課程創(chuàng)生案例:一個不等式的提出與多法證明*

云南省曲靖市第一中學(xué)(655000) 張國坤

云南省宣威第八中學(xué)(655499) 趙永賢

教師即課程,教師要用教材教而不是教教材,教師要理解課程、把握課程、運作課程、創(chuàng)生課程.在“三新”(新課標(biāo)、新教材、新高考)背景下,新課標(biāo)理念要求引導(dǎo)學(xué)生夯實四基(基本知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗),教師要組織引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究性、研究性學(xué)習(xí),組織實施發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題(四能)和運用問題結(jié)論的過程性教學(xué),這是運作課程、創(chuàng)生課程的基本渠道之一.作為數(shù)學(xué)課程創(chuàng)生的一個案例,以下介紹一個課堂教學(xué)實踐案例,對培養(yǎng)學(xué)生的理性思維、創(chuàng)新思維能夠發(fā)揮“微分”與“積分”的作用,對導(dǎo)數(shù)的復(fù)習(xí)和應(yīng)用具有良好效果.為節(jié)省篇幅,省去關(guān)于教學(xué)活動過程的陳述,直接呈現(xiàn)知識和方法.

1 引子:從問題情境中來

已知直線y=ax與曲線y=lnx相切,求a的值.

解答設(shè)直線y=ax與曲線y=lnx相切的切點橫坐標(biāo)為x0,則切線斜率lnx0=ax0(切點是公共點),聯(lián)立解得x0=e,則a

圖1

圖2

探索如圖1,在同一坐標(biāo)系中作出直線y=ax與曲線y=lnx,相切時切點為T(e,1),當(dāng)時直線y=ax與曲線y=lnx有兩個交點,記兩個交點坐標(biāo)為x1,x2,則1e2,x1+x2>2e.

2.探索發(fā)現(xiàn):提出問題與解決問題(課程創(chuàng)生)

2.1 發(fā)現(xiàn)與證明

發(fā)現(xiàn)(定理):設(shè)x1,x2是方程ax=lnx的兩個實根,則x1x2>e2,x1+x2>2e.

探索發(fā)現(xiàn)如下五種證法:

證法一(利用定積分的幾何意義):已知x1,x2是方程ax=lnx的兩個實根,則ax1=lnx1,ax2=lnx2.

在圖1中,設(shè)x1

即f(x1)>f(2e?x2).

2.2 回到問題情境中去(逆向編題)

方程ax=lnx,即ax?lnx=0,考慮積分,構(gòu)造函數(shù)f(x)使f′(x)=ax?lnx,若構(gòu)造函數(shù)f(x)=則可以編制如下:

問題已知函數(shù)f(x)=mx2+x?xlnx+n.(1)討論函數(shù)f(x)的極值點個數(shù);(2)設(shè)x1,x2是f(x)的兩個極值點,求證:x1x2>e2.

答案(1)m≤0時f(x)有且只有一個極值點;時f(x)有兩個極值點;時f(x)沒有極值點.(2)證明略.

3.結(jié)論:教師要研究并創(chuàng)生課程

教師是人類文明的繼承者、傳播者,更是人類文明的實踐者、發(fā)明者之一.教師即課程,教師不僅僅是課程的傳播者,更是課程的研究者和創(chuàng)生者,只因為有了教師對課程的實踐運作和研究創(chuàng)生,才使得課程能夠有效地得到繼承和傳播,更使得教學(xué)課程得到不斷地豐富和完善.我們數(shù)學(xué)教師只有注重課程實踐、主動運作課程、研究性地使用教材、創(chuàng)造性地研究和創(chuàng)生課程,才能使數(shù)學(xué)課程的實更加生動、有趣、豐富和完善,數(shù)學(xué)教師可以成為數(shù)學(xué)課程的創(chuàng)造發(fā)明者.我們數(shù)學(xué)教師只有有效地研究和創(chuàng)生課程,才能有效地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),才能有效地培養(yǎng)學(xué)生的理性精神和創(chuàng)新能力.