一題多解，各美其美
——以一道幾何題的解法探究為例

宿城第一初級(jí)中學(xué)

劉旭東 饒磊磊

一題多解，就是在不同視角下對(duì)問(wèn)題進(jìn)行剖析與探究.一題多解，既有助于開(kāi)闊解決問(wèn)題的思路,提高解決問(wèn)題的能力，又可以最大限度地挖掘?qū)W生已有知識(shí)的潛在能力；它有利于培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力,發(fā)散學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)．

本文主要探究下列問(wèn)題第(2)問(wèn)的解法，剖析其解決的策略以及對(duì)教學(xué)的啟迪,以供各位同仁參考，并歡迎指正.

1 問(wèn)題呈現(xiàn)

圖1

問(wèn)題如圖1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是正方形ABCD的邊AB，BC的中點(diǎn)，DE與AF交于點(diǎn)H,連接BH.

(1)寫出線段DE與AF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明；

(2)求∠BHD的度數(shù).

2 思路分析

該題是由北師大版九年級(jí)上冊(cè)“正方形”這一節(jié)例題改編而來(lái)，以正方形為背景考查兩條線段之間的關(guān)系及求角的度數(shù).對(duì)于第(1)小問(wèn)，我們可以通過(guò)證明△ADE≌△BAF，得DE=AF,∠EAF=∠EDA，∠AED=∠BFA,進(jìn)一步可得∠EHA=90°，從而AF與DE垂直且相等；第(2)問(wèn)求角的度數(shù)，思考的角度較多，可以直接求解，亦可考慮用該角和其他角的關(guān)系，利用三角函數(shù)等方法求解.第(2)問(wèn)思路寬，解法多，極具探究?jī)r(jià)值，具體策略如下.

圖2

3 特色解法

策略一:將∠BHD放到四邊形DCBH中，靈活利用其內(nèi)角間的關(guān)系進(jìn)行求解.

解法1：如圖2，延長(zhǎng)AF至點(diǎn)M，使得FM=AF，連接CM，HC，易證△ABF≌△MCF.

故∠BCM=90°，即點(diǎn)D，C，M共線,且AB=MC=DC,從而得到點(diǎn)C為DM的中點(diǎn).

由(1)知AF⊥DE，即∠MHD=90°.

由DC=BC，得HC=BC.

故∠CBH=∠CHB,∠CHD=∠CDH.

因?yàn)椤螧CD+∠CDH+∠DHB+∠CBH=360°，所以∠CDH+∠DHB+∠CBH=270°.

即∠CBH+∠BHC+∠CHD+∠CDH=270°.

故∠BHC+∠CHD=135°，從而∠BHD=135°.

圖3

解法2：如圖3，取AD的中點(diǎn)G，連接HG，GC.

易證△ABF≌△CDG.

于是AF=GC.又因AG=FC，所以四邊形AGCF為平行四邊形，則AF∥GC.

由(1)知AF⊥DE，則GC⊥ED.

又易得HG=DG,所以GC是線段HD的垂直平分線，故HC=DC=BC.

故∠CBH=∠BHC，∠CHD=∠CDH.

因?yàn)椤螧CD+∠CDH+∠DHB+∠CBH=360°，

所以∠CDH+∠DHB+∠CBH=270°.

即∠CBH+∠BHC+∠CHD+∠CDH=270°.

故∠BHC+∠CHD=135°，從而∠BHD=135°.

策略二:利用四點(diǎn)共圓來(lái)找到已知角和未知角的關(guān)系，從而到達(dá)事半功倍的效果.

圖4

解法3：如圖4，連接EF，取EF的中點(diǎn)O，連接BO，HO.

因?yàn)椤鰾EF為等腰直角三角形，△EHF為直角三角形，所以BO=HO=OF.

即點(diǎn)B，H，F(xiàn)在以O(shè)為圓心OB為半徑的圓上.

易得∠BHD=∠BHF+∠FHD=135°,即∠BHD=135°.

圖5

解法4：如圖5，延長(zhǎng)AF至點(diǎn)M，使得FM=AF，連接CM，HC.易證△ABF≌△MCF，則∠BCM=90°.

所以點(diǎn)D，C，M共線，且AB=MC=DC,則點(diǎn)C為DM的中點(diǎn).

由(1)知AF⊥DE，即∠MHD=90°.

由DC=BC，得HC=BC.

由DC=BC=HC=CM，得點(diǎn)D，H，B，M在以點(diǎn)C為圓心，以CD為半徑的圓上.

