小學(xué)計(jì)算教學(xué)算理與算法結(jié)合的策略研究

史非凡

摘 要：數(shù)學(xué)是小學(xué)學(xué)習(xí)的重要科目之一，其中，使學(xué)生掌握計(jì)算技能，形成良好的計(jì)算能力是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重中之重。而運(yùn)算能力的培養(yǎng)不僅僅是使學(xué)生會(huì)算，更應(yīng)該讓學(xué)生理解計(jì)算的算理過程。要知其然，更知其所以然。本文以“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的教學(xué)為例，探究計(jì)算教學(xué)過程中怎樣讓學(xué)生掌握算理算法，進(jìn)一步使學(xué)生真正提高數(shù)學(xué)的運(yùn)算能力。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；算理算法；運(yùn)算能力

【中圖分類號(hào)】G623.5? ? ? ? ? ?【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? ? ? ? ? ? ?【文章編號(hào)】2097-2539（2023）06-0209-04

在計(jì)算教學(xué)中，學(xué)生對(duì)算理的理解會(huì)直接影響到學(xué)生運(yùn)算能力的提升。所以教師在計(jì)算教學(xué)中，不僅使學(xué)生熟練掌握算法，更應(yīng)該讓學(xué)生理解計(jì)算算理，因?yàn)樵诮虒W(xué)計(jì)算中，算理與算法是兩個(gè)不可或缺的關(guān)鍵，算理是對(duì)算法的解釋，是理解算法的前提，而算法是對(duì)算理的總結(jié)與提煉，他們之間是互相聯(lián)系的，有機(jī)統(tǒng)一的整體，透徹理解算理和熟練掌握算法是提高學(xué)生計(jì)算能力的重要保證，從而真正達(dá)到計(jì)算能力的提升以及思維上的拓展。

1.緣起：小學(xué)生數(shù)學(xué)計(jì)算的現(xiàn)狀

在小學(xué)階段，幾乎所有學(xué)生都認(rèn)為計(jì)算比較簡(jiǎn)單，但是從任教的2個(gè)班級(jí)的計(jì)算作業(yè)來看，錯(cuò)誤率還是非常高。筆者在計(jì)算教學(xué)的過程中主要采取了兩種方法：①每天上課5分鐘的口算訓(xùn)練；②回家作業(yè)每日優(yōu)化計(jì)算。從認(rèn)知層面來看，學(xué)生是知曉計(jì)算方法，然后按照方法來計(jì)算，但在計(jì)算的過程中還是出現(xiàn)不同類型的錯(cuò)誤。以人教版三年級(jí)下“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”為例，此內(nèi)容在小學(xué)階段有很重要的作用，是學(xué)習(xí)多位數(shù)乘法的基礎(chǔ)。研讀教材后，發(fā)現(xiàn)主要以“口算”→“筆算”（進(jìn)位與不進(jìn)位）→“解決問題”為活動(dòng)序列，具體結(jié)構(gòu)如圖1：

所以下面以“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”為例，對(duì)學(xué)生在計(jì)算過程出現(xiàn)的錯(cuò)誤進(jìn)行了簡(jiǎn)單的歸類，折射出運(yùn)算中出現(xiàn)的一些現(xiàn)狀（如表1）：

第一類錯(cuò)誤是學(xué)生不會(huì)計(jì)算，即是算理不理解；第二類錯(cuò)誤和第一類有些相似，學(xué)生可能算理不理解，也可能是計(jì)算錯(cuò)誤；第三類錯(cuò)誤是學(xué)生在計(jì)算過程中沒有進(jìn)位。

（1）不理解算理（例如錯(cuò)誤）

算理即為計(jì)算的道理，學(xué)生只是初步了解了算法，并不懂為什么要這樣算？甚至不能很清楚地說出每個(gè)數(shù)字所表示的含義。所以在學(xué)習(xí)計(jì)算這里，筆者認(rèn)為應(yīng)該將算理和算法融匯起來，讓學(xué)生在做題目就不會(huì)出現(xiàn)這種現(xiàn)象了。

