非線性擾動方程研究平面混合層發(fā)聲機制

張程遠，方一紅

(天津大學機械工程學院力學系，天津300072)

非線性擾動方程研究平面混合層發(fā)聲機制

張程遠，方一紅*

(天津大學機械工程學院力學系，天津300072)

在流動過程中由脈動引起的噪聲問題在自然界和工業(yè)界中廣泛存在，研究流動過程中不穩(wěn)定波的發(fā)聲機制對于理解、預(yù)測并最終控制氣動噪聲有著重要意義。本文以二維Blasius相似性解作為基本流場，以超聲速混合層作為研究對象，采用非線性擾動方程(NLDE)研究超聲速混合層不穩(wěn)定波的近場動力學特性與遠場聲輻射之間的內(nèi)在聯(lián)系。針對不同類型的對流馬赫數(shù)，分別研究對流馬赫數(shù)Mc=0.5(＜1)和Mc=1.2(≥1)兩種情況下的擾動發(fā)聲機制，結(jié)果表明:當對流馬赫數(shù)Mc＜1時，流場中的發(fā)聲機制主要由大尺度結(jié)構(gòu)的渦條發(fā)聲，且基本波與亞諧波之間的非線性作用能增強輻射強度;當對流馬赫數(shù)Mc≥1時，根據(jù)擾動相速度是相對于上層還是下層自由流速度為超聲速，可以進一步分為快慢兩種模態(tài)，分別對快慢兩種模態(tài)以及其相互作用模態(tài)進行了數(shù)值模擬研究，計算得到流場中的發(fā)聲機制是以馬赫波形式輻射向遠場，即馬赫波輻射，其輻角的計算結(jié)果與理論值相符。

非線性擾動方程;超聲速混合層;對流馬赫數(shù);渦條發(fā)聲;快慢模態(tài);馬赫波輻射

0 引言

流動中由脈動導(dǎo)致的噪聲問題在航空和自然工業(yè)中廣泛存在，例如發(fā)動機射流噪聲、機翼和旋翼噪聲、燃氣噪聲等，伴隨著航空航天飛行器的發(fā)展，由非定常氣動力產(chǎn)生的氣動噪聲對環(huán)境造成了嚴重地污染，氣動噪聲問題開始得到大家的重視，在此期間，相關(guān)的科研人員開始著手氣動噪聲問題的研究，隨之形成了氣動聲學這門學科［1］。流動中的強剪切區(qū)域一般具有復(fù)雜的動力學特性，最終將導(dǎo)致大范圍內(nèi)的時間和空間尺度的湍流結(jié)構(gòu)。湍流噪聲是流動中的雷諾應(yīng)力輻射的噪聲，從穩(wěn)定性理論的角度來看，對于可壓縮流動來說，流體中的不穩(wěn)定波與聲音的產(chǎn)生存在著直接的聯(lián)系，因此研究流動過程中不穩(wěn)定波的動力學特性對于理解、預(yù)測并最終控制氣動噪聲是十分必要的。這也引起了學術(shù)界和工業(yè)界的日益重視［2］。

流動中不穩(wěn)定波與聲輻射之間是如何聯(lián)系在一起的?近年來已經(jīng)有許多學者開始研究二者之間的內(nèi)在聯(lián)系。Colonius等［3］和Bogey等［4］采用直接數(shù)值模擬研究二維平面混合層聲輻射問題，Mitchell等［5］利用數(shù)值模擬的方法研究對稱渦結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的聲場，李曉東和高軍輝［6］使用線性Euler方程研究二維平行剪切層聲波產(chǎn)生和輻射，邢超和羅紀生［7］使用直接數(shù)值模擬研究聲波與剪切層的相互作用，Tam等［8-9］等使用漸進展開的方法在無粘和局部平行流假設(shè)的前提下研究剪切層中不穩(wěn)定波與聲輻射之間的關(guān)系，Wu［10-11］使用漸進分析的方法結(jié)合三層結(jié)構(gòu)理論，將流場分為粘性亞層、主層和勢流層，研究了剪切層中的聲輻射問題，Bertolotti等［12］使用線性拋物化穩(wěn)定性方程(Parabolized Stability Equations，PSE)研究射流聲輻射問題，這些研究主要還是從單個擾動波的演化性質(zhì)著手，入口加入的擾動初始幅值較小，對不穩(wěn)定波的非線性作用考慮較少。