因?yàn)椤螧CD=90°，所以優(yōu)弧BD所對(duì)的圓心角為270°,進(jìn)而∠BHD=135°.

圖6

解法5:如圖6，由(1)知AF⊥DE，即∠EHF=90°.

又由∠ABC=90°，可得

∠ABC+∠EHF=180°.

所以四邊形BEHF對(duì)角互補(bǔ).

因此B，E，H，F(xiàn)四點(diǎn)共圓.

于是∠BHF=∠BEF=45°.

故∠BHD=135°.

策略三:由第(1)問(wèn)可知，AF與DE垂直，所以∠FHD=90°，所以求解∠BHD可轉(zhuǎn)化為求解∠BHF；利用∠BHD與∠EHB的互補(bǔ)關(guān)系，亦可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求∠EHB.而求∠BHF或∠EHB可以放到等腰直角三角形或者正方形中.

圖7

解法6：如圖7，連接EF，取EF的中點(diǎn)O，連接BO，HO.

由△EBF為等腰直角三角形，△EHF為直角三角形，得BO=HO=EO=OF，△BOF為等腰直角三角形.

所以∠OBH=∠OHB，∠OHF=∠OFH，∠OBF+∠OFB=90°.

又因?yàn)椤螧HF+∠HBF+∠HFB=180°，所以可得2∠OHB+2∠OHF+∠OBF+∠OFB=180°.

所以∠OHB+∠OHF=45°，即∠BHF=45°，∠BHD=∠BHF+∠FHD=135°.

故∠BHD=135°.

解法7：如圖8，作BM∥AF，HM⊥BM，BN⊥AF.易證四邊形BMHN為矩形，△AHE≌△BNF，△BME≌△AHE.

故BM=AH=BN，即四邊形BMHN為正方形.

由∠BHF=∠BHE=45°，得

∠BHD=∠BHF+∠FHD=135°.

圖8

圖9

解法8：如圖9，延長(zhǎng)DE，CB交于點(diǎn)O，作MB⊥HB交DE延長(zhǎng)線于點(diǎn)M.易證△OBE≌△DAE，△OBM≌△ABH，△MBH為等腰直角三角形.

故∠MHB=45°，即∠BHD=135°.

圖10

解法9：如圖10，作BQ⊥HB交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q.

由∠HBQ=90°，可得

∠HBF+∠FBQ=90°.

又∠ABC=90°，則有

∠HBF+∠ABH=90°，

∠ABC+∠EHF=180°.

所以∠ABH=∠FBQ，∠BEH+∠BFH=180°.

又因?yàn)椤螧FQ+∠BFH=180°，所以可得

∠BEH=∠BFQ.

又因?yàn)锽F=BE，所以△EHB≌△FQB.

于是BQ=BH，即△BHQ為等腰直角三角形.

所以∠BHQ=45°.

故∠BHD=∠BHF+∠FHD=135°.

4 結(jié)語(yǔ)

本題可以從特殊的三角形、四邊形相關(guān)知識(shí)、四點(diǎn)共圓、圖形的運(yùn)動(dòng)等方面進(jìn)行思考，此外，亦可用坐標(biāo)、向量、三角函數(shù)等方法.題目的多角度思考大大激發(fā)了學(xué)生的發(fā)散性思維.在教學(xué)中，適當(dāng)?shù)貙?duì)問(wèn)題進(jìn)行延伸、拓展，可以拓寬知識(shí)點(diǎn)間的橫向聯(lián)系，可以加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的縱向認(rèn)識(shí)，從而變孤立題目或單個(gè)題目的教學(xué)為對(duì)一類問(wèn)題的學(xué)習(xí)．

一個(gè)問(wèn)題可能有多種解法，我們要學(xué)會(huì)從多角度來(lái)思考問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，做到融會(huì)貫通，舉一反三．解題教學(xué)要立足課標(biāo)、教材，關(guān)注核心知識(shí)、基本圖形，加深對(duì)圖形結(jié)構(gòu)的理解，加深對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，加強(qiáng)思維引導(dǎo).在過(guò)程性教學(xué)中發(fā)展學(xué)生的探究意識(shí)，使得解法自然生成，真正將知識(shí)落到實(shí)處.引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合題目的特點(diǎn)一題多解，一題多變，拓寬思路，幫助學(xué)生在變式訓(xùn)練中發(fā)展思維的靈活性與發(fā)散性，提升解題能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)洞察力，引領(lǐng)并促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在平時(shí)的教學(xué)中落地生根．