數(shù)學抽象的分析路徑及教學實踐

王占軍

［摘? 要］ 數(shù)學抽象是數(shù)學學科核心素養(yǎng)的組成要素之一，是學生形成理性思維的基礎. 在課堂教學中落實數(shù)學核心素養(yǎng)需要教師分析教學目標，尋找數(shù)學抽象的著眼點；分析教學內(nèi)容，挖掘數(shù)學抽象的著力點；分析學生認知，明確數(shù)學抽象的受阻點. 通過“目標—內(nèi)容—學情”的分析路徑幫助教師整體理解教學內(nèi)容、精心設計教學活動，促使教師學會在課堂實踐中如何分析并落實數(shù)學抽象核心素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學抽象；分析路徑；教學實踐

提出問題

隨著《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課程標準》）的頒布，新教材的廣泛使用，以發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)為主旨的課堂教學理念被教師逐漸接受并不斷探索. 數(shù)學抽象是數(shù)學學科核心素養(yǎng)的組成要素之一，是學生形成理性思維的基礎，反映著數(shù)學最本質(zhì)的特征. 在教學中，如何進行數(shù)學抽象的分析與實踐是當前數(shù)學教育工作者面臨的迫切問題. 筆者以“數(shù)列的概念”教學為例，通過對學習目標、教學內(nèi)容、學生認知基礎的具體分析，探索教師落實數(shù)學抽象素養(yǎng)的分析路徑與教學實踐.

數(shù)學抽象的分析路徑

1. 分析學習目標，尋找數(shù)學抽象的著眼點

《課程標準》對“數(shù)列概念”提出的學習要求為：“通過日常生活和數(shù)學中的實例，了解數(shù)列的概念和表示方法（列表、圖象、通項公式），了解數(shù)列是一種特殊函數(shù).”對這一學習要求作如下解析.

（1）“通過日常生活和數(shù)學中的實例”表明，數(shù)列概念教學需要教師提供豐富的生活和數(shù)學實例，引導學生分析實例特點，歸納實例共同特征，抽象出數(shù)列的概念. 概念的形成過程是學生用數(shù)學的眼光觀察世界、用數(shù)學的語言表達世界的過程，是發(fā)展學生數(shù)學抽象素養(yǎng)的重要路徑.

（2）“了解數(shù)列的概念和表示方法（列表、圖象、通項公式）”表明，數(shù)列概念的學習要求是“了解”. 了解指“從具體實例中知道或舉例說明對象的有關(guān)特征；根據(jù)對象的特征，從具體情境中辨認或舉例說明對象”. 通過對行為動詞“了解”的內(nèi)涵解釋，可以確定本節(jié)課學生應該達到的結(jié)果性目標——能從生活和數(shù)學實例中歸納出數(shù)列的特征并選擇適當?shù)姆椒ū硎緮?shù)列，能自己列舉出數(shù)列的實例，能在具體的情境中辨認出一列數(shù)是否是數(shù)列. 這一結(jié)果的實現(xiàn)依賴數(shù)列概念的抽象過程是否完整，學生能否用數(shù)學方法分析“確定的順序”，從而歸納出幾列數(shù)的共同特征，抽象出數(shù)列的概念.

（3）“了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)”表明，在抽象數(shù)列概念的過程中，要始終滲透函數(shù)思想，引導學生用函數(shù)的觀點認識數(shù)列，知道數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，并能說出它的特殊性.

2. 分析教學內(nèi)容，挖掘數(shù)學抽象的著力點

學習目標的分析明確了宏觀的教學主線，而數(shù)學抽象的形成必須依附具體的教學內(nèi)容，對教學內(nèi)容的深入分析有助于教師更好地理解教材編寫意圖，精細化數(shù)學抽象教學過程.

人教A版教材圍繞數(shù)列的概念、表示、應用編寫如下：先通過三個具體實例（生活的，數(shù)學史的，數(shù)學的）引出三列數(shù)，用數(shù)學方法分析它們都是“有確定順序的”一列數(shù)，從而抽象出數(shù)列概念；根據(jù)數(shù)列概念進一步用數(shù)學方法表示數(shù)列的一般形式，明確數(shù)列是從正整數(shù)集N*（或它的有限子集｛l，2，…，n｝）到實數(shù)集R的函數(shù)；最后類比函數(shù)的表示方法，介紹數(shù)列的表示方法，解決較簡單的數(shù)列問題.

