從結(jié)構(gòu)化理解，探究數(shù)學(xué)概念教學(xué)
——以“正切”為例

江蘇省宜興外國(guó)語(yǔ)學(xué)校

裴 姣

“獲得的知識(shí)，如果沒(méi)有完滿的結(jié)構(gòu)把它聯(lián)在一起，那是一種多半會(huì)被遺忘的知識(shí).”[1]布魯納的這句話告訴我們，知識(shí)要互相聯(lián)系，架構(gòu)成知識(shí)體系，才能更好地被我們理解和運(yùn)用.在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，不僅要讓學(xué)生經(jīng)歷完整的概念生成過(guò)程，也要重視知識(shí)之間的相互聯(lián)系，挖掘知識(shí)點(diǎn)之間的相通之處，把知識(shí)串起來(lái)思考與認(rèn)知.由點(diǎn)到面理解概念，更有助于學(xué)生抽象出數(shù)學(xué)概念，認(rèn)識(shí)概念的本質(zhì)，進(jìn)而培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象思維，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).下面，筆者以蘇科版九年級(jí)下冊(cè)第七章第1節(jié)“正切”(第1課時(shí))的教學(xué)為例，談?wù)劵诮Y(jié)構(gòu)化理解數(shù)學(xué)概念教學(xué)的實(shí)踐與思考.

1 教學(xué)準(zhǔn)備

1.1 教材分析

“正切”是在學(xué)生已有相似三角形相關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上，從感受臺(tái)階的傾斜程度這一實(shí)際生活問(wèn)題中，提煉出角度與三角函數(shù)值之間一一對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，建立了直角三角形中銳角和邊的關(guān)系，是對(duì)勾股定理邊和邊關(guān)系的補(bǔ)充.本章內(nèi)容分為銳角三角函數(shù)的概念、用銳角三角函數(shù)知識(shí)解直角三角形及其應(yīng)用兩個(gè)部分.正確理解“正切”的概念，既是學(xué)習(xí)“正弦、余弦”概念的基礎(chǔ)，也是理解、利用直角三角形中邊、角之間的關(guān)系解直角三角形，進(jìn)而最終解決生活中測(cè)量、工程、物理等問(wèn)題的關(guān)鍵.

1.2 教學(xué)目標(biāo)

(1)從生活問(wèn)題中探究正切的概念，認(rèn)識(shí)直角三角形中銳角的正切.

(2)會(huì)求特殊角度的正切值.

(3)初步感悟模型思想、數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)抽象思維能力.

1.3 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：掌握銳角的正切概念，會(huì)求銳角的正切值.

難點(diǎn)：理解角度與正切函數(shù)值之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.

1.4 學(xué)情分析

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了相似三角形的知識(shí)，具備運(yùn)用相似的性質(zhì)來(lái)解釋只要銳角確定，這個(gè)銳角在不同直角三角形中對(duì)邊與鄰邊的比值也是確定的.學(xué)生已經(jīng)具備了借助圖形找出直角三角形中邊、角之間關(guān)系的能力.

2 教學(xué)過(guò)程

2.1 情境化感知概念

情境引入：圖1中哪個(gè)臺(tái)階更陡？

圖1

通過(guò)觀察，學(xué)生能發(fā)現(xiàn)右圖更陡，因?yàn)樗膬A斜角度更大.

設(shè)計(jì)意圖：從熟悉的生活情境入手，根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生能感知到，傾斜角度越大斜坡越陡.教師引導(dǎo)，除了角度外還能根據(jù)直角邊來(lái)考慮傾斜程度，把實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，抽象出直角三角形模型，從而把焦點(diǎn)轉(zhuǎn)移到直角三角形中兩條直角邊的關(guān)系上.

