g(x)在[0,+∞)上遞減.∴g(x)max=g(0)=1,即當(dāng)x≥0時,(1+x2)e?x≤1,即f(x)≥1.

由證法二可知,對于形如f(x)·eax+b+g(x)>0的不等式(其中a,b為常數(shù),a0,f(x),g(x))為有理函數(shù))的證明,通過對不等式進(jìn)行合理的拆分、變形,將eax+b與有理函數(shù)結(jié)合,構(gòu)造函數(shù)這樣可將證明過程化繁為簡.此方法還可應(yīng)用于如下問題:

練習(xí)1(2016年全國II理,21(1))證明:當(dāng)x>0時,(x?2)ex+x+2>0.

解析當(dāng)x>0時,(x?2)ex+x+2>0等價于令通過求導(dǎo)判斷其單調(diào)性得g(x)>g(0)=?1即可.

練習(xí)2已知函數(shù)f(x)=(1?x)ex?1.

(1)求函數(shù)f(x)的最大值;

解析(1)通過對f(x)求導(dǎo)判斷單調(diào)性后可得f(x)的最大值為f(0)=0.

(2)由(1)知,當(dāng)x>0時,f(x)<0,g(x)<0<1.當(dāng)?1F(0)=1即可.

另一方面需要注意的是,若不等式f(x)·eax+b+g(x)>0可分離成形如eax+b>kx+m()的不等式,那么我們可直接構(gòu)造函數(shù)F(x)=eax+b?kx?m證明即可,如2010年全國卷II理科20(1):

例2設(shè)函數(shù)f(x)=1?e?x,證明:當(dāng)x>?1時,

證明當(dāng)x>?1時,即1?e?x≥等價于ex≥x+1.令g(x)=ex?x?1,則g′(x)=ex?1.當(dāng)?10時,g′(x)>0,g(x)遞增.∴g(x)min=g(0)=0,故g(x)≥0,即ex≥x+1,即

2 lnx與有理函數(shù)的組合函數(shù)

例3(2018年全國III理,21(1))已知函數(shù)f(x)=(2+x)ln(1+x)?2x.證明:當(dāng)?10時,f(x)>0.證法一∵f′(x)=ln(1+x)+?2=ln(1+x)+當(dāng)x∈(?1,0)時,f′′(x)<0,f′(x)遞減;當(dāng)x∈(0,+∞)時,f′′(x)>0,f′(x)遞增.∴f′(x)min=f′(0)=0,故f′(x)≥0.因此,f(x)在(?1,+∞)上遞增,又f(0)=0,∴當(dāng)?10時,f(x)>0.

例3中(2+x)ln(1+x)?2x>0是形如f(x)·ln(kx+b)+g(x)>0的不等式,其中k,b為常數(shù),k=0,f(x),g(x)均為有理函數(shù).由于本例中f(x)不為常數(shù)(實際上是關(guān)于x的一次函數(shù)),故需進(jìn)行二次求導(dǎo)才可最終達(dá)到證明目的.同例1,我們依然希望找到一個避免二次求導(dǎo)的解答方法.因此,我們提出以下證法:

證法二令g(x)=ln(1+x)?則g′(x)=≥ 0,故g(x)在(?1,+∞)上遞增.又g(0)=0,∴當(dāng)?10時,g(x)>0,f(x)>0.

由證法二可知,對于形如f(x)·ln(kx+b)+g(x)>0的不等式(其中k,b為常數(shù),k0,f(x),g(x)均為有理函數(shù))的證明,可將ln(kx+b)與有理函數(shù)分離,構(gòu)造函數(shù)F(x)=ln(kx+b)+去求導(dǎo)證明.此解題方法還可應(yīng)用于如下問題:

練習(xí)3(2016年全國III理,21(2))證明:當(dāng)x∈(1,+∞)時,

練習(xí)4(2011年新課標(biāo)全國卷文,21)已知函數(shù)曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為x+2y?3=0.

(1)求a,b的值;(2)當(dāng)x> 0且x= 1時,求證:

解析(1)可求得a=1,b=1.

3 ex,lnx與有理函數(shù)的組合函數(shù)

為解決此類問題,我們先來熟悉以下四類常見的函數(shù)模型:

(1)函數(shù)f(x)=h(x)·lnx,其中h(x)=ax2+bx+c,或h(x)=a,b,c為常數(shù)且a,b不能同時為0.特別地,要熟悉y=xlnx,y=x2lnx,y=四個特殊函數(shù)的圖象:

對于以上四類函數(shù),我們需熟悉幾個特殊函數(shù)的圖象特征,特別是其凹凸性.在熟悉的基礎(chǔ)上,解題時我們可利用分離函數(shù)法將不等式兩邊通過移項、變形等方法分離出常見的函數(shù)模型來處理.

掌握一定的解題方法與技巧可以提高學(xué)生的解題能力.當(dāng)然,我們也要學(xué)會靈活變通,比如,并不是所有以上三類問題都需要利用所介紹的分離函數(shù)法才可簡便解決.近幾年,高考命題越來越注重考察學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),它突出關(guān)鍵能力的考查,強調(diào)邏輯推理等理性思維能力,重視數(shù)學(xué)應(yīng)用,關(guān)注創(chuàng)新意識,滲透數(shù)學(xué)文化.因此,作為教師,教學(xué)時我們要引導(dǎo)學(xué)生有意識地從多角度分析問題,鍛煉思維的發(fā)散性、廣闊性,進(jìn)而提高應(yīng)用的靈活性,也無形中提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).