對上述教學內(nèi)容作如下分析，幫助教師挖掘在課堂教學中落實數(shù)學抽象的著力點.

（1）概念抽象過程是學生用數(shù)學的眼光觀察世界、用數(shù)學的思維表達世界的過程，是發(fā)展學生數(shù)學抽象素養(yǎng)的重要路徑，這是落實數(shù)學抽象素養(yǎng)的第一個著力點. 對于數(shù)列概念的抽象教學，不僅可以幫助學生進一步積累從大量實例中歸納事物共同特征的活動經(jīng)驗，提升學生數(shù)學抽象的能力，還可以幫助學生掌握分析有確定順序的一類事物的數(shù)學方法與技巧，為今后的學習奠定知識、方法、經(jīng)驗等基礎. 數(shù)列概念的抽象過程可以有效促使學生“在情境中抽象出數(shù)學概念、命題、方法和體系，積累從具體到抽象的活動經(jīng)驗，養(yǎng)成在日常生活和實踐中一般性思考問題的習慣”.

（2）抽象數(shù)列概念時，如何用一般的形式表示數(shù)列是本節(jié)課落實數(shù)學抽象素養(yǎng)的第二個著力點. 數(shù)學抽象既包括建立在經(jīng)驗直觀上的抽象，也包括建立在對象表達符號化和論證過程形式化上的抽象. 數(shù)列概念是學生基于真實的現(xiàn)實背景，歸納共同特征抽象得到的，這是本節(jié)課的第一次抽象. 數(shù)列的一般形式需要學生完全拋離問題背景，從特殊到具體進行一般化抽象，這是本節(jié)課的第二次抽象. 在數(shù)列一般化抽象的過程中，數(shù)列的一般形式有助于學生更好地認識數(shù)列本質(zhì).

除上述外，本節(jié)課還需要學生類比函數(shù)的表示方法來表示數(shù)列，能根據(jù)通項公式計算出數(shù)列的項，能根據(jù)前幾項推導數(shù)列的通項公式，進一步發(fā)展學生的邏輯推理與數(shù)學運算素養(yǎng)，本文暫不贅述.

3. 分析學生認知基礎，明確數(shù)學抽象的受阻點

從具體背景中抽象出數(shù)列概念、從數(shù)列概念中抽象出數(shù)列的符號表示是本節(jié)課教師發(fā)展學生數(shù)學抽象素養(yǎng)的兩個著力點，但在具體抽象時還可能存在以下受阻點.

（1）學生在義務教育階段接觸了大量排列的數(shù)，這些排列的數(shù)中有一些蘊含著明顯的規(guī)律，如“等差數(shù)列、等比數(shù)列、平方數(shù)數(shù)列”；有一些沒有明顯的規(guī)律，如“按學生序號排列的學生的身高，某學生每年獲取的壓歲錢”……受之前學習的影響，學生面對一列數(shù)時會自覺地通過運算尋找數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，這是學生研究一列數(shù)的已有經(jīng)驗. 需要明確的是，有規(guī)律的一列數(shù)是數(shù)列，但這并不是數(shù)列的本質(zhì)，數(shù)列的本質(zhì)是有“確定的順序”，因此本節(jié)課的困難在于如何讓學生用數(shù)學方法刻畫這個“確定的順序”. 學生既想不到用數(shù)學方法刻畫“確定的順序”，也沒有類似的數(shù)學活動經(jīng)驗可以借鑒，這是學生進行數(shù)學抽象的第一個受阻點. 克服這一困難的關(guān)鍵是教師要引導學生分析并運用好第一個實例，從第一個實例中獲取分析這一類問題的數(shù)學方法與技巧，并教學生學會運用“同樣的方法分析類似的實例”，逐步積累刻畫“確定的順序”的數(shù)學活動經(jīng)驗，為歸納三個實例的共同特征，抽象數(shù)列概念奠定基礎.