（2）稀里糊涂算法（例如錯(cuò)誤）

在教學(xué)的過程中，出現(xiàn)這種現(xiàn)象的同學(xué)還是非常多，出現(xiàn)這種錯(cuò)誤的學(xué)生有可能是不理解算理，有可能是在計(jì)算的過程中粗心導(dǎo)致，其實(shí)學(xué)生在計(jì)算的過程中看清楚題目，理解算理，正確率就會(huì)提高。

（3）忽視進(jìn)位（例如錯(cuò)誤）

學(xué)生出現(xiàn)這類錯(cuò)誤的概率還是非常高，在計(jì)算的過程中，學(xué)生缺乏良好的運(yùn)算習(xí)慣。學(xué)生往往注意到了計(jì)算，忽視了一些小細(xì)節(jié)，比如進(jìn)位，或者抄錯(cuò)數(shù)字等導(dǎo)致錯(cuò)誤，所以學(xué)生要加強(qiáng)運(yùn)算能力。總而言之，筆者認(rèn)為錯(cuò)誤的背后還有很多，比如，計(jì)算教學(xué)中教師對(duì)算理的重視不足，在小學(xué)階段數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)中，很多教師在處理計(jì)算內(nèi)容時(shí)，僅僅針對(duì)“算法”的教學(xué)，忽視“算理”的教學(xué)，比如教學(xué)三年級(jí)上兩位數(shù)乘兩位數(shù)時(shí)，算法是著重講解的，學(xué)生可以很快計(jì)算出得數(shù)，但當(dāng)提問為什么要這樣算？以及豎式中每一個(gè)數(shù)字代表的含義是什么？學(xué)生就會(huì)出現(xiàn)大量的錯(cuò)誤，歸咎原因，還是對(duì)理沒有掌握。如果像這樣的教法，學(xué)生只知如何算，不知為何如此算？甚至不知每個(gè)數(shù)字的含義？那么這樣的學(xué)習(xí)就是死板的，長(zhǎng)此以往，學(xué)生只會(huì)機(jī)械模仿的學(xué)習(xí)，失去了思考以及運(yùn)算能力。再比如，計(jì)算過程中學(xué)生對(duì)算理認(rèn)識(shí)不足，興趣是學(xué)習(xí)的法寶，而計(jì)算數(shù)學(xué)在不理解算理的基礎(chǔ)上就會(huì)顯得枯燥，學(xué)生的機(jī)械性的重復(fù)操作，興趣逐漸下降，造成了中計(jì)算頻繁的錯(cuò)誤。另外，學(xué)生認(rèn)為計(jì)算內(nèi)容過于簡(jiǎn)單，不要多寫多練，特別是中高段的學(xué)生，認(rèn)為知道了就可以做到正確，其實(shí)，在這個(gè)過程中，運(yùn)算能力的培養(yǎng)的就錯(cuò)失了，導(dǎo)致準(zhǔn)確率下降。

2.思考：追本思源

（1）基于教材

以下是關(guān)于兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算乘法的教材，這里以人教版和北師大版為例（如表2）：

教材的相同之處：設(shè)計(jì)都是比較貼近生活的情境進(jìn)行教學(xué)，使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘兩位數(shù)是一種需要；同時(shí)都是借助點(diǎn)子圖即數(shù)形結(jié)合來解釋乘數(shù)的拆分以及乘的結(jié)果，再用算式表征出乘的過程，同樣轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的兩位數(shù)乘一位數(shù)的計(jì)算，都是將知識(shí)進(jìn)行了遷移。

教材的不同之處：北師大教材的編排是分為兩課時(shí)，第一課時(shí)沒有總結(jié)到列豎式的環(huán)節(jié)，而人教版的教材編排除了借助點(diǎn)子圖即數(shù)形結(jié)合來解釋乘數(shù)的拆分以及乘的結(jié)果，最后還體現(xiàn)了列豎式的方便性以及每一個(gè)數(shù)字的含義。

（2）割裂狀態(tài)下的計(jì)算學(xué)習(xí)