2.2 探究中觸及概念

探究一：圖2-1，2-2，2-3中哪個(gè)臺(tái)階更陡？你是如何判斷的？

圖2-1 圖2-2 圖2-3

學(xué)生比較圖2-1,2-2，發(fā)現(xiàn)水平距離都是8時(shí)，垂直高度大的臺(tái)階陡些；比較圖2-2，2-3，當(dāng)垂直高度都是6時(shí)，水平距離短的臺(tái)階陡些；從而可以得出圖2-2中的臺(tái)階最陡.教師追問(wèn),圖2-1，2-3中沒(méi)有一條直角邊相同該怎么比較呢？學(xué)生聯(lián)想到可以構(gòu)造有一邊相同的相似三角形，且不改變臺(tái)階的傾斜角度.如圖3，在圖2-3中作出水平長(zhǎng)度為8的相似三角形，運(yùn)用相似比算出水平高度是4.8，得出圖2-3中的臺(tái)階比第圖2-1中的臺(tái)階略陡些.同樣，把圖2-1中的水平距離放大為10，運(yùn)用相似比計(jì)算出水平高度是5，也能得到相同的結(jié)果.

圖3

圖4

追問(wèn)：已知兩條直角邊，你有比較的方法嗎？

通過(guò)上面的思考，學(xué)生知道需在一條直角邊相等的情況下，再比較另一條直角邊，相似是轉(zhuǎn)化的知識(shí)支撐.引導(dǎo)學(xué)生把圖2-1，2-2，2-3都轉(zhuǎn)化為水平長(zhǎng)度為1的直角三角形，運(yùn)用相似比算出各自的垂直高度.當(dāng)水平長(zhǎng)度都是1時(shí)，圖2-1，2-2，2-3中三個(gè)臺(tái)階的垂直高度分別為0.5,0.75,0.6，如圖4.在同一幅圖中，哪個(gè)臺(tái)階更陡，結(jié)果更為直觀.進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，計(jì)算出的垂直高度就是直角三角形兩直角邊的比值，通過(guò)比值的大小就能比較“陡”的程度高低.

設(shè)計(jì)意圖：提供三個(gè)邊長(zhǎng)不同的直角三角形，意在讓學(xué)生感受直角邊長(zhǎng)度能影響臺(tái)階“陡”的程度，在逐步探究中明晰思路，除了傾斜角外，兩條直角邊的比值也能確定臺(tái)階“陡”的程度.

探究二：比較圖5的兩個(gè)臺(tái)階，你有什么發(fā)現(xiàn)？

根據(jù)圖中標(biāo)識(shí)的數(shù)據(jù)，學(xué)生能判定兩個(gè)三角形相似，推導(dǎo)出兩個(gè)臺(tái)階的傾斜角相等.

圖5

設(shè)計(jì)意圖：探究二提供的相似三角形是兩個(gè)直角三角形關(guān)系的特殊化，在從一般到特殊的過(guò)程中，學(xué)生鎖定的思考路徑是利用直角三角形兩條直角邊的比值來(lái)確定臺(tái)階陡的程度，為下文給出正切的概念做好了充分的鋪墊，讓學(xué)生在豐富的素材中增強(qiáng)感受和體驗(yàn).通過(guò)探究讓學(xué)生經(jīng)歷概念形成的全過(guò)程，增強(qiáng)學(xué)生的體驗(yàn)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和抽象思維特點(diǎn).

2.3 提煉中表征概念

探究三：如果銳角A的大小確定，我們可以做出無(wú)數(shù)個(gè)以銳角A為內(nèi)角的直角三角形.

圖6

(2)改變∠A的大小，(1)中的等式成立嗎？

(3)(1)中等式的比值隨著∠A的變化而變化嗎？

根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，(1)中的等式成立；當(dāng)∠A變化時(shí)，(2)中等式仍然成立；(3)中等式的比值隨著∠A的變化而變化.歸納：如果直角三角形的一個(gè)銳角的大小確定，那么這個(gè)銳角的對(duì)邊與鄰邊的比值也確定.

圖7

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生在原有知識(shí)基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)觀察與分析，操作與思考，感悟出相似直角三角形的邊與邊的比值隨著銳角的變化而改變，當(dāng)銳角的大小確定時(shí)，比值也確定.初步建立起函數(shù)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，滲透模型思想，這樣利用直角三角形來(lái)定義“正切”就水到渠成.