（2）“如何用一般的形式表示數(shù)列”是學生進行數(shù)學抽象的第二個受阻點. 首先，數(shù)列一般形式的形成需要學生對三個實例進行一般化抽象，將數(shù)列的描述性定義“翻譯”成數(shù)學表達式，用更加簡潔的符號語言刻畫“確定的順序”，這是繼前面用自然語言刻畫“確定的順序”的進一步擴展，對培養(yǎng)學生的抽象思維是一種挑戰(zhàn). 其次，要引導學生在不斷試錯的過程中，感受用“a_１，a_２，a_３，a_４，…”表示數(shù)列的簡潔性和科學性，并從中發(fā)現(xiàn)數(shù)列每一項的序號與項之間的對應關(guān)系，從而更加準確地理解數(shù)列是“從正整數(shù)集N*（或它的有限子集｛1，2，…，n｝）到實數(shù)集R的特殊函數(shù)”.

數(shù)學抽象的教學實踐

1. 用數(shù)學方法分析有順序的一列數(shù)

教師依次出示以下實例，引導學生思考解決問題.

實例1：王芳從1歲到17歲，每年生日那天測量身高，這些身高（單位：cm）依次排成一列數(shù)：75，78，96，103， 110，116，120，128，138，145，153，158， 160，162，163，165，168.

問題1：（1）這列數(shù)是如何得到的？

（2）每一個數(shù)能交換位置嗎？如何用數(shù)學符號表示每一個數(shù)的位置？你想到了怎樣的方法？

師生活動：學生回答問題，師生共同總結(jié)這列數(shù)的特點.

回答：（1）這列數(shù)是按年齡的順序（1歲，2歲，3歲……）依次得到的；

（2）每一歲生日對應著一個具體的身高，因此數(shù)字不能調(diào)換位置.

（3）王芳i歲的身高可以用h_i表示，如h₁=75表示王芳1歲生日時的身高是75 cm.

設計意圖 以學生熟悉的身高為背景創(chuàng)設問題引發(fā)學生思考討論，引導學生用數(shù)學的眼光觀察世界. 設置問題1的目的在于讓學生用數(shù)學方法深度分析“有確定順序的數(shù)”，經(jīng)歷分析一列數(shù)的過程，積累數(shù)學活動經(jīng)驗.

實例2：在兩河流域發(fā)掘的一塊泥版上（編號K90，約產(chǎn)生于公元前7世紀），有一列依次表示一個月中從第1天到第15天每天月亮可見部分的數(shù)：5，10，20，40，80，96，112，128，144，160， 176，192，208，224，240.

問題2：（1）這列數(shù)是如何得到的？

（2）每一個數(shù)能交換位置嗎？如何用數(shù)學符號表示每一個數(shù)的位置？你想到了怎樣的方法？

師生活動：學生根據(jù)實例1的數(shù)學方法，自主嘗試分析；教師根據(jù)學生的回答，補充總結(jié)這列數(shù)的特點.

回答：（1）這列數(shù)是按日期的順序（第1天，第2天，第3天……）依次得到的；

（2）每一天對應著一個具體的月亮可見部分的數(shù)，因此數(shù)字不能調(diào)換位置；

（3）月亮第i天的可見部分的數(shù)可以用s_i表示.

問題3：比較實例1、實例2中一列數(shù)的分析方法，它們有共同的特征嗎？

設計意圖 實例2引導學生仿照實例1的數(shù)學方法繼續(xù)分析一列數(shù)，使學生逐漸掌握分析一列數(shù)的數(shù)學方法與技巧，為獨自分析實例3奠定基礎.

實例3：將－1/2的1次冪、2次冪、3次冪、4次冪……依次排成一列數(shù)：－1/2，1/4，－1/8，1/16，….

問題4：你能根據(jù)前面的數(shù)學方法來分析這列數(shù)嗎？

回答：（1）這列數(shù)是按－1/2的1次冪、2次冪、3次冪……的順序得到的；

（2）每一個冪對應著一個具體的數(shù)，因此數(shù)字不能調(diào)換位置；

（3）－1/2的i次冪可以用p_i表示.

教學意圖 與實例1、實例2相比，實例3中的這列數(shù)不僅數(shù)值在變化，符號也在變化，教師要引導學生仿照實例1、實例2的數(shù)學方法分析這列數(shù)，讓學生進一步掌握用正整數(shù)集（或它的有限子集｛1，2，3，…，n｝）表示事物順序的方法. 教師要認真聆聽學生回答，及時調(diào)控課堂，根據(jù)學生的回答適當補充，得到這列數(shù)的特點.

