理“明線”，挖“暗線”，生成有效“問題串”

蔡玲

［摘? 要］ 文章以“數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念”教學案例為背景，剖析在高中數(shù)學課堂教學中，如何梳理“明線”，深入挖掘“暗線”，生成有效“問題串”，推動知識的自然生成和發(fā)展，培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 明線；暗線；數(shù)學核心素養(yǎng)；問題串；數(shù)系擴充；復(fù)數(shù)概念

提出問題

著名數(shù)學家保羅·哈爾莫斯（P.R.halmos）曾言“問題是數(shù)學的心臟”.數(shù)學教學是問題教學，數(shù)學問題在精不在多.教師通過設(shè)置有層次性、系統(tǒng)性、挑戰(zhàn)性的主干問題形成有效“問題串”推動知識自然生成和發(fā)展，為學生的深度思考和思維發(fā)展提供時間和空間，是“問題解決式數(shù)學觀”的體現(xiàn).

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出，教師要“明晰數(shù)學學科核心素養(yǎng)在內(nèi)容體系形成中表現(xiàn)出的連續(xù)性和階段性，引導(dǎo)學生從整體上把握課程，實現(xiàn)學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展”［1］. 在每個教學單元中，教學內(nèi)容都有自己的“明線”和“暗線”，體現(xiàn)著教學的階段性、系統(tǒng)性和整體性. 教師要準確梳理單元內(nèi)容的“明線”，深入挖掘教學素材的“暗線”，生成有效“問題串”，幫助學生掌握數(shù)學知識，助力數(shù)學核心素養(yǎng)落地生根.

“明線”“暗線”的內(nèi)涵剖析

“明線”是師生閱讀教材就能夠明白的基本知識和方法，稍加梳理就可以明確每節(jié)課的明線是“提出問題—分析問題—解決問題—系統(tǒng)回顧”. “暗線”有兩種內(nèi)涵，一是指解決新問題時用到的思想方法，如化歸思想、函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想；二是指研究新問題的路徑，例如研究函數(shù)問題采用的“抽象生活實例本質(zhì)屬性—定義—表示—圖象和性質(zhì)研究—應(yīng)用”. 章建躍主編曾言，教學內(nèi)容的安排是以“事實—方法—方法論—數(shù)學學科本質(zhì)觀”為“暗線”，提議教學中要讓學生學會數(shù)學研究的“基本套路”.把握“暗線”是實現(xiàn)培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題能力的實踐操作. 在清楚“明線”并深入挖掘“暗線”的過程中，教師才能引導(dǎo)學生“如何思考”“如何解決”，讓學生準確把握和理解教學內(nèi)容，同時發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng).

“數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念”的“明線”“暗線”及“問題串”

1. “數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念”的“明線”和“暗線”

首先，需要梳理本節(jié)課的教學內(nèi)容（包括知識要素、數(shù)學思想要素、研究方法要素）. 學生學習本節(jié)課內(nèi)容前，在義務(wù)教育階段已經(jīng)經(jīng)歷了從自然數(shù)集到實數(shù)集的擴充過程，對數(shù)系的擴充有了一定的認識，知道數(shù)系擴充后，新的數(shù)系能夠解決在原有數(shù)系上無法解決的一些問題. 例如引進無理數(shù)，把有理數(shù)集擴充到實數(shù)集后，就可以解決“解方程x²－2=0”這樣的問題了，因此遇到如x²+1=0這樣的方程求解的問題時，通過引導(dǎo)啟發(fā)，學生能夠聯(lián)想到對現(xiàn)有實數(shù)集進行擴充，從而使方程x²+1=0有解. 學生在前面的學習中，多次利用過類比的方法研究數(shù)學問題，為這節(jié)課利用類比同樣的過程和方法將實數(shù)集擴充到復(fù)數(shù)集提供了可能.

學生在學習過程中可能出現(xiàn)的障礙，一是學生雖然經(jīng)歷過數(shù)系擴充的過程，但對擴充方法及規(guī)則的理解較淺；二是現(xiàn)實生活中沒有任何事物支持復(fù)數(shù)，學生會懷疑引進復(fù)數(shù)的必要性；三是學生以前學習的都是單純的一個數(shù)，復(fù)數(shù)的代數(shù)形式卻是兩項和的形式，學生理解起來會有困難.

由此確定本節(jié)課內(nèi)容的“明線”是明確復(fù)數(shù)的概念及表示、虛數(shù)和純虛數(shù)的概念、復(fù)數(shù)相等的條件. “暗線”是通過數(shù)系擴充，歸納“規(guī)則”，提升學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)；通過實數(shù)集向復(fù)數(shù)集的擴充，讓學生體會類比思想方法，提升學生的邏輯推理素養(yǎng)，并讓學生感受人類理性思維在數(shù)系擴充中的作用. 對于新的概念，研究路徑通常是：通過具體實例抽象概括本質(zhì)特征—定義—表示—特殊量—特殊關(guān)系—應(yīng)用.