2.4 運(yùn)用中深化概念

例1如圖8，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，求tanA.

分析：首先運(yùn)用勾股定理求出直角邊BC，再根據(jù)正切概念求銳角A的正切值.

圖8

圖9

例2如圖9,已知等邊三角形ABC，求tanA.

分析：添加輔助線構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用等邊三角形“三線合一”、勾股定理求出銳角A的對(duì)邊與鄰邊之比.

設(shè)計(jì)意圖：正切概念起源于直角三角形，運(yùn)用正切函數(shù)解決問(wèn)題就要放到直角三角形這一幾何背景中.從例1到例2體現(xiàn)了從現(xiàn)成的直角三角形發(fā)展為構(gòu)造直角三角形，讓學(xué)生明確運(yùn)用概念的條件.在例題求解中，學(xué)生認(rèn)識(shí)到正切值是一個(gè)比值，沒(méi)有單位，tanA是一個(gè)整體，不能拆開(kāi)，通過(guò)初步運(yùn)用概念，深化對(duì)概念的理解.

2.5 結(jié)構(gòu)化理解概念

正切函數(shù)是銳角三角函數(shù)的一種，理解正切概念需有相似三角形的知識(shí)儲(chǔ)備，正切函數(shù)在測(cè)量等實(shí)際問(wèn)題中運(yùn)用廣泛.正切概念生成過(guò)程如圖10所示.

圖10

3 教學(xué)思考

3.1 豐富學(xué)生體驗(yàn)，促進(jìn)概念生成

數(shù)學(xué)概念課，若把只介紹概念、講清楚例題、讓學(xué)生會(huì)用作為課堂達(dá)成度的標(biāo)準(zhǔn)，那么，這樣的概念教學(xué)課只完成了知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)，學(xué)生只能學(xué)到知識(shí)點(diǎn)和解題方法，但思維和能力并沒(méi)有得到提升.數(shù)學(xué)概念教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生從身邊熟悉的素材入手，用數(shù)學(xué)的眼光去觀察、思考問(wèn)題，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表征概念和自我建構(gòu)，這樣概念的產(chǎn)生才會(huì)順理成章，學(xué)生也能欣然接受.

3.2 滲透數(shù)學(xué)思想，深化概念認(rèn)知

本課中，正切概念生成后，還需要表達(dá)和運(yùn)用概念，達(dá)成對(duì)概念的深層認(rèn)知.在運(yùn)用正切表達(dá)和解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生不斷感悟模型思想，銳角的正切值隨著銳角的變化而變化，相等的銳角正切值相等，跟所在直角三角形的大小無(wú)關(guān)，從模型思想中進(jìn)一步體會(huì)正切概念的本質(zhì).本課中，也處處蘊(yùn)含數(shù)形結(jié)合思想，分析題意，畫出圖形，結(jié)合圖形從直觀處體會(huì)邊和角之間的關(guān)系，理解概念的實(shí)質(zhì)，體現(xiàn)數(shù)與形巧妙結(jié)合，更有助于概念的形成與運(yùn)用.

3.3 結(jié)構(gòu)化理解概念，培養(yǎng)學(xué)生抽象素養(yǎng)

數(shù)學(xué)具有整體性，數(shù)學(xué)知識(shí)前后貫通，上下關(guān)聯(lián).概念教學(xué)要充分挖掘知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)和延伸點(diǎn)，尋求新舊知識(shí)的關(guān)聯(lián)，實(shí)現(xiàn)新舊知識(shí)的轉(zhuǎn)化，構(gòu)建成知識(shí)體系.讓學(xué)生對(duì)概念的理解從表象化發(fā)展為本質(zhì)化，從形式化發(fā)展為結(jié)構(gòu)化，在建構(gòu)知識(shí)體系的同時(shí)，培養(yǎng)理性思考的習(xí)慣與創(chuàng)新意識(shí)，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).