實(shí)踐性作業(yè)：推動(dòng)學(xué)生思維向更深處漫溯
——以“大樹(shù)身高是多少”為例

江蘇省徐州市睢寧縣第二中學(xué)

孫紅梅

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》指出：動(dòng)手實(shí)踐、自主探究、合作交流是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要實(shí)現(xiàn)從書(shū)本知識(shí)到生活知識(shí)的華麗轉(zhuǎn)身，需要在具體的實(shí)踐當(dāng)中運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)，不斷地發(fā)展數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng).實(shí)踐性作業(yè)就是從學(xué)生的“學(xué)”開(kāi)始，抵達(dá)數(shù)學(xué)的“用”，在參與中不斷發(fā)展操作能力，獲得思維的進(jìn)階、能力的提升.數(shù)學(xué)實(shí)踐性作業(yè)既是數(shù)學(xué)課堂知識(shí)的有效強(qiáng)化，也是學(xué)生數(shù)學(xué)生活的充分體驗(yàn).在實(shí)踐中，可以不斷地發(fā)展學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，將數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際生活密切地聯(lián)系起來(lái)，培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力.

1 豐富實(shí)踐猜想，讓思維啟航

數(shù)學(xué)伴隨著人類(lèi)生活的始終，是人類(lèi)思維不斷發(fā)展、分化的結(jié)果，也是人類(lèi)勞動(dòng)的重要工具[1].在數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計(jì)中，教師要關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際生活的聯(lián)系.如，近期校園的中心花園新種植了一棵高大的香樟樹(shù).這棵郁郁蔥蔥、莖直挺拔的大樹(shù)頓時(shí)成為了學(xué)生關(guān)注的焦點(diǎn).這棵香樟樹(shù)有多高，也成為了學(xué)生關(guān)心的問(wèn)題之一.利用已有的知識(shí)進(jìn)行猜測(cè)與驗(yàn)證，是讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)向?qū)嶋H生活轉(zhuǎn)變的內(nèi)在學(xué)習(xí)邏輯.

1.1 基于知識(shí)的聯(lián)系性

九年級(jí)“銳角三角函數(shù)”是初中數(shù)學(xué)知識(shí)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn).在正常的教學(xué)活動(dòng)與作業(yè)設(shè)計(jì)中，教師一般都是直接出示題目，根據(jù)已有數(shù)據(jù)，利用知識(shí)原理進(jìn)行計(jì)算，幫助學(xué)生鞏固知識(shí)，使學(xué)生具備基本解題能力.從知識(shí)的聯(lián)系出發(fā)，將本課的數(shù)學(xué)方法運(yùn)用到生活中，基于知識(shí)與生活的聯(lián)系，將這種能力轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)實(shí)踐，不僅能夠考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握程度，還能夠不斷指向?qū)W生解決問(wèn)題能力的發(fā)展，幫助學(xué)生建構(gòu)起“銳角三角函數(shù)”的知識(shí)支架.

1.2 基于生活的豐富性

知識(shí)來(lái)源于生活，服務(wù)于生活.在具體的生活實(shí)踐中，“銳角三角函數(shù)”運(yùn)用范圍較廣，廣泛存在于人們的生產(chǎn)生活中.如，施工隊(duì)鋪設(shè)斜坡臺(tái)階、船舶離泊應(yīng)用、車(chē)輛測(cè)速裝置應(yīng)用等，都需要用到銳角三角函數(shù)知識(shí).但這些知識(shí)在書(shū)本上是“靜默”的，需要教師根據(jù)知識(shí)運(yùn)用到生活的具體路徑，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移，讓“靜默”的知識(shí)生動(dòng)起來(lái)，活潑起來(lái)，“立”在課堂中央.因此，將一些生活中不能直接測(cè)量的數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)知識(shí)的轉(zhuǎn)換，變成可“測(cè)量”的問(wèn)題，既考查了學(xué)生解決問(wèn)題的能力，也豐富了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的場(chǎng)景，促進(jìn)了學(xué)生思維的發(fā)展.

1.3 基于方法的多元性

解決“大樹(shù)身高是多少”的方法很多.比如，“測(cè)影長(zhǎng)法”，即借助同一時(shí)間段物體的高度與影長(zhǎng)之間的比例關(guān)系，通過(guò)建立相似三角形，利用“相似比”進(jìn)行測(cè)量；“標(biāo)桿測(cè)量法”，即將“梯形問(wèn)題”轉(zhuǎn)換為“三角形問(wèn)題”，采取相似比列方程的方式解決問(wèn)題；“鏡中倒影法”，即根據(jù)鏡面對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，借助三角形相似原理進(jìn)行對(duì)應(yīng)邊的計(jì)算，得出結(jié)論；還有“直接測(cè)量法”等.數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)的作業(yè)設(shè)計(jì)應(yīng)該是開(kāi)放的，能夠讓學(xué)生根據(jù)學(xué)習(xí)能力與方法運(yùn)用選擇不同的解決路徑.