相比于線性不穩(wěn)定波的特性，對于非線性不穩(wěn)定波的近場動力學特性和遠聲場輻射之間的內(nèi)在聯(lián)系方面的研究較少，Cheung等［13］使用線性和非線性PSE研究二維可壓縮剪切層聲輻射問題，在亞聲速剪切層中出現(xiàn)了渦條結(jié)構(gòu)，但是并沒有很好地捕捉到遠聲場的特性，可能的原因是PSE在法向上采用的是齊次邊界條件，而且PSE方法假設(shè)沿流向是緩慢變化，但混合層的增長速度較快，擾動在向下游演化過程中會受到強非平行性影響，這些都會影響到流場和聲場信息的捕捉。

為了進一步研究剪切層中不穩(wěn)定波與聲輻射之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，本文采用非線性擾動方程(Nonlinear Disturbance Equations，NLDE)研究二維超聲速可壓縮混合層的聲輻射問題。同時考慮了非線性相互作用和非平行性的影響，數(shù)值模擬了對流馬赫數(shù)Mc＜1和Mc≥1兩種情況下不穩(wěn)定波的擾動演化，給出了不同情況下擾動演化的計算結(jié)果，并在此基礎(chǔ)上研究擾動波的發(fā)聲機制。

1 控制方程

對當前混合層的穩(wěn)定性分析，采用非線性擾動方程的分析方法，推導(dǎo)擾動方程的基本思想是:將二維可壓縮N-S方程中的守恒量分解為基本流與擾動量之和的形式并帶到N-S方程中，去掉滿足定常流N-S方程的基本流項，經(jīng)過化簡可得到擾動方程，方程形式如下:

粘性擾動項:

2 差分格式和邊界條件

計算過程中，粘性項采用六階中心差分格式，具體形式如下:

對流項采用通量分裂，對正通量E+和負通量E－在空間上采用五階弱迎風緊致格式:

時間項采用非TVD特性的四階四步Runge-Kutta格式:

對于每一個邊界，都有四個特征波穿過，其特征波的傳播方向由各自的特征值正負號決定。對于超聲速流，四個特征值都為正，其對應(yīng)的特征波都向右傳;對于亞聲速流，有一個特征值為負，其它特征值為正，即三個波向右，一個波向左。本文考慮的是超聲速流動。入口邊界條件由線性穩(wěn)定性理論給出，其擾動形式為出口邊界條件由單邊差分給出，同時，為了減弱出流反射波的強度，在出口處添加一段嵌邊區(qū)［14］，其中預(yù)先指定的嵌邊區(qū)出流處的擾動值設(shè)定為0，即Uc=0，上下邊界采用完全無反射邊界條件［15］。

3 數(shù)值算例

3.1 對流馬赫數(shù)Mc=1.2(≥1)的情況

基本流通過求解定常可壓縮二維邊界層方程［16］得到，入口取無量綱長度δω0=1，對應(yīng)的流向長度x0≈337.50，圖1給出了入口處的基本流剖面。

圖1 入口處基本流剖面Fig.1 Base flow profile at the inflow

由線性穩(wěn)定性理論得到，對于Mc≥1.0的超聲速混合層流動，同一擾動頻率ω0對應(yīng)兩個增長波－αi，根據(jù)擾動相速度相對于自由流速度Mr，j= |ω/Re{α}－Ui|/ai(i，j=1，2)是否大于1，可以把擾動形式分為快慢兩種模態(tài)［17］，當擾動相速度相對于快速流為亞聲速，相對于慢速流為超聲速，即Mr，1＜1.0，Mr，2＞1.0，稱其為快模態(tài);當擾動相速度相對于快速流為超聲速，相對于慢速流為亞聲速，即Mr，1＞1.0，Mr，2＜1.0，稱其為慢模態(tài)。

下面計算在入口處分別加入不同擾動模態(tài)下的擾動演化過程，選取的擾動頻率為慢模態(tài)情況下最不穩(wěn)定波頻率，其具體的計算參數(shù)如表1。

表1 入口加入不穩(wěn)定波的具體參數(shù)Table 1 Parameters of inflow instability wave

圖2、圖3分別是工況A和工況B條件下擾動特征函數(shù)圖像，分別對應(yīng)于擾動快慢模態(tài)兩種情況，同一擾動頻率ω0=0.2，分別對應(yīng)著兩種不穩(wěn)定擾動波，它們的增長率－αi分別為0.0114和0.0131，圖2給出的是超聲速擾動波快模態(tài)情形，擾動相速度相對于上層快速流為亞聲速Mr，1=0.904(＜1.0)，而相對于下層慢速流為超聲速Mr，2=1.496(＞1.0)，擾動的特征函數(shù)沿上層快速流方向呈指數(shù)形式衰減，而擾動沿下層慢速流方向呈正弦波的形式衰減;與圖2的情況相反，圖3給出的是超聲速擾動波慢模態(tài)情形，擾動相速度相對于上層快速流為超聲速Mr，1=1.52 (＞1.0)，而相對于下層慢速流為亞聲速Mr，2=0.88 (＜1.0)，擾動的特征函數(shù)沿上層快速流方向呈正弦波的形式衰減，而擾動沿下層慢速流方向呈指數(shù)形式衰減。