碎片化教學(xué)，局限于課時(shí)教學(xué)，割裂了知識(shí)的本質(zhì)的結(jié)構(gòu)，導(dǎo)致學(xué)生機(jī)械式的訓(xùn)練，對(duì)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)與認(rèn)知結(jié)構(gòu)不夠明確，從而學(xué)生的計(jì)算能力就會(huì)有所缺失。

（3）算理算法互通結(jié)合的重要性

計(jì)算是數(shù)學(xué)教學(xué)過程中最基礎(chǔ)也是最重要的內(nèi)容之一，運(yùn)算的能力是學(xué)生應(yīng)具備的基礎(chǔ)能力。而提高運(yùn)算能力，就必須理解算理，掌握算法。什么是算理？筆者認(rèn)為就是在計(jì)算過程中為什么要這樣算，也就是計(jì)算的道理。什么是算法？就是在計(jì)算過程掌握的方法。算理和算法是互通的，不能單獨(dú)的存在。在計(jì)算的過程中，教師應(yīng)該帶領(lǐng)學(xué)生追根溯源，也就是明算理，同時(shí)也需要和學(xué)生一起探索和總結(jié)計(jì)算的方法。比如，例題呈現(xiàn)的算式14*12=，在筆算乘法豎式計(jì)算時(shí)，不單單是讓學(xué)生掌握熟練每一步驟過程，知道如何計(jì)算？更應(yīng)該讓學(xué)生知道每一步甚至進(jìn)位的數(shù)字代表什么意思？例如，題目問豎式計(jì)算中進(jìn)位的4表示什么？題目中的兩個(gè)1有什么不同？2又表示什么？在進(jìn)行教學(xué)時(shí)，嘗試的提問班級(jí)中等學(xué)生，還是有很多不理解的，究其原因，還是對(duì)計(jì)算中的道理不理解。因此，讓學(xué)生理解運(yùn)算的算理，掌握運(yùn)算的算法。不僅能提高運(yùn)算能力，還能提高學(xué)生的思維和思考能力。教師可以促使學(xué)生理解算理的同時(shí)，又對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生濃厚的興趣，改進(jìn)了教學(xué)方式，提高了課堂教學(xué)效率。而這樣的改變，促使學(xué)生的學(xué)和教師的教都達(dá)到了質(zhì)的提升。

（4）信息加工的重要性

其實(shí)學(xué)習(xí)的過程就是一個(gè)將信息轉(zhuǎn)化和加工的過程，當(dāng)學(xué)生遇到問題時(shí)，學(xué)生就會(huì)通過對(duì)已有知識(shí)的理解與掌握，將這部分知識(shí)加工與轉(zhuǎn)化成需要的內(nèi)容，比如，在學(xué)習(xí)兩位是乘兩位數(shù)的筆算乘法時(shí)，學(xué)生講算理和算法互通后，再遇到類似的題目，都會(huì)轉(zhuǎn)化為自己所學(xué)知識(shí)加以解決。

3.重構(gòu)：讓計(jì)算能力顯現(xiàn)

（1）內(nèi)容結(jié)構(gòu)解讀

小學(xué)里的計(jì)算內(nèi)容是復(fù)雜且零碎的，有效的計(jì)算教學(xué)從算理開始，也就是計(jì)算可以從意義和方法兩個(gè)方面解讀，使原來看起來零碎的知識(shí)點(diǎn)變得整合起來，有利于計(jì)算的探究。

（2）運(yùn)算結(jié)構(gòu)的改變

①簡(jiǎn)單的計(jì)算走向模型。有些計(jì)算看起來比較簡(jiǎn)單，學(xué)生會(huì)將重點(diǎn)放在計(jì)算方法上，從而使學(xué)習(xí)變?yōu)橐环N被動(dòng)的狀態(tài)，學(xué)生應(yīng)該擁有舉一反三的能力。比如，在算“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”時(shí)，可以想這樣問題：如果是“三位數(shù)乘三位數(shù)”，甚至“多位數(shù)乘多位數(shù)”時(shí)，能不能解決？讓學(xué)生突破“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的局部方法，走向模型建構(gòu)，提升計(jì)算能力。

