基于現(xiàn)代數(shù)學(xué)視角看高中數(shù)學(xué)
——以二元一次函數(shù)求最值為例

貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(550025) 高 健 曾九龍 謝 徽

1 引言

數(shù)學(xué),作為一門解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題和培養(yǎng)人類邏輯思維的科學(xué),從古至今不斷發(fā)展,已成為人類與世界溝通交流的重要工具.在教育改革的新時(shí)代背景下,我國(guó)正從傳統(tǒng)的應(yīng)試教育逐漸向素質(zhì)教育的新軌道轉(zhuǎn)變,數(shù)學(xué)教育發(fā)展亦如此.教育方法的創(chuàng)新、教育理念的更新、問(wèn)題解決方法的多樣無(wú)疑是新時(shí)代數(shù)學(xué)教育發(fā)展為教師提出的新要求和新標(biāo)準(zhǔn),如何將現(xiàn)代數(shù)學(xué)滲透到高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,已成為當(dāng)今數(shù)學(xué)教育界關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題[1].本篇論文主要從兩者的區(qū)別和聯(lián)系、滲透現(xiàn)代數(shù)學(xué)的必要性、函數(shù)習(xí)題案例及思考等方面進(jìn)行闡述,旨在幫助教師更好地進(jìn)行高中數(shù)學(xué)教學(xué),促進(jìn)學(xué)生更好地進(jìn)行數(shù)學(xué)思考,培養(yǎng)學(xué)生用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的眼光看待問(wèn)題、解決問(wèn)題.

2 關(guān)于現(xiàn)代數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)

現(xiàn)代數(shù)學(xué)興起于20世紀(jì)30年代,其快速的發(fā)展速度為數(shù)學(xué)教育界帶來(lái)了新的生機(jī)和活力,人類所熟知的集合論、非歐幾何、泛函分析、拓?fù)鋵W(xué)等知識(shí)都?xì)w屬于現(xiàn)代數(shù)學(xué)的范疇[2].現(xiàn)代數(shù)學(xué)注重研究“數(shù)”和“量”的關(guān)系,以嶄新的數(shù)學(xué)思想和觀點(diǎn)誕生于世,成為人類世界極為珍貴的數(shù)學(xué)財(cái)富;而高中數(shù)學(xué)以其知識(shí)的抽象性、邏輯性和應(yīng)用的廣泛性存在于人類生活的方方面面,不僅是中學(xué)階段學(xué)生需要探究和學(xué)習(xí)的科學(xué)知識(shí),而且也是學(xué)生學(xué)習(xí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)和前提.

3 現(xiàn)代數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系和區(qū)別

3.1 兩者之間的聯(lián)系

首先,兩者在知識(shí)上的聯(lián)系.高中數(shù)學(xué)傾向于對(duì)常量和特例進(jìn)行探究,而現(xiàn)代數(shù)學(xué)側(cè)重于對(duì)變量的研究,因此可以形象地概括為高中數(shù)學(xué)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)和特例.例如:在高中數(shù)學(xué)中,學(xué)習(xí)二元一次函數(shù)求最值時(shí),傾向于采用“化歸”的方法,建立兩個(gè)變量之間的恒等關(guān)系,進(jìn)而將二元一次函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)進(jìn)行求解;但在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中則注重利用拉格朗日乘數(shù)法進(jìn)行求解.因此,二者正是知識(shí)上的聯(lián)系,促進(jìn)了兩者之間的深度融合.

其次,兩者在思想上的一致性.數(shù)學(xué)教育不單單是傳授數(shù)學(xué)知識(shí),更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和邏輯推理能力.高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中,涉及有方程與函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、特殊與一般思想等等,而現(xiàn)代數(shù)學(xué)是對(duì)高中數(shù)學(xué)中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行進(jìn)一步地深化.例如:高中數(shù)學(xué)知識(shí)中定積分的計(jì)算,解題思路一般是先求出原函數(shù),再利用公式法進(jìn)行求解;而現(xiàn)代數(shù)學(xué)傾向于向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合思想,引導(dǎo)學(xué)生觀察所圍區(qū)域的面積進(jìn)行求解,更加直觀簡(jiǎn)便、易操作.雖然二者在知識(shí)深度上存在很大的差異,但是所滲透的數(shù)學(xué)思想?yún)s是同宗同源.