2 開(kāi)啟實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，讓思維揚(yáng)帆

中學(xué)階段學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了形象思維向抽象思維的過(guò)渡，但是對(duì)于一些概念性的知識(shí)，如果沒(méi)有經(jīng)歷生活化的建構(gòu)，就容易處于一種“似懂非懂”的境地.教師搭建實(shí)踐性作業(yè)通道，有助于學(xué)生思維活動(dòng)揚(yáng)帆遠(yuǎn)航，讓學(xué)生在了解知識(shí)、運(yùn)用知識(shí)的同時(shí)，通過(guò)實(shí)踐性作業(yè)深刻感受知識(shí)存在的價(jià)值與意義，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的有效遷移.

2.1 確立實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)

在“大樹(shù)身高是多少”的作業(yè)設(shè)計(jì)時(shí)，教師需要從科學(xué)的實(shí)驗(yàn)方法入手，讓學(xué)生的思維“活”起來(lái).一是通過(guò)具體的操作，利用已有的知識(shí)理解測(cè)量柱狀物體高度的方法，發(fā)現(xiàn)其知識(shí)依據(jù)；二是通過(guò)學(xué)生的實(shí)踐參與，不斷地發(fā)展學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，將學(xué)生的數(shù)學(xué)思維從知識(shí)向生活過(guò)渡；三是借助小組活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生合作探究的意識(shí).“大樹(shù)身高是多少”的問(wèn)題意義不在于具體地了解大樹(shù)的高度，而是讓學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思維方法，經(jīng)歷“銳角三角函數(shù)”知識(shí)的建構(gòu)過(guò)程，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的有效遷移，獲得能力的有效發(fā)展，指向發(fā)散性思維的進(jìn)階發(fā)展與運(yùn)用.

2.2 進(jìn)行小組分工

在中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)踐性作業(yè)的實(shí)施過(guò)程中，教師要關(guān)注團(tuán)隊(duì)合作的作用.懷特海在《教育的目的》一書(shū)中指出：“教育要從個(gè)體走向群體，要在集體中發(fā)揮大家的智慧，在相互賦能中共同發(fā)展.”[2]“大樹(shù)身高是多少”數(shù)學(xué)實(shí)踐作業(yè)需要在小組合作學(xué)習(xí)中完成對(duì)“測(cè)量”方法的運(yùn)用.首先，以學(xué)習(xí)小組為單位，確定測(cè)量大樹(shù)的身高的作業(yè).組長(zhǎng)制定本小組測(cè)量方案，并組織組員共同研討，優(yōu)化方案.其次，準(zhǔn)備測(cè)量用具.在測(cè)量的過(guò)程中，測(cè)量用具有顯性的物質(zhì)工具，如標(biāo)桿、卷尺、記錄單等；也有隱性的測(cè)量用具，如風(fēng)向、光線、天氣等.再次，進(jìn)行小組成員間的任務(wù)分工.有的負(fù)責(zé)方案設(shè)計(jì)，有的負(fù)責(zé)工具準(zhǔn)備，有的負(fù)責(zé)測(cè)量結(jié)果記錄，有的負(fù)責(zé)表格填寫(xiě)，有的負(fù)責(zé)數(shù)據(jù)計(jì)算.最后，進(jìn)行小組總結(jié).根據(jù)小組的活動(dòng)過(guò)程，每名小組成員完成一份作業(yè)報(bào)告.在數(shù)學(xué)實(shí)踐性作業(yè)的小組分工中，一般是將課堂學(xué)習(xí)小組分工遷移到實(shí)踐性作業(yè)分工中，這樣一方面便于課堂學(xué)習(xí)有效向課后學(xué)習(xí)過(guò)渡，另一方面也有利于指向小組學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià).

2.3 實(shí)施操作驗(yàn)證

在具體的操作實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，對(duì)于“大樹(shù)身高是多少”這個(gè)問(wèn)題的探究，學(xué)生一般能夠運(yùn)用已有的知識(shí)，聯(lián)系生活經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行具體的操作探究.主要包括四種方式.

