點(diǎn)代法求解圓錐曲線中一類定點(diǎn)問(wèn)題

廣東省佛山市第一中學(xué)(528000) 劉振興

圓錐曲線中動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題,對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求較高,是區(qū)分學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科思維水平的有力載體.其中有一類定點(diǎn)問(wèn)題出現(xiàn)頻率很高,就是由圓錐曲線上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)確定的直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題,本文對(duì)這類定點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行探究,給出了一個(gè)新的解答視角.

1 引理和性質(zhì)

引理1已知兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則直線AB的方程為(y2?y1)x+(x1?x2)y+x2y1?x1y2=0.

推論1若A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn)都在拋物線y2=2px(p>0)上,則直線AB的方程為2px?(y1+y2)y+y1y2=0.

證明由=2px1,=2px2,結(jié)合引理1得2px?(y1+y2)y+y1y2=0.

2 方法應(yīng)用

2.1 點(diǎn)代法在雙曲線中的應(yīng)用

例1(2022年佛山市高三教學(xué)質(zhì)檢卷第21題)已知雙曲線C的漸近線方程為且過(guò)點(diǎn)

(1)求C的方程;

(2)設(shè)Q(1,0),直線x=t(t∈R)不經(jīng)過(guò)P點(diǎn)且與C相交于A,B兩點(diǎn),若直線BQ與C交于另一點(diǎn)D,求證:直線AD過(guò)定點(diǎn).

解(1)=1(過(guò)程略).

(2)設(shè)A(x1,y1),D(x2,y2),則B(x1,?y1).由引理1知,直線AD的方程

根據(jù)性質(zhì)2得

聯(lián)立 ①②得x1y2?x2y1=3(y2?y1).代入(*)式得(y2?y1)(x?3)+(x1?x2)y=0,所以直線AD過(guò)定點(diǎn)(3,0).

評(píng)析利用B,Q,D三點(diǎn)共線, ①式出現(xiàn)x1y2和x2y1項(xiàng),結(jié)合引理1和性質(zhì)2,解答過(guò)程非常簡(jiǎn)潔,運(yùn)算量降低很多.

2.2 點(diǎn)代法在橢圓中的應(yīng)用

例2(2022年深圳市高三第二次調(diào)研考試第21題)已知橢圓=1(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)且焦距|F1F2|=線段AB,CD分別是它的長(zhǎng)軸和短軸.

(Ⅰ)求橢圓E的方程;

(Ⅱ)若N(s,t)是平面上的動(dòng)點(diǎn),從下面兩個(gè)條件中任選一個(gè),證明:直線PQ經(jīng)過(guò)定點(diǎn).

(2)t=2,s∈R,直線NC,ND與橢圓E的另一交點(diǎn)分別為P,Q.

解(Ⅰ)=1(過(guò)程略).

(Ⅱ)若選(1),由題意A(?2,0),B(2,0),設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2).由引理1知,直線PQ的方程

又由性質(zhì)1得

若選(2),求解方法類似,過(guò)程略.

評(píng)析利用A,N,P和B,N,Q都是三點(diǎn)共線,消去t后 ①式出現(xiàn)3x2y1和x1y2項(xiàng),結(jié)合性質(zhì)1求解,解答高效.

2.3 點(diǎn)代法在拋物線中的應(yīng)用

例3(2022年湘潭市三?？荚嚨?1題)已知拋物線E:y2=2px(0

(1)求拋物線E的方程;

(2)設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)在拋物線E上,且4,過(guò)P作圓C:(x?4)2+y2=4的兩條切線,分別與拋物線E交于點(diǎn)M,N(M,N兩點(diǎn)均異于P).證明:直線MN經(jīng)過(guò)R(6,?y0).

證明(1)y2=2x(過(guò)程略).

(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),由推論1得直線PM方程為2x?(y0+y1)y+y0y1=0.直線MN的方程為

評(píng)析利用推論1,需求出y1+y2和y1y2,故只要找出y1和y2對(duì)應(yīng)的一元二次方程就可以完成求解.

3 高考鏈接

例4(2020年新高考山東卷第22題)已知橢圓=1(a>b>0)的離心率為且過(guò)點(diǎn)A(2,1).

(1)求C的方程;

(2)點(diǎn)M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D為垂足．證明:存在定點(diǎn)Q,使得|DQ|為定值.

解(1)=1(過(guò)程略).

(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2).由引理1知,直線MN的方程為

1○?②化簡(jiǎn)得3(x2y1?x1y2)=2(y1?y2)+(x1?x2).代入(*)式得所以直線MN過(guò)定點(diǎn)

當(dāng)直線AM和AN的斜率為零或不存在時(shí),不妨設(shè)直線AM的斜率為零,直線AN的斜率不存在.由A(2,1),得M(?2,1),N(2,?1),所以直線MN方程為x+2y=0,此時(shí)直線MN也過(guò)點(diǎn)

例5(2020年高考全國(guó)Ⅰ卷理科第20題)已知A,B分別為橢圓1(a>1)的左、右頂點(diǎn),G為E的上頂點(diǎn),=8.P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn),PA與E的另一交點(diǎn)為C,PB與E的另一交點(diǎn)為D.

(1)求E的方程;

(2)證明:直線CD過(guò)定點(diǎn).

解(1)E:=1(過(guò)程略).

(2)由題意A(?3,0),B(3,0),設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),P(6,t),由引理1知,直線CD的方程為

又由性質(zhì)1得

4、總結(jié)

從以上例題可以看出,用點(diǎn)代法求解圓錐曲線中動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題,過(guò)程簡(jiǎn)潔,解答高效.但要注意只能是圓錐曲線上兩動(dòng)點(diǎn)(x1,y1)和(x2,y2)確定的直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題,才能用點(diǎn)代法求解.解題時(shí),經(jīng)常利用到三點(diǎn)共線或斜率關(guān)系等條件,通過(guò)代數(shù)變形,轉(zhuǎn)化出x2y1和x1y2項(xiàng),然后結(jié)合引理1及其性質(zhì)求解.