為了驗證程序，當前用擾動方程計算了慢模態(tài)下最不穩(wěn)定頻率ω=0.2的擾動波的演化，初始幅值A(chǔ)0=0.0001，圖4給出了擾動方程與LST的計算結(jié)果，二者吻合的很好，表明擾動方程程序的正確性。

圖2 快模態(tài)的特征函數(shù)圖像Fig.2 Eigenfunction for fast mode

圖3 慢模態(tài)的特征函數(shù)圖像Fig.3 Eigenfunction for slow mode

圖4擾動波幅值演化，ω=0.2，A0=0.0001Fig.4 Amp lification of the disturbance，ω=0.2，A0=0.0001

圖5、圖6分別給出在入口處加入A、B工況下的不穩(wěn)定波，初始幅值都給A0=0.005，其擾動向下游演化過程中的壓力擾動等值線p1。

比較A、B兩種工況的壓力等值線圖，可以看出對于擾動相速度相對于自由流速度為超聲速(Mr，j＞1.0)的部分，壓力擾動以一定的角度向遠場輻射，形成馬赫波輻射，通過馬赫角的計算公式μ= arcsin(1/Mr，j)可以求出快模態(tài)擾動的理論馬赫角為μ≈41.9°，由圖5的壓力等值線求得輻角μ≈40.7°，與理論值相符。同理，由圖6的慢模態(tài)等值線可以求得馬赫角為μ≈40°，也與理論值μ≈41.0°相符。

圖5 加入快模態(tài)擾動壓力等值線Fig.5 Pressure contours for fast mode

圖6 加入慢模態(tài)擾動壓力等值線Fig.6 Pressure contours for slow mode

圖7 加入快慢模態(tài)的擾動壓力等值線Fig.7 Disturbance pressure contours for fast and slow mode

在入口處同時加入快慢模態(tài)的擾動波，得到圖7所示的近場展向渦量和遠場擾動壓力等值線，它兼有二者的特性，擾動壓力向自由流兩側(cè)方向以馬赫波的形式輻射，從近場展向渦量ωz等值線看，沒有出現(xiàn)大尺度渦結(jié)構(gòu)，圖8對應(yīng)著基本波能量幅值E10與其倍頻波的能量幅值E20。

圖8 基本波與其倍頻波的能量幅值曲線Fig.8 Energy for the fundamental and first harmonic mode

因此，對于Mc≥1的超聲速混合層流動，其發(fā)聲機制主要是不穩(wěn)定波以馬赫波的形式向遠場輻射。

3.2 對流馬赫數(shù)Mc=0.5(＜1.0)的情況

利用線性穩(wěn)定性理論，可以求出入口處所加的擾動的特征值和特征函數(shù)，計算求出的具體參數(shù)見表2。

表2 入口加入不穩(wěn)定波的具體參數(shù)Table 2 Parameters of inflow instability wave

圖9給出了最不穩(wěn)定波ω0=0.578對應(yīng)的擾動特征函數(shù)幅值曲線，可以看出擾動特征函數(shù)幅值以指數(shù)形式向自由流兩側(cè)快速衰減。

圖10、圖11分別是在入口處加入工況D和E情況下的擾動波，使用非線性擾動方程(NLDE)計算得到擾動向下游演化過程中的遠場壓力等值線p和近場展向渦量云圖ωz，圖12是其兩組工況下所對應(yīng)的能量幅值曲線E。

圖9 特征函數(shù)幅值曲線Fig.9 Amp litudes curve of the eigenfunction

從圖10的近場渦量等值線可以看到明顯的大尺度渦結(jié)構(gòu)，伴隨著渦結(jié)構(gòu)向下游演化，其擾動壓力直接輻射向自由流遠場，渦結(jié)構(gòu)形成位置在x≈100處，從圖12的能量幅值曲線上看，在此處，能量幅值達到最大，且正好對應(yīng)于遠場擾動壓力開始輻射的位置。

圖10 工況D遠場壓力和近場渦量云圖Fig.10 Contours of the far-field pressure and nearfield spanw ise vorticity for case D