最后,兩者的層層遞進(jìn)關(guān)系.高中數(shù)學(xué)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ),而現(xiàn)代數(shù)學(xué)又是高中數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的進(jìn)一步深化和鞏固,現(xiàn)代數(shù)學(xué)是基于更高的視角思維解決高中數(shù)學(xué)問(wèn)題.例如,對(duì)于二元一次方程組或多元方程組求解問(wèn)題,高中數(shù)學(xué)傾向于從代數(shù)角度進(jìn)行探究和解決,而現(xiàn)代數(shù)學(xué)側(cè)重于利用線性方程組行列式解的判定方法進(jìn)行求解.因此,二者之間是互為基礎(chǔ)和前提的,是低層次到高層次的飛躍.

3.2 兩者之間的區(qū)別

圖1

首先,數(shù)學(xué)思想的區(qū)別.高中數(shù)學(xué)知識(shí)中蘊(yùn)含有數(shù)形結(jié)合思想、方程與函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等;而現(xiàn)代數(shù)學(xué)側(cè)重從同構(gòu)觀點(diǎn)、公理化思想、集合論思想等方面進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)的滲透[3].

其次,探究對(duì)象的不同.高中數(shù)學(xué)主要探究二維平面和三維空間的圖形,而現(xiàn)代數(shù)學(xué)則側(cè)重于從任意集合和公理化視角進(jìn)行知識(shí)的探究,兩者探究對(duì)象的不同,為數(shù)學(xué)問(wèn)題解決提供了多維度的解決方法.

最后,數(shù)學(xué)語(yǔ)言使用的區(qū)別.高中數(shù)學(xué)中,知識(shí)的學(xué)習(xí)更多通過(guò)數(shù)學(xué)符號(hào)和圖形符號(hào)進(jìn)行呈現(xiàn),而現(xiàn)代數(shù)學(xué)側(cè)重于采用集合論符號(hào)或者數(shù)理邏輯語(yǔ)言進(jìn)行表示,使數(shù)學(xué)更加科學(xué)化、形式化、規(guī)范化.

4 現(xiàn)代數(shù)學(xué)視角下研究高中數(shù)學(xué)的必要性

4.1 國(guó)家教育改革的推動(dòng)

國(guó)家的繁榮與富強(qiáng)離不開(kāi)教育的發(fā)展與進(jìn)步,近幾十年來(lái),國(guó)家極為重視對(duì)教育的深化和改革,普及素質(zhì)教育、改變傳統(tǒng)“填鴨式”的應(yīng)試教育.中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)集中于初、高中階段,現(xiàn)代數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)更多匯聚于大學(xué)、研究生、甚至博士生階段.因此,國(guó)家提倡學(xué)生能夠不斷擴(kuò)大自己的知識(shí)儲(chǔ)存容量,經(jīng)歷中考、高考進(jìn)入大學(xué)階段,大學(xué)畢業(yè)之后再繼續(xù)讀研、讀博,甚至讀博士后,通過(guò)現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)和深化,提高自身數(shù)學(xué)思維能力和問(wèn)題解決能力.特別是現(xiàn)階段提倡的“四基”,數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的基本知識(shí)和技能已不能適應(yīng)現(xiàn)階段學(xué)生的發(fā)展需求,需要更多的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)作支撐.這些思想和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)在高中數(shù)學(xué)中已涉及一部分,還需要現(xiàn)代數(shù)學(xué)進(jìn)行進(jìn)一步地?cái)U(kuò)展和滲透.