②機(jī)械的計(jì)算走向思維。在課堂上，應(yīng)該讓學(xué)生突破機(jī)械式的運(yùn)算，比如模仿，刷題等，讓學(xué)生走向思維模型，重視數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)。比如在“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”教學(xué)上，當(dāng)出現(xiàn)14*12時(shí)，可以思考：能不能用舊的知識(shí)來解決新的知識(shí)？讓學(xué)生自主探究，其實(shí)都是把新的知識(shí)轉(zhuǎn)化成舊的知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生把思考的過程寫成乘法豎式計(jì)算，重視算理的探究，積累解決問題的經(jīng)驗(yàn)。

4.策略：豐富學(xué)習(xí)支架

以“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的教學(xué)為例進(jìn)行研究，希望對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)計(jì)算的能力提高有所幫助。

（1）利用情境創(chuàng)設(shè)理解計(jì)算算理

小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算看似簡(jiǎn)單，理解確實(shí)為重要。特別是低段的學(xué)生要理解算理的過程，教師要借助具體的情境將抽象問題具體化，便于學(xué)生理解。三年級(jí)下人教版的例題以生活中學(xué)生熟悉的買書作為情境導(dǎo)入，引出兩位數(shù)乘兩位數(shù)的教學(xué)內(nèi)容，不僅提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并為進(jìn)一步理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)計(jì)算算理奠定了基礎(chǔ)。比如，根據(jù)情境學(xué)生很快可以說出算式14*12，而教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)14*12=？算式的理解，14是什么含義？12是什么含義？學(xué)生根據(jù)前一節(jié)口算乘法的方法可以計(jì)算出得數(shù)168，這里教師要追問168的含義，以及口算乘法的方法，大部分同學(xué)會(huì)把12拆分為10與2，再分別于14相乘，最后相加。學(xué)生在此會(huì)明顯感受到14*12計(jì)算的過程，也就是先拆再乘后合。當(dāng)然，也會(huì)有學(xué)生用其他的方法計(jì)算出這道題目的得數(shù)。在此基礎(chǔ)上，和創(chuàng)設(shè)的情境結(jié)合一起，學(xué)生就抓住每個(gè)數(shù)字的含義以及算理的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)生對(duì)筆算乘法的豎式計(jì)算算理和算法理解起來會(huì)更加容易，更加深刻。

（2）利用動(dòng)手操作理解計(jì)算算理

特別是低段的學(xué)生，對(duì)問題的理解要借助一些工具，在前一節(jié)口算乘法的基礎(chǔ)上，學(xué)生已經(jīng)用提前準(zhǔn)備好小棒工具進(jìn)行了驗(yàn)證，并在課堂上學(xué)生通過自己分一分，用已分的經(jīng)驗(yàn)很快說出計(jì)算的原理以及答案。那么在動(dòng)手操作的過程中對(duì)算式14*12=168每個(gè)數(shù)字的含義以及算理會(huì)更加深刻理解。而再后面多加練習(xí)，學(xué)生逐步到不需要小棒也可以很流利說出算理和算法。

（3）利用數(shù)形結(jié)合的思想理解算理思維

一般情況下，小學(xué)數(shù)學(xué)中遇到的復(fù)雜計(jì)算難以用簡(jiǎn)單的邏輯理解，這時(shí)如果借用圖形等形象幫助理解是比較好的直觀教材。也就是“以形助數(shù)”。比如，在學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘兩位數(shù)乘法時(shí)，教材先是給了一幅對(duì)話的情境圖，每套書14冊(cè)，王老師買了12套，求一共買了多少冊(cè)？讓學(xué)生根據(jù)圖來理解并說出算式，但在豎式計(jì)算的過程中學(xué)生可能不理解為什么這樣算？只是會(huì)死記住每一步怎么算，下一步怎么算，甚至變換一個(gè)算式就會(huì)出錯(cuò)，歸其原因，還是在理解算理的過程中出現(xiàn)了問題。而教材上借助了2種直觀的點(diǎn)子圖幫助學(xué)生理解算理的過程。比如第一幅點(diǎn)子圖（小亮這樣想）：是把12套平均分成了3份，每份是4套，先求出一份的本數(shù)，再求3份的，也就是把兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算轉(zhuǎn)化成了兩位數(shù)乘一位數(shù)的計(jì)算，而第二幅點(diǎn)子圖（小紅這樣想）：是把12套拆分成10套和2套，算出10套和2套各自的本數(shù)，后再合并。其實(shí)這個(gè)點(diǎn)子圖的過程就是口算乘法的計(jì)算方法，通過這幅點(diǎn)子圖，學(xué)生會(huì)對(duì)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式計(jì)算的算理有更深刻的理解。換言之，這個(gè)點(diǎn)子圖的過錯(cuò)其實(shí)就是計(jì)算的算理。學(xué)生通過這種方法既掌握了算法，也理解了算理。