圖1展示的是學生已有經(jīng)驗和本節(jié)課學習內(nèi)容的結(jié)構(gòu)關(guān)系：

2.“數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念”的“問題串”及設(shè)計意圖

問題1：（1）從方程的角度來看，負實數(shù)能不能開平方即方程x²+a=0（a>0）有沒有解，可以歸結(jié)為方程x²+1=0有沒有解. 想一想，這是為什么？

（2）我們知道，方程x²+1=0無實數(shù)解，聯(lián)系從自然數(shù)集向?qū)崝?shù)集擴充的過程，你能給出一種方法，適當擴充實數(shù)集，使這個方程有解嗎？

設(shè)計意圖 將歷史上負數(shù)能否開平方的問題轉(zhuǎn)化為方程x²+1=0是否有解的問題，為后續(xù)從方程角度研究數(shù)系擴充做好鋪墊；同時讓學生認識到數(shù)學中的復(fù)雜問題都可以轉(zhuǎn)化和化歸為基本問題. 問題（2）點出了本節(jié)課研究的目標、思路和方法.

問題2：我們把一個數(shù)集連同規(guī)定的運算及運算律叫做數(shù)系. 回顧從自然數(shù)集向?qū)崝?shù)集擴充的過程，每一次數(shù)系擴充的原因是什么？分別解決了什么實際問題和數(shù)學問題？請借助以下方程加以說明.

（1）x∈N，解方程x+2=0；

（2）x∈Z，解方程2x+3=0；

（3）x∈Q，解方程x2－2=0.

設(shè)計意圖 運用具體實例的回顧，梳理數(shù)系擴充史，引導(dǎo)學生抓住知識的“生長點”，理解數(shù)系擴充的社會需求和數(shù)學自身發(fā)展的需要，為引進虛數(shù)單位埋下伏筆.

問題3：從上述解方程的過程可以看出，每一次數(shù)系擴充都是在原數(shù)集上添加“新數(shù)”. 請大家回憶一下，擴充后，原數(shù)系的加法運算和乘法運算（減法、除法運算可以轉(zhuǎn)化為加法、乘法運算）及運算律在新數(shù)系中協(xié)調(diào)一致嗎？由此你能歸納出數(shù)系擴充的“規(guī)則”嗎？

設(shè)計意圖 梳理數(shù)系擴充過程和方法，得出數(shù)系擴充的“規(guī)則”：引進“新數(shù)”，且加法、乘法運算不變.為后續(xù)實數(shù)集向復(fù)數(shù)集擴充提供方法依據(jù)，從而突破本節(jié)課的教學難點.

問題4：（1）回到本節(jié)課開頭提出的問題，方程x2+1=0無實數(shù)解，類比從自然數(shù)集到實數(shù)集的數(shù)系擴充規(guī)則，你能想出讓該方程有解的方法嗎？

（2）引進一個什么樣的“新數(shù)”呢？

（3）虛數(shù)單位為什么是i，而不是其他字母呢？

（2）你能把上述列舉的所有“新數(shù)”用一個代數(shù)式表達出來嗎？

（3）如何寫出新的數(shù)集？

設(shè)計意圖 通過類比數(shù)系擴充規(guī)則，讓學生得出復(fù)數(shù)集中的具體復(fù)數(shù)，再由特殊到一般，抽象概括出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式和集合表示. 讓學生經(jīng)歷、體會數(shù)學概念符號化、形式化的過程，讓學生順利接受復(fù)數(shù)表達式是兩項之和的形式，提升學生的抽象概括、邏輯推理素養(yǎng).

問題6：閱讀教科書，回答以下問題.

（1）復(fù)數(shù)的表示方法有哪些？

（2）復(fù)數(shù)a+bi（a，b∈R）的實部是什么？虛部是什么？

（3）什么是虛數(shù)和純虛數(shù)？請舉例說明.

設(shè)計意圖 引導(dǎo)學生閱讀教科書，明確復(fù)數(shù)的基本概念和表示方法，培養(yǎng)學生閱讀數(shù)學教材的習慣和理解能力.

問題7：既然稱為復(fù)數(shù)集，其元素就必須滿足互異性，即要弄清復(fù)數(shù)相等的含義. 請根據(jù)你剛才閱讀的教科書內(nèi)容，回答下列問題.

（1）復(fù)數(shù)a+bi=c+di（a，b，c，d∈R）的充要條件是什么？

（2）該充要條件和我們曾經(jīng)學過的哪些知識點類似？

（3）復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b∈R）為實數(shù)的條件是什么？a+bi=0的充要條件是什么？

設(shè)計意圖 問題（1）引導(dǎo)學生把新舊知識聯(lián)系起來，達成知識的統(tǒng)一性和完整性，讓學生學會用類比的方法研究新問題. 問題（2）引導(dǎo)學生關(guān)聯(lián)點和平面向量，為研究復(fù)數(shù)的幾何意義及復(fù)數(shù)的三角形式奠定基礎(chǔ). 問題（3）通過專門研究“復(fù)數(shù)為實數(shù)”和“復(fù)數(shù)相等”這種特例，引導(dǎo)學生關(guān)注特殊元素、特殊關(guān)系，保證研究的完備性.

