培養(yǎng)聯(lián)想思維　發(fā)展數(shù)學(xué)品質(zhì)

曹曄

摘? 要］ 聯(lián)想是思維發(fā)展的動(dòng)力，是提升數(shù)學(xué)解題能力的催化劑，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)揮著不可估量的作用. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，師生要重視聯(lián)想思維能力的培養(yǎng)，從而借助豐富的聯(lián)想建立良好的思維品質(zhì)，促進(jìn)學(xué)習(xí)能力不斷提升.

［關(guān)鍵詞］ 聯(lián)想；思維能力；思維品質(zhì)

數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要目的就是發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)品質(zhì). 數(shù)學(xué)品質(zhì)是一個(gè)相對(duì)宏觀的概念，只是基于簡單的經(jīng)驗(yàn)，有時(shí)候很難把握數(shù)學(xué)品質(zhì)及其發(fā)展效果，這時(shí)就需要對(duì)數(shù)學(xué)品質(zhì)提供有力的支撐. 這個(gè)支撐是什么呢？應(yīng)當(dāng)是學(xué)生的思維. 有人說“思維是世界上最美麗的花朵”，之所以這么說就是因?yàn)樗季S能夠幫助人們獲得對(duì)事物最本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，能夠幫助人們構(gòu)建不同事物之間的聯(lián)系，能夠幫助人們發(fā)現(xiàn)不同的規(guī)律. 教學(xué)原本就是教師幫助學(xué)生的過程，體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教學(xué)中，就是幫助學(xué)生建構(gòu)一個(gè)個(gè)的數(shù)學(xué)概念，獲得數(shù)學(xué)概念之間的邏輯認(rèn)識(shí).

思維本身也是一個(gè)寬泛的概念. 思維有著多種形式，人們常說的形象思維、抽象思維以及直覺思維，就是思維的一些基本形式. 除此之外，還有一種思維值得高度關(guān)注，這就是聯(lián)想思維. 聯(lián)想本身就是一種思維方式，所謂聯(lián)想，即由某一個(gè)人或事物想起其他的人或事物，由某一個(gè)概念想起其他的概念. 聯(lián)想之所以能夠發(fā)生，很大程度上是因?yàn)椤跋嚓P(guān)性”，當(dāng)兩個(gè)人、兩件事物或兩個(gè)概念之間存在著相關(guān)性時(shí)，聯(lián)想就會(huì)發(fā)生. 大量的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)表明學(xué)生的聯(lián)想思維用得越嫻熟，那么數(shù)學(xué)品質(zhì)就越高.

筆者在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生雖然有著扎實(shí)的基礎(chǔ)，然在綜合運(yùn)用時(shí)卻顯得力不從心，究其原因，與學(xué)生的聯(lián)想能力密切相關(guān). 只有會(huì)聯(lián)想才能有效串聯(lián)相關(guān)的、相似的知識(shí)，進(jìn)而提升知識(shí)轉(zhuǎn)化效率. 那么，如何激活學(xué)生的聯(lián)想思維呢？筆者借助相似聯(lián)想、類比聯(lián)想、逆向聯(lián)想、動(dòng)靜聯(lián)想等聯(lián)想思維的具體應(yīng)用，談幾點(diǎn)自己的認(rèn)識(shí)，僅供參考.

相似聯(lián)想

雖然數(shù)學(xué)題目千千萬，但很多題目具有一定的相似性，在解題教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生善于多角度觀察和聯(lián)想，找出題目中的相似屬性，從而通過相似聯(lián)想喚醒沉睡的記憶，找到解決問題的突破口，提高解題效率. 因此，在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師不能簡單地“就題論題”，而要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)圖形、公式或解法相似的題目進(jìn)行相似聯(lián)想，總結(jié)并歸類相似題目，讓學(xué)生可以“會(huì)一題，通一類”，以此提升解題效率.

在解決例1的過程中，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用相似聯(lián)想后，學(xué)生探究的熱情被迅速激發(fā)，經(jīng)過不斷猜想和嘗試發(fā)散了學(xué)生的思維. 學(xué)生的思維一旦發(fā)散了，解題思路自然就拓寬了，當(dāng)學(xué)生再遇到類似問題時(shí)解題方法也就多了，問題求解便水到渠成了.