4.2 學(xué)生能力發(fā)展的需要

無(wú)論是理論學(xué)習(xí)還是實(shí)踐操作,教育教學(xué)中參與的主角是學(xué)生,一切活動(dòng)和經(jīng)驗(yàn)的學(xué)習(xí)都應(yīng)從學(xué)生角度出發(fā).由于考學(xué)、就業(yè)等相關(guān)因素的制約,高中數(shù)學(xué)除了滲透相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法以外,更多地還是以知識(shí)的鞏固和應(yīng)用為導(dǎo)向,以考學(xué)為目標(biāo)進(jìn)行學(xué)習(xí),研究的內(nèi)容僅是學(xué)生處于某一階段所要學(xué)習(xí)的知識(shí)體系,只限于淺層的角度思考問(wèn)題和解決問(wèn)題[4].因此,在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中引入現(xiàn)代數(shù)學(xué)已成為當(dāng)今數(shù)學(xué)教育的發(fā)展趨勢(shì)和必要手段,以現(xiàn)代數(shù)學(xué)的視角縱觀高中數(shù)學(xué),具備一定的科學(xué)性、必要性和合理性.

4.3 教師水平提升的需要

教育的改革和深化無(wú)疑對(duì)教師隊(duì)伍提出了新的要求和挑戰(zhàn),高中數(shù)學(xué)與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的有機(jī)結(jié)合,激勵(lì)著現(xiàn)代教師需要不斷提高自己,運(yùn)用“現(xiàn)代數(shù)學(xué)的眼光”進(jìn)行教學(xué).立足于現(xiàn)代數(shù)學(xué)視角提高教師自身專業(yè)水平和數(shù)學(xué)素養(yǎng),既有利于教師創(chuàng)造性地運(yùn)用數(shù)學(xué),又有利于教師科學(xué)性地講授數(shù)學(xué)[5].比如,當(dāng)今數(shù)學(xué)教師在進(jìn)行課堂教學(xué)時(shí),習(xí)慣于借助多媒體,利用數(shù)學(xué)操作軟件進(jìn)行數(shù)學(xué)圖象的展現(xiàn)和代數(shù)的運(yùn)算,這種教學(xué)操作模式一方面有助于學(xué)生直觀地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),另一方面也便于教師將現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)融入日常數(shù)學(xué)教學(xué)中,減少無(wú)效時(shí)間、提高課堂效率.

4.4 數(shù)學(xué)教育價(jià)值的實(shí)現(xiàn)

無(wú)論是高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí),還是大學(xué)數(shù)學(xué)的探究,很多學(xué)生都象征性地認(rèn)為“數(shù)學(xué)是枯燥的”、“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)沒(méi)用”,無(wú)形中對(duì)數(shù)學(xué)課產(chǎn)生一種厭惡感和失落感,導(dǎo)致數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)一落千丈.這種廣泛存在的現(xiàn)象,違背了數(shù)學(xué)教育的初衷和宗旨,已經(jīng)引起了當(dāng)今許多學(xué)者的重視和研究.因此,為確保數(shù)學(xué)教育能夠充分發(fā)揮它的育人價(jià)值,成為“大眾所愛(ài)”的學(xué)科,將現(xiàn)代數(shù)學(xué)滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)中,既是學(xué)生學(xué)習(xí)的應(yīng)有之義,又是教師教學(xué)的必然要求.