問題8：復(fù)數(shù)集C和實數(shù)集R之間有什么關(guān)系？你能將復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b∈R）分類并用韋恩圖表示出來嗎？

設(shè)計意圖 加深學生對子集的認識. 用不同方式將復(fù)數(shù)集分類，深化學生對復(fù)數(shù)概念的理解.

問題9：（1）本節(jié)課你學到了哪些知識？

（2）本節(jié)課你學到了研究新問題的哪些方法？

設(shè)計意圖 問題（1）旨在引導(dǎo)學生說出復(fù)數(shù)概念、表示、分類、相等這些“明線”知識. 問題（2）引導(dǎo)學生提煉歸納研究新問題的思想方法，如類比、從特殊到一般等.

反思與展望

有效“問題串”源于對知識“明線”的梳理，更來自對“暗線”的深入挖掘.理清“明線”相對容易，一般課堂都容易做到. 但只有挖掘出“暗線”才能加深學生對“明線”的理解，才能培養(yǎng)學生面對新問題的分析能力和解決能力，才能提高學生的數(shù)學核心素養(yǎng). 挖掘“暗線”是教學重中之重，然而在實際教學中，該環(huán)節(jié)相對薄弱. 那么該如何挖掘“暗線”，讓問題有效且環(huán)環(huán)相扣、由淺入深地形成“問題串”呢？筆者認為需要做到“三個‘明確”“一個‘研讀”.

（1）明確“上位知識”和“下位知識”，即明確知識從哪里來、到哪里去. 例如本節(jié)課，“上位知識”是學生已有的數(shù)系擴充歷程，教師要做的是利用學生最近發(fā)展區(qū)讓學生明白“學什么、為什么學、怎么學、如何聯(lián)系”，進一步讓學生明確“學習方法、如何延伸”，并為接下來的復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的四則運算、復(fù)數(shù)的三角表示打下基礎(chǔ).

（2）明確研究方法和研究路徑，即明確新概念、新問題的研究用的方法是什么、路徑是什么. 例如研究函數(shù)，采用的方法通常是從特殊到一般，路徑是“用具體生活做背景抽象概括—定義—表示—圖象和性質(zhì)—應(yīng)用”. 研究向量，路徑通常是“用物理知識做背景抽象概括—定義—表示—特殊元素—特殊關(guān)系—應(yīng)用”.而研究“數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念”，方法是類比，路徑是“從已有經(jīng)歷中抽象概括出本質(zhì)屬性—定義—表示—特殊復(fù)數(shù)（復(fù)數(shù)為實數(shù)）—特殊關(guān)系（復(fù)數(shù)相等）—應(yīng)用”.

（3）明確數(shù)學核心素養(yǎng)目標. 課堂是培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的基地，教學內(nèi)容是培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的載體.明確每節(jié)課的數(shù)學核心素養(yǎng)培養(yǎng)的目標有助于挖掘“暗線”. 在“數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念”這節(jié)課中，主要培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象和邏輯推理能力. 數(shù)學抽象源于對大量社會實踐問題本質(zhì)屬性的概括，這需要師生合作找出一定量的具體實例，再從具體實例中抽象概括出問題的本質(zhì)屬性. 師生通過對以往數(shù)系擴充的回顧、總結(jié)、抽象，以此類推得到實數(shù)集向復(fù)數(shù)集擴充的方法和規(guī)則，實現(xiàn)學生邏輯推理能力的形成.

（4）研讀教材、教師教學用書、數(shù)學課程標準、期刊. 無論是“上位、下位知識”還是研究方法、研究路徑，以及要培養(yǎng)的數(shù)學核心素養(yǎng)，都可以在教材、教師教學用書、課程標準上找到. 甚至教材、教師教學用書等已經(jīng)幫大家設(shè)置了“大問題串”，對大多數(shù)章節(jié)起始課都給出了教學案例. 教師只要多研讀教材、教師教學用書、數(shù)學課程標準，相關(guān)問題都能找到答案. 但教材、教師教學用書、數(shù)學課程標準更重視知識的歸納和總結(jié)，屬于綱領(lǐng)性教學文件，如何把綱領(lǐng)性的東西找到載體落實，變成生動具體的實例，研究數(shù)學期刊就是很好的輔助手段. 在各種期刊上，對某一節(jié)課、某一個單元教學內(nèi)容的設(shè)計，都有詳細的多角度、多視角的表達，并配有教學案例或教學片段. 教師通過收集整理閱讀相關(guān)論文，不僅能夠擴大教學視野，獲得教學經(jīng)驗和方法，還能夠加深對單元教學內(nèi)容的理解.

在教學過程中，堅持理清“明線”，深入挖掘“暗線”，兩手都要抓、兩手都要硬，必能不斷歸納提煉出共同的研究視角和共通的研究方法，設(shè)計出有的放矢的“問題串”，從而加強學生的過程體驗，通過科學探究，實現(xiàn)學生數(shù)學核心素養(yǎng)提升的目標.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 唐恒鈞，HAZEL TAN，徐元根，張維忠. 基于問題鏈的中學數(shù)學有效教學研究——一項課例研究的啟示［J］. 數(shù)學教育學報，2018，27（03）：30-34+44.