圖11是在入口處加入基本波與亞諧波的計算結(jié)果，與在入口處只加入基本波的情況相似，其近場區(qū)出現(xiàn)大尺度渦結(jié)構(gòu)，渦結(jié)構(gòu)形成的位置與遠場壓力輻射位置相對應(yīng)，不同的是，渦結(jié)構(gòu)在更下游的位置處發(fā)生了渦與渦之間的合并，其渦合并發(fā)生在x≈190處，渦合并現(xiàn)象是基本波與亞諧波的非線性相互作用導(dǎo)致，圖12中的能量幅值曲線顯示在渦合并處，基本波與亞諧波的能量都處于峰值，此時，它們之間的非線性作用是最強的，從遠場壓力等值線圖可以看出它們的壓力強度也同時達到最大。

圖11 工況E遠場擾動壓力和近場渦量云圖Fig.11 Contours of the far-field pressure and near-field spanw ise vorticity for case E

圖12 基本波與其倍頻波的能量幅值曲線Fig.12 Am p litudes of energy for the fundamental and subharmonic mode

因此，對于對流馬赫數(shù)Mc＜1.0的超聲速混合層，其發(fā)聲機制主要是由大尺度渦結(jié)構(gòu)及其合并引起，且基本波與亞諧波之間的非線性相互作用能增強聲輻射強度。

4 結(jié)論

本文采用非線性擾動方程(NLDE)研究了超聲速情況下擾動的動力學特性和遠場發(fā)聲機制間的關(guān)聯(lián)，分析了對流馬赫數(shù)Mc=0.5(＜1)和Mc=1.2 (≥1)兩種情況下不穩(wěn)定波的發(fā)聲機制。得到了以下幾點結(jié)論:

1)對流馬赫數(shù)Mc≥1.0的情況，同一頻率ω0的擾動對應(yīng)著兩個不同的不穩(wěn)定波－αi，分別對應(yīng)著快慢兩種模態(tài)，其擾動特征函數(shù)呈現(xiàn)兩種完全不同的形式。

2)分別對快慢兩種擾動模態(tài)及其相互作用進行數(shù)值模擬研究，計算得到流場中不穩(wěn)定波的發(fā)聲機制:壓力擾動以馬赫波形式向遠場輻射，即馬赫波輻射。

3)對于Mc＜1.0的情況，非線性擾動方程(NLDE)能夠準確捕捉到大尺度渦結(jié)構(gòu)，并在下游處捕捉到渦對合并現(xiàn)象。

4)對于Mc＜1.0的情況，不穩(wěn)波產(chǎn)生遠聲場的機理主要是大尺度渦運動及渦對的合并，而基本波與亞諧波之間的非線性相互作用能明顯增強聲輻射的強度。

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Studing sound generation mechanism s of m ixing layer using nonlinear disturbance equations

Zhang Chengyuan，F(xiàn)ang Yihong*
(Department of Mechanics，School of Mechanical Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China)

The noise problem caused by pulse exists in the aviation and natural industry，studying sound generation mechanism of the unstable wave is of important significance for understanding，predicting and controlling the aerodynamic noise.In this paper，Nonlinear Disturbance Equation(NLDE)is used to study the relationship between near field dynamic characteristic and the far field sound radiation for supersonic mixing layer.For different types of convective Mach number，disturbance pressure are selected and calculated respectively.It is gained two different sound generation mechanisms.When the convective Mach number of supersonic mixing layer is less than 1，the sound is generated by the largescale vortex structure in near-field.Otherwise，the generation of sound is depended on whether the phase velocity of disturbance is supersonic relative to the upper flow or not.It turned out that the supersonic part of the disturbance pressure radiate to far-field at a fix angle，that is so called Mach wave radiation.The calculated angle of Mach wave is consistent with the theoretical one.

nonlinear disturbance equations;supersonic mixing layer;convective Mach number; noise generation by vortex pairing;fast and slow mode;Mach wave radiation

V212.1

A

10.7638/kqdlxxb-2014.0117

0258-1825(2016)05-0659-07

2015-01-15;

2015-04-15

國家自然科學基金(11332007，10972156)

張程遠(1990-)，男，福建，碩士研究生，主要從事邊界層轉(zhuǎn)捩預(yù)測的研究.E-mail:zhangcy9798@163.com

方一紅*，副教授，主要從事流動穩(wěn)動性和空氣動力學.E-mail:yhfang@tju.edu.cn

張程遠，方一紅.非線性擾動方程研究平面混合層發(fā)聲機制［J］.空氣動力學學報，2016，34(5):659-665.

10.7638/kqdlxxb-2014.0117 Zhang C Y，F(xiàn)ang Y H.Studing sound generation mechanisms of mixing layer using nonlinear disturbance equations［J］.Acta Aerodynamica Sinica，2016，34(5):659-665.