5 立足于現(xiàn)代數(shù)學(xué)視角探究高中數(shù)學(xué)的函數(shù)問(wèn)題

5.1 以二元一次函數(shù)求最值為例

在數(shù)學(xué)知識(shí)體系中,函數(shù)既是貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)的主線,又是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中最為基礎(chǔ)的概念,函數(shù)中蘊(yùn)含非常顯著的數(shù)學(xué)思想——數(shù)形結(jié)合思想,在二維直角坐標(biāo)系下利用函數(shù)特點(diǎn)和相關(guān)的函數(shù)表達(dá)式畫出圖象,利用圖象探究實(shí)數(shù)和變量之間的關(guān)系,進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),增強(qiáng)學(xué)生利用函數(shù)模型解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的能力.如果能夠?qū)F(xiàn)代數(shù)學(xué)有機(jī)地融合到高中函數(shù)教學(xué)中,那么師生對(duì)高中數(shù)學(xué)的理解和應(yīng)用會(huì)更加深刻、更為全面[6].特別是高中知識(shí)的學(xué)習(xí),會(huì)遇到許多難以解決的函數(shù)問(wèn)題,僅憑借中學(xué)數(shù)學(xué)的技巧和方法難以快速解決,但運(yùn)用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想和觀點(diǎn)進(jìn)行解決則非常簡(jiǎn)便實(shí)用.

函數(shù)是一個(gè)非常廣泛的知識(shí)體系,除了概念和表達(dá)式內(nèi)容之外,還涉及到各類具體函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,如:單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值等,經(jīng)常用解析法、列表法、圖象法等方法進(jìn)行分析和探究.下面列舉二元一次函數(shù)最值問(wèn)題,滲透現(xiàn)代數(shù)學(xué)在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用價(jià)值和實(shí)際意義,幫助讀者更好地理解兩者之間的關(guān)系.

例1已知實(shí)數(shù)x>0,y>0滿足x2+y2+xy=1,則x+y的最大值是多少?

對(duì)于大部分高中生來(lái)說(shuō),可能首先想到的就是利用均值不等式進(jìn)行求解.如:

從中學(xué)數(shù)學(xué)角度進(jìn)行觀察,大多數(shù)同學(xué)憑借日常積累和認(rèn)知經(jīng)驗(yàn),可能都會(huì)采用上述方法進(jìn)行解答,但利用現(xiàn)代數(shù)學(xué)維度同樣也可以解決,而且操作非常簡(jiǎn)便,有利于簡(jiǎn)化解題操作、提高解題效率.如:

高中函數(shù)最值問(wèn)題解決方法涉及求導(dǎo)法、線性規(guī)劃求解法、一元二次方程求根公式法等,但這些方法并不適用于所有函數(shù)求最值問(wèn)題.針對(duì)一些實(shí)際應(yīng)用題,可能會(huì)涉及到兩個(gè)變量甚至多個(gè)變量,導(dǎo)致學(xué)生無(wú)從下手,陷入思維混亂的解題探究中,出現(xiàn)事倍功半的效果.然而,將現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思維觀點(diǎn)引入高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,得到的收獲和效果正好相反.就如上述的二元一次函數(shù)求最值問(wèn)題,從中學(xué)數(shù)學(xué)角度可以通過(guò)重要不等式方法進(jìn)行求解,但這種方法過(guò)于常規(guī),缺乏一定的創(chuàng)新性和新穎性.基于現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀點(diǎn),利用拉格朗日乘數(shù)法進(jìn)行求解,則更為簡(jiǎn)單和便捷.對(duì)于數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用題,當(dāng)涉及兩個(gè)變量或多個(gè)變量時(shí)也可以運(yùn)用拉格朗日乘數(shù)法進(jìn)行求解.

5.2 案例思考

5.2.1 立足學(xué)生已有認(rèn)知,滲透現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想

現(xiàn)代數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的抽象性與結(jié)構(gòu)性,教師不能將現(xiàn)代數(shù)學(xué)內(nèi)容直接移入中學(xué)數(shù)學(xué)中,而應(yīng)當(dāng)立足于學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)、認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)、思維水平,從學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā),引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的視角和方法探究問(wèn)題、解決問(wèn)題,促進(jìn)學(xué)生領(lǐng)悟現(xiàn)代數(shù)學(xué)的知識(shí)本質(zhì)、思想方法,順利完成數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移,提高學(xué)生的知識(shí)發(fā)展水平和問(wèn)題探究能力.上述所舉二元一次函數(shù)求最值案例,教師應(yīng)當(dāng)首先向?qū)W生傳授拉格朗日乘數(shù)法、多元函數(shù)求偏導(dǎo)等內(nèi)容,確保學(xué)生對(duì)此知識(shí)的理解和掌握,然后再有針對(duì)性地進(jìn)行引導(dǎo),啟發(fā)學(xué)生聚焦于現(xiàn)代數(shù)學(xué)的視角思考函數(shù)問(wèn)題.