可見，從學(xué)生熟悉的、相似的內(nèi)容出發(fā)，容易找到解題的突破口. 但對(duì)相似內(nèi)容的積累需要長期過程，為此，在日常教學(xué)中，教師要重視夯實(shí)學(xué)生的“雙基”，只有扎實(shí)的基礎(chǔ)，才能幫助學(xué)生在回憶相關(guān)或相似內(nèi)容時(shí)找到解題的切入點(diǎn)，為正確求解打開思路. 同時(shí)，教師在教學(xué)過程中要重視引導(dǎo)、訓(xùn)練和積累，進(jìn)而將知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力. 對(duì)于高中生而言，抓住不同題目之間的相似性去發(fā)展聯(lián)想思維能力，是最基本的學(xué)習(xí)方式之一. 根據(jù)筆者的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到不同題目之間的相似性，很關(guān)鍵的一點(diǎn)就是要讓學(xué)生遇到不同題目時(shí)，能夠在大腦中形成與之相似的判斷. 要做到這一點(diǎn)并不容易，這需要兩個(gè)必要條件：一是學(xué)生大腦當(dāng)中有足夠的題目，對(duì)這些題目的類型有足夠的認(rèn)識(shí)；二是學(xué)生對(duì)新的題目有準(zhǔn)確的判斷，能夠?qū)⑵渑c大腦中的具有相關(guān)性的題目聯(lián)系在一起. 前者需要學(xué)生大量積累，這個(gè)積累過程不僅僅是做題，更要對(duì)題目進(jìn)行分析、歸納，把握題目的本質(zhì)；后者需要學(xué)生有較強(qiáng)的分析能力、聯(lián)想能力. 教師在實(shí)際教學(xué)中可以先引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)不同題目之間的相關(guān)性，等到時(shí)機(jī)成熟后，再讓學(xué)生自主判斷. “看到這道題目時(shí)，同學(xué)們會(huì)想到曾經(jīng)做過的哪些題目呢？”“看到這道題目時(shí)，同學(xué)們感覺曾經(jīng)做過的哪道題目與之最相似呢？”……這樣的問題是筆者在解題教學(xué)中常常向?qū)W生提出的問題，當(dāng)學(xué)生習(xí)慣了這樣提問后，他們的聯(lián)想意識(shí)就會(huì)被激活，聯(lián)想能力也會(huì)得到提升.

類比聯(lián)想

類比聯(lián)想使學(xué)生通過不同對(duì)象的類比，找到兩者或兩類的異同，從而發(fā)現(xiàn)新問題，找到新方法，推理出新結(jié)論，串聯(lián)不同對(duì)象，將數(shù)學(xué)知識(shí)編制成一條縱橫交錯(cuò)的脈絡(luò)網(wǎng)，便于信息的提取和內(nèi)化. 在此過程中，能幫助學(xué)生找到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，感受數(shù)學(xué)思想的魅力，從而培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力的同時(shí)，發(fā)散學(xué)生的數(shù)學(xué)思維. 相比較而言，類比聯(lián)想對(duì)思維的要求更高，因?yàn)閷?duì)于兩個(gè)或兩類可以類比的對(duì)象而言，它們?cè)谛问缴纤憩F(xiàn)出來的相似性并不明顯，因此學(xué)生很難用相似聯(lián)想來發(fā)現(xiàn)關(guān)系. 這也就意味著學(xué)生面對(duì)新的問題時(shí)，需要通過自身分析，發(fā)現(xiàn)新的問題在解決的時(shí)候會(huì)用到哪些方法，用到哪些思路，然后對(duì)這些思路和方法進(jìn)行總結(jié)，最后再到大腦當(dāng)中去尋找與之類似的問題以及具體的解題思路進(jìn)行類比. 這樣就可以在新舊問題之間形成相關(guān)性認(rèn)識(shí)，從而保證類比聯(lián)想發(fā)生. 因此，在教學(xué)中，教師要多引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類比聯(lián)想，從而完成教學(xué)優(yōu)化，提高課堂效率.

例2 設(shè)f（x）與g（x）互為反函數(shù)，且f（p+q）=f（p）·f（q），證明：g（m+n）=g（m）·g（n）.

例2的題設(shè)信息看似簡單，然問題較為抽象，大部分學(xué)生難以找到解題思路. 為此，解題時(shí)教師可以引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想到函數(shù)f（x）=ax，g（x）=logax（a>0且a≠1）. 這樣通過類比聯(lián)想，很快就形成了解題思路，即設(shè)m=f（p），n=f（q），則p=g（m），q=g（n），f（p+q）=f（p）·f（q）=m·n，因此g（m·n）=g（m）+g（n）.

在例2的證明過程中，當(dāng)學(xué)生思維受阻時(shí)，教師及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類比聯(lián)想，將新結(jié)論與舊知識(shí)相類比，激活了學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)和已有知識(shí)，找到了解決問題的方法. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要重視類似思維的滲透，以此幫助學(xué)生通過類比挖掘出新知識(shí)、新方法，幫助學(xué)生建立解題信心，讓數(shù)學(xué)思維在不斷類比和聯(lián)想中得到質(zhì)的提升. 值得一提的是，教師在教學(xué)時(shí)，要有強(qiáng)烈的聯(lián)想意識(shí)，要有教學(xué)的整體性認(rèn)識(shí)，要能夠?qū)⒁欢螘r(shí)間內(nèi)的教學(xué)看作一個(gè)整體，在前面習(xí)題教學(xué)的時(shí)候，就要善于埋下“種子”，然后在后面提供與這些種子相關(guān)的題目——這里所說的相關(guān)當(dāng)然是指解題方法上的相關(guān)，而不是外在形式上的相關(guān). 當(dāng)學(xué)生能夠從解題方法、思路以及技巧等角度進(jìn)行類比時(shí)，學(xué)生也就進(jìn)入了一個(gè)深度思考的狀態(tài). 這樣的學(xué)習(xí)過程是一個(gè)深度學(xué)習(xí)的過程，能夠有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)品質(zhì).