2. 抽象數(shù)列概念及表示方法

教師引導：我們經(jīng)歷了一列數(shù)的分析過程，得到了表1所示的數(shù)學事實.

問題5：上述實例有怎樣的共同特征？

設計意圖 在學生充分討論交流的基礎上，總結(jié)三個實例的共同特征，歸納出數(shù)列的定義.

問題6：（1）你能舉出一個數(shù)列嗎？你能舉出所有的數(shù)列嗎？你怎樣解決這一問題？

（2）你能寫出數(shù)列的一般形式嗎？你能運用前面的數(shù)學方法分析你所寫的一般形式嗎？

（3）數(shù)列的一般形式“a₁，a₂，…a_n”是按怎樣的順序依次排列的？數(shù)列的項與序號兩者有怎樣的關(guān)系？說一說你的理由.

設計意圖 問題（1）引導學生列舉數(shù)列，由于數(shù)列有無限多個，不能一一列舉，根據(jù)以往的數(shù)學學習經(jīng)驗，可以考慮用字母表示數(shù)列的一般形式，自然地引出問題（2）. 學生歸納數(shù)列的一般形式，答案是多樣化的（如用a，b，c，d，…表示），教師要著重引導學生用數(shù)列的特征判斷數(shù)列的一般形式是否準確，即數(shù)列的一般形式一定能表示“每一個數(shù)有確定的位置”. 問題（3）通過分析數(shù)列的一般形式，引導學生認識到數(shù)列的項與序號兩者存在函數(shù)關(guān)系（如圖1所示），從而讓學生感受到數(shù)列是“從正整數(shù)集N*（或它的有限子集｛1，2，…，n｝）到實數(shù)集R的特殊函數(shù)”.

問題7：數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，回憶函數(shù)的學習路徑，接下來你打算研究數(shù)列的哪些知識？怎樣研究呢？

設計意圖 類比函數(shù)的學習路徑，引導學生構(gòu)建數(shù)列的學習路徑“數(shù)列的概念—數(shù)列的表示—數(shù)列的性質(zhì)—特殊數(shù)列”，為后續(xù)學習做好鋪墊.

教學活動：構(gòu)建出數(shù)列的學習路徑后，教師引導學生從函數(shù)的角度看數(shù)列，揭示數(shù)列的本質(zhì)屬性. 接著引導學生類比函數(shù)的表示方法來表示數(shù)列，介紹數(shù)列通項公式的本質(zhì)是“數(shù)列的函數(shù)解析式”，隨后解決教材例題，發(fā)展學生邏輯推理與數(shù)學運算素養(yǎng)，這里不再贅述.

結(jié)束語

數(shù)學知識是發(fā)展學生數(shù)學抽象素養(yǎng)的重要載體，首先，教師要認真學習《課程標準》對知識內(nèi)容的具體要求，分析在哪些知識的生成過程中能夠發(fā)展學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)，整體把握教學內(nèi)容，確定教學主線，清楚數(shù)學抽象的著眼點；其次，教師要深入剖析教材對知識內(nèi)容的具體呈現(xiàn)方式，理解知識的邏輯結(jié)構(gòu)與生成過程，理清知識的編排意圖，明確數(shù)學抽象的著力點，在數(shù)學抽象的關(guān)鍵環(huán)節(jié)精細化教學過程；最后，教師要分析學生的認知基礎，明確學生已有的數(shù)學知識基礎是什么，已有的數(shù)學抽象水平如何，本節(jié)課具體的數(shù)學抽象過程中可能會遇到怎樣的困難，這些問題的梳理，有助于教師精準設計教學問題，科學設置教學過程.

總之，提升學生數(shù)學抽象素養(yǎng)不是一句空洞的口號，需要教師真正理解數(shù)學、理解學生、理解教學，明確數(shù)學抽象的著眼點、著力點、受阻點，在著眼點處構(gòu)建教學主線，在著力點處細化數(shù)學抽象過程，在受阻點處精心設置教學問題，引導學生經(jīng)歷數(shù)學抽象完整的過程，積累數(shù)學抽象活動經(jīng)驗，促進學生數(shù)學抽象素養(yǎng)水平、數(shù)學學習水平的真正提升.