5.2.2 提升教師專業(yè)水平,彰顯現(xiàn)代數(shù)學(xué)價(jià)值

現(xiàn)代數(shù)學(xué)代表了當(dāng)代數(shù)學(xué)的發(fā)展方向和特點(diǎn),具有一定的前沿性和滲透性,是一般科學(xué)所不能比擬的[7].因此,基于現(xiàn)代數(shù)學(xué)這種特性,也在一定程度上強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教師除了掌握中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)之外,還應(yīng)當(dāng)具備現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想和素養(yǎng),不斷提升現(xiàn)代數(shù)學(xué)專業(yè)發(fā)展水平,對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識(shí)既要適當(dāng)?shù)赝诰?、延伸與拓展,又要邏輯嚴(yán)謹(jǐn)、條理清晰地傳授給學(xué)生,更好地落實(shí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的教育價(jià)值.上述所舉二元一次函數(shù)求最值案例,如果教師對(duì)拉格朗日乘數(shù)法的本質(zhì)理解不清、方法運(yùn)用不當(dāng),那么教師難以將現(xiàn)代數(shù)學(xué)的價(jià)值落實(shí)到學(xué)生的發(fā)展上,學(xué)生也難以運(yùn)用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的眼光看待問(wèn)題.

5.2.3 聯(lián)系中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué),適當(dāng)融合現(xiàn)代數(shù)學(xué)

20世紀(jì)60年代美國(guó)興起的新數(shù)學(xué)運(yùn)動(dòng),將很多大學(xué)的知識(shí)放到中學(xué)課程中進(jìn)行學(xué)習(xí),由于步子邁地過(guò)大,最終以失敗告終[6].這也給數(shù)學(xué)教師一些啟示:現(xiàn)代數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系與融合,既不能太過(guò),又不能止步不前,除了要順應(yīng)數(shù)學(xué)教育改革的時(shí)代潮流之外,還要注重現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識(shí)與某些中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)融合是否科學(xué)、現(xiàn)代數(shù)學(xué)解題方法是否簡(jiǎn)便等問(wèn)題,確保兩者融合的科學(xué)性、合理性、可操作性.上述所舉二元一次函數(shù)求最值問(wèn)題,顯然利用現(xiàn)代數(shù)學(xué)方法更為簡(jiǎn)便,但并不代表所有習(xí)題中現(xiàn)代數(shù)學(xué)解題方法都比中學(xué)數(shù)學(xué)解題方法簡(jiǎn)便.因此,教師應(yīng)當(dāng)具備甄別功能,在對(duì)習(xí)題進(jìn)行選取時(shí),要注重兩種數(shù)學(xué)體系解法的簡(jiǎn)潔性、操作性和應(yīng)用性,有的放矢地引導(dǎo)學(xué)生選取最佳解題方法,進(jìn)而幫助學(xué)生數(shù)學(xué)地思考問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題.

總之,立足于現(xiàn)代數(shù)學(xué)視角看待高中數(shù)學(xué)體系,以現(xiàn)代數(shù)學(xué)思維學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)知識(shí),不僅是師生共同發(fā)展的需要,而且也是新時(shí)代高中數(shù)學(xué)教育改革與發(fā)展的重要趨勢(shì),需要教師在理論中不斷豐富自己的知識(shí)儲(chǔ)備,在實(shí)踐中不斷進(jìn)行探索研究,以培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)為目標(biāo),真正落實(shí)數(shù)學(xué)教育的價(jià)值和意義,幫助學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想、體驗(yàn)數(shù)學(xué)之美.