逆向聯(lián)想

數(shù)學(xué)是一門邏輯性較強(qiáng)的學(xué)科，很多學(xué)生在求解一些較為抽象和復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時(shí)因找不到合理的方法而喪失解題信心. 眾所周知，很多事物存在正反兩面，數(shù)學(xué)題目同樣具備這一特征.因此，當(dāng)學(xué)生應(yīng)用常規(guī)解題思路求解受阻時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生嘗試從問題的反面入手，利用逆向思維，深入考慮問題的對(duì)立面，這樣有時(shí)會(huì)得到意外驚喜. 同時(shí)，逆向聯(lián)想有助于學(xué)生邏輯思維能力的培養(yǎng)，有助于學(xué)生解題能力的提升. 很顯然，逆向思維是一種高階思維，逆向聯(lián)想是高階思維的表現(xiàn). 很多時(shí)候，一個(gè)學(xué)生之所以數(shù)學(xué)學(xué)得好，就是因?yàn)槠淠嫦蚵?lián)想能力比較強(qiáng). 逆向聯(lián)想能力是邁向更高數(shù)學(xué)品質(zhì)的重要臺(tái)階，是高中數(shù)學(xué)教學(xué)，尤其是習(xí)題教學(xué)的重要著力點(diǎn).

例3 如圖1所示，已知正三角形ABC的邊長為2，點(diǎn)A在x軸的正方向上移動(dòng)，點(diǎn)B在以x軸正方向?yàn)槭歼叺?5°角的終邊上滑動(dòng)，試求點(diǎn)C到原點(diǎn)O的最大距離.

本題求解中，學(xué)生習(xí)慣從已知條件出發(fā)，試圖通過觀察和分析點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)情況去找解題的突破口，然因題目較為復(fù)雜，大多數(shù)學(xué)生并沒有找到解決問題的切入點(diǎn)，思路受阻. 因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)問題更能考查學(xué)生思維的靈活性，所以受到不少出題者的青睞，為此教師要讓學(xué)生在解決此類問題的過程中有所感悟，有所提升.

數(shù)學(xué)問題一般是復(fù)雜多變的，當(dāng)使用常規(guī)思路難以求解時(shí)，要學(xué)會(huì)改變思路，從不同角度重新尋找解題的突破口. 例如本題，當(dāng)從點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)情況直接入手求解碰壁時(shí)，就從問題的反面出手，將靜點(diǎn)O轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)，利用逆向思維尋求合理的切入點(diǎn)，成功地解決了問題. 教師應(yīng)多鼓勵(lì)學(xué)生多角度觀察，從不同的角度去嘗試解決問題，在解決問題的過程中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

動(dòng)靜聯(lián)想

面對(duì)動(dòng)點(diǎn)問題很多學(xué)生都會(huì)出現(xiàn)畏難情緒，因?yàn)椴淮_定而難以找到解決問題的合理切入點(diǎn)，難以形成解決思路. 然“動(dòng)”與“靜”是相對(duì)的，當(dāng)利用“動(dòng)”難以找到解題的突破口時(shí)不妨化“動(dòng)”為“靜”，通過動(dòng)靜聯(lián)想，動(dòng)靜轉(zhuǎn)化，幫助學(xué)生突破思維障礙，得到另外一番精彩.

例4是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)問題，一般此類問題較為抽象和復(fù)雜，而且本題中的點(diǎn)P和點(diǎn)Q都是運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)，問題更加抽象和復(fù)雜.為了化繁為簡，解題時(shí)先固定點(diǎn)P，借助“以靜制動(dòng)”的方法將問題轉(zhuǎn)化為在已知圓上找一點(diǎn)Q，使PQ最小，這時(shí)PQ必過圓心M，由此將問題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為求PM的最小值. 這樣通過動(dòng)靜轉(zhuǎn)化，問題就不難求解了.

動(dòng)靜聯(lián)想在解決動(dòng)點(diǎn)問題中的應(yīng)用較為廣泛，為了讓學(xué)生深入理解“以靜制動(dòng)”的思維方法，教師應(yīng)在教學(xué)過程中精選一些練習(xí)題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步鞏固和強(qiáng)化，相信通過長期積累，學(xué)生可以輕松克服對(duì)動(dòng)點(diǎn)問題的恐懼，使思維更加活躍，解題更加靈活.

總之，聯(lián)想在數(shù)學(xué)解題中尤為重要，它是解題時(shí)有效轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ). 因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要鼓勵(lì)學(xué)生聯(lián)想，通過多角度觀察和聯(lián)想充分挖掘?qū)W生的潛能，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力以及解題能力.