（4）利用多樣性練習(xí)理解算理，掌握算法

數(shù)學(xué)知識(shí)需要在理解的基礎(chǔ)上加以練習(xí)，才能達(dá)到深度的思維，尤其對(duì)小學(xué)階段的計(jì)算數(shù)學(xué)，更要達(dá)到深度的練習(xí)。筆者在教學(xué)生本節(jié)課的內(nèi)容時(shí)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生可以根據(jù)題目說出每個(gè)數(shù)字的含義，以及算法，但是在練習(xí)的過程中，頻繁出錯(cuò)，筆者認(rèn)為是在算理和算法互通的過程中不夠深刻。所以，課堂上的有效練習(xí)很有必要，教師應(yīng)選擇多樣性具有典型代表練習(xí)幫助學(xué)生提高計(jì)算水平。

（5）利用錯(cuò)題設(shè)置激發(fā)學(xué)生的好奇心

如何通過練習(xí)讓學(xué)生提高計(jì)算技能？計(jì)算本身具有枯燥性，學(xué)生在做的時(shí)候會(huì)產(chǎn)生疲憊感，這時(shí)教師可以設(shè)計(jì)一些學(xué)生容易出錯(cuò)的題目或者直接用學(xué)生錯(cuò)題進(jìn)行展示來激發(fā)學(xué)生的好奇心，促使學(xué)生快速有效地掌握計(jì)算技能。

（6）利用多樣的活動(dòng)激勵(lì)學(xué)生以及培養(yǎng)學(xué)生的興趣

對(duì)小學(xué)生而言，興趣是極為重要的，如果讓學(xué)生達(dá)到眼、耳、腦、手一起動(dòng)起來，那么學(xué)生的注意力以及興趣就會(huì)提上來。尤其是對(duì)枯燥的計(jì)算來說，學(xué)生會(huì)失去耐心，教師應(yīng)該在課堂上創(chuàng)設(shè)一些有趣的環(huán)節(jié)和活動(dòng)，良好的課堂氣氛可以激發(fā)學(xué)生的興趣，讓興趣成為最好的老師，不論是什么，將不再是難題。

（7）利用延遲評(píng)價(jià)激勵(lì)學(xué)生

所謂的延遲評(píng)價(jià)是當(dāng)學(xué)生嘗試解決問題后，教師不應(yīng)立刻給予肯定或者否定的評(píng)價(jià)，而應(yīng)該聽取學(xué)生的不同解決方案，在交流中思考和完成問題的分析，這樣的評(píng)價(jià)有利于保持學(xué)生的興趣，體現(xiàn)學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。

5.結(jié)語

總之，在核心素養(yǎng)背景下，教師要保證課堂的教學(xué)成果，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)形成的過程，計(jì)算教學(xué)是小學(xué)階段的重點(diǎn)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力具有關(guān)鍵的作用，而算理的理解和算法的掌握又是計(jì)算教學(xué)的重中之重，所以在教師在計(jì)算教學(xué)的過程中，應(yīng)注意正確引導(dǎo)好學(xué)生理解計(jì)算中的算理和掌握計(jì)算的方法，同時(shí)教師應(yīng)該采取合適的策略，提高學(xué)生的分析問題以及解決問題的能力。只有將算理和算法相結(jié)合，并將其應(yīng)用到計(jì)算教學(xué)中，讓學(xué)生在深刻理解其中的算理過程的同時(shí)掌握并總結(jié)計(jì)算方法，這樣學(xué)生的思維能力才得以拓寬。

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