第一種方式(如圖1)是將樹(shù)根與樹(shù)梢分別確定為A和B，然后將樹(shù)的投影另一端設(shè)置為C，再測(cè)量A和C的距離；然后拿一根標(biāo)桿DE進(jìn)行投影，測(cè)量標(biāo)桿DE的長(zhǎng)度及其影長(zhǎng)DC′；最后利用△ABC∽△DEC′，計(jì)算得出大樹(shù)的高度.

圖1

這個(gè)實(shí)踐操作活動(dòng)，有利有弊.優(yōu)點(diǎn)在于操作簡(jiǎn)單，易于測(cè)量；缺點(diǎn)在于操作實(shí)踐耗時(shí)較長(zhǎng)，易受天氣的影響.在這個(gè)過(guò)程當(dāng)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考有沒(méi)有什么方法能夠解決測(cè)量中遇到的問(wèn)題.學(xué)生進(jìn)行小組討論，借助“比”的性質(zhì)，還可以?xún)?yōu)化測(cè)量方法.

第二種方式中，小組成員也利用了“太陽(yáng)”，但是巧妙地利用了“同一時(shí)間段，物長(zhǎng)與影長(zhǎng)比值一定”的性質(zhì)，以小組成員身高為參照物，測(cè)出大樹(shù)身高，如圖2.在這個(gè)小組活動(dòng)中，為了更加接近樹(shù)高的精準(zhǔn)數(shù)值，小組4名成員先后作為“參照物”上場(chǎng)，測(cè)出大樹(shù)的高度分別為15.7 m，15.9 m，15.5 m和15.6 m，經(jīng)過(guò)計(jì)算平均值，得出大樹(shù)高度為15.7 m.

圖2

第三種方法則顯得“簡(jiǎn)單粗暴”，小組成員找來(lái)了三根竹竿，小組成員將竹竿綁在一起，然后將竹竿在與大樹(shù)平行位置立起來(lái)，通過(guò)測(cè)量竹竿的長(zhǎng)度得出大樹(shù)的高度.在實(shí)踐操作中，學(xué)生的觀察由于受到視線的影響，誤差較大.為了解決這一問(wèn)題，小組成員決定在教學(xué)樓五樓的走廊觀察，但是距離較遠(yuǎn)，同樣影響了測(cè)量的精度.

第四小組則是在地面任意一高度設(shè)置高為CD的測(cè)角儀，測(cè)量得到大樹(shù)樹(shù)梢B的仰角為a，而DE等于AC，AC直接通過(guò)卷尺測(cè)量就可以精準(zhǔn)得到具體的數(shù)值，如圖3.然后通過(guò)正切求出BE，進(jìn)而求出AB.在小組的實(shí)際操作中，組員為了能夠讓數(shù)值更為準(zhǔn)確，還設(shè)置了不同位置的點(diǎn)C，通過(guò)幾組數(shù)據(jù)求出平均值，得出大樹(shù)的高度為15.7 m.

圖3

數(shù)學(xué)實(shí)踐性作業(yè)的本質(zhì)就是讓學(xué)生進(jìn)行自主實(shí)踐，在具體的實(shí)踐活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，解決問(wèn)題，驗(yàn)證猜想.在實(shí)踐過(guò)程中，教師也需要進(jìn)行有效的指導(dǎo).如，有的小組在測(cè)量時(shí)，沒(méi)有“太陽(yáng)”，怎么辦；竹竿長(zhǎng)度不夠，如何解決；測(cè)角儀的使用是否科學(xué)；等等.這些都應(yīng)該納入實(shí)驗(yàn)操作的關(guān)鍵環(huán)節(jié)予以必要的關(guān)注，把實(shí)驗(yàn)活動(dòng)引向成功.讓學(xué)生不僅知道在操作過(guò)程中做了什么，而且要知道為什么做這些，不斷培養(yǎng)學(xué)生思考、推理、想象能力.

2.4 結(jié)論展示交流

當(dāng)實(shí)驗(yàn)操作結(jié)束后，進(jìn)行展示交流可以有效地將活動(dòng)引向思維的發(fā)展.在展示交流中，一是展示優(yōu)秀的作業(yè)報(bào)告，作業(yè)報(bào)告既要記錄實(shí)驗(yàn)的主要操作過(guò)程，也要得出接近大樹(shù)高度的測(cè)量結(jié)果；二是教師要從知識(shí)的轉(zhuǎn)換與應(yīng)用角度進(jìn)行評(píng)價(jià)，讓學(xué)生能夠在運(yùn)用知識(shí)的過(guò)程中總結(jié)出不同的方法與規(guī)律，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)以致用；三是在小組交流討論中，不斷讓學(xué)生在借鑒當(dāng)中完善實(shí)踐活動(dòng)，能夠在更豐富、更廣闊、更多元的思維活動(dòng)中獲得數(shù)學(xué)能力的發(fā)展與進(jìn)階，進(jìn)而提升對(duì)當(dāng)下知識(shí)的理解與運(yùn)用能力.

3 感受活動(dòng)價(jià)值，讓思維抵達(dá)

實(shí)踐性作業(yè)是以學(xué)生為主體、知識(shí)為載體，以能力發(fā)展為目標(biāo)的綜合性活動(dòng).在中學(xué)實(shí)踐性作業(yè)設(shè)計(jì)中，需要從學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展出發(fā)，通過(guò)具體的實(shí)踐活動(dòng)，感受活動(dòng)的價(jià)值，使學(xué)生的思維抵達(dá)具體的實(shí)際生活.

3.1 指向數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理

在“大樹(shù)身高是多少”的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，數(shù)學(xué)抽象要從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系出發(fā)，在具體對(duì)大樹(shù)身高知識(shí)的研究當(dāng)中抽象出普遍規(guī)律，并且讓學(xué)生通過(guò)具體的數(shù)學(xué)知識(shí)予以呈現(xiàn).在這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生的理性思維得以發(fā)展，抽象能力得以培養(yǎng)，問(wèn)題意識(shí)得以強(qiáng)化，有利于學(xué)生將具體的數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際活動(dòng)中形成知識(shí)結(jié)構(gòu).實(shí)踐性作業(yè)需要學(xué)生設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)的過(guò)程就是邏輯推理的過(guò)程[3].設(shè)計(jì)的活動(dòng)必須符合測(cè)量物體高度的一般方式.在準(zhǔn)備測(cè)量用具的過(guò)程中，也需要學(xué)生從探究“大樹(shù)高度”這一知識(shí)的本源出發(fā)，發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)的基本目標(biāo)，掌握實(shí)驗(yàn)的基本形式，推理探究的基本過(guò)程，建構(gòu)準(zhǔn)確的實(shí)驗(yàn)結(jié)論，進(jìn)行有效的表達(dá)與交流.

3.2 指向數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)運(yùn)算

數(shù)學(xué)建模是指在具體求大樹(shù)高度的過(guò)程中，從數(shù)學(xué)的視角提出大樹(shù)身高是多少的問(wèn)題，運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行分析，用精準(zhǔn)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行描述.這個(gè)過(guò)程就是模型建構(gòu)的過(guò)程.教師還需要從學(xué)生的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，但又不囿于已有的經(jīng)驗(yàn)，能夠不斷地進(jìn)行創(chuàng)新.實(shí)踐性作業(yè)離不開(kāi)計(jì)算，“大樹(shù)身高”需要具體的運(yùn)算，在這一過(guò)程中，學(xué)生需要準(zhǔn)確地掌握相關(guān)的運(yùn)算法則，選擇合適的運(yùn)算方法，求得準(zhǔn)確的運(yùn)算結(jié)果，得出真實(shí)的實(shí)踐結(jié)論.

3.3 指向直觀想象與數(shù)據(jù)的分析

直觀想象主要表現(xiàn)在探究過(guò)程中空間想象與感知能力的發(fā)展.在解決大樹(shù)身高是多少的過(guò)程中，基本上都需要運(yùn)用到幾何圖形.在實(shí)踐過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)具體的圖形來(lái)進(jìn)行分析、推理、論證，有助于發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的輔助手段.最后是數(shù)據(jù)的分析.學(xué)生通過(guò)研究能夠獲得有效的數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)的作用顯然不是僅僅獲得大樹(shù)的身高，還要基于這些數(shù)據(jù)能夠在生活中解決實(shí)際的問(wèn)題.比如，通過(guò)不同年份大樹(shù)身高的變化，分析了解大樹(shù)的生長(zhǎng)情況.在數(shù)學(xué)實(shí)踐性活動(dòng)中，“活動(dòng)”只是知識(shí)的載體，更需要從能力發(fā)展與品格提升角度進(jìn)行綜合考慮，指向?qū)W生的全面發(fā)展.

總之，初中實(shí)踐性作業(yè)需要從學(xué)生必備品格與關(guān)鍵能力的發(fā)展出發(fā).摒棄傳統(tǒng)的作業(yè)觀，在“雙減”背景下，真正指向?qū)W生綜合能力的發(fā)展；設(shè)計(jì)出更豐富的、更有趣的、更多元的實(shí)踐性作業(yè)，讓學(xué)生在實(shí)踐過(guò)程中增長(zhǎng)知識(shí)、發(fā)展思維，提升能力.體驗(yàn)完整的數(shù)學(xué)化生活，既是課程的使然，也是時(shí)代的要求.