應(yīng)用解題策略 提升解題質(zhì)量

朱付菊

山東省泰安長城中學(xué)

高考數(shù)學(xué)試題題型多變，靈活性強(qiáng)，部分學(xué)生對數(shù)學(xué)有畏難情緒，影響學(xué)習(xí)的積極性.但若掌握好解題策略，樹立起學(xué)習(xí)的信心，數(shù)學(xué)這一難關(guān)也可以被攻破.基于此，筆者結(jié)合歷年真題進(jìn)行剖析，以期師生在復(fù)習(xí)時(shí)可以有針對性地選擇合適的解題策略進(jìn)行訓(xùn)練，以此提升解題能力.

1 公式法

公式法可謂是數(shù)學(xué)解題中最直接、最高效的策略之一，在高考選擇題和填空題中占有較大的比重，因此要重視概念、公式、定理等基礎(chǔ)知識(shí)的積累，扎實(shí)的基礎(chǔ)是高考制勝的法寶.

例1已知復(fù)數(shù)z=(5+2i)2(i為虛數(shù)單位)，則z的實(shí)部為______.

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的基本概念.

解析：z=(5+2i)2=25+20i+4i2=25-4+20i=21+20i.故實(shí)部為21.

例2在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,a2=1,a3=a5+2a4,則a6的值為.

考點(diǎn)：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.

解析：設(shè)公比為q，因?yàn)閍2=1，則由a8=a6+2a4得q6=q4+2q2,即q4-q2-2=0,解得q2=2,所以a2q4=4.故a6=4.

以上兩個(gè)題目均為高考填空題，其直接考查的就是基本概念、公式和定理的應(yīng)用.另外，分析歷年高考試卷也容易發(fā)現(xiàn)，填空題、選擇題及解答題中的一些小問題大多可以直接套用公式進(jìn)行求解，可見，公式法在解題中占有重要地位.為了讓學(xué)生應(yīng)用好公式法，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生熟練掌握教材中所涉及的概念和公式，同時(shí)要關(guān)注概念的外延和公式的變形，以讓學(xué)生在遇到涉及公式、概念等問題時(shí)可以一眼識(shí)破，從而恰當(dāng)應(yīng)用、靈活求解.

2 分類討論法

分類討論是高考的重要考點(diǎn)之一，其主要考查學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，在解此類問題時(shí)必須從整體出發(fā)，著眼于問題的本質(zhì)，通過分步實(shí)施使問題更加簡單、具體.

例3已知a，b是實(shí)數(shù)，1和-1是函數(shù)f(x)=x3+ax3+bx的兩個(gè)極值點(diǎn).設(shè)函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)g′(x)=f(x)+2，求g(x)的極值點(diǎn).

分析：由已知容易求得a=0,b=-3,因此f(x)=x3-3x.

由g′(x)=f(x)+2=x3-3x+2=(x-1)2·(x+2)=0，解得x1=x2=1,x3=-2.接下來求g(x)的極值點(diǎn)時(shí)需要對x進(jìn)行分類討論，即x<-2,-21.當(dāng)-21時(shí)，g′(x)>0,而x<-2時(shí)，g′(x)<0，故可以分成兩類進(jìn)行討論.

在解決一些綜合性問題，尤其是一題多問的題目時(shí)，往往需要綜合考慮各種限定條件，從而通過分類討論一一求解.為了讓學(xué)生形成分類討論意識(shí)，使思維更加縝密，教師在日常教學(xué)中可以選擇典型性的例習(xí)題引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散性地思考問題，從而優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)思維.

3 數(shù)形結(jié)合法

數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)中的地位是毋庸置疑的，將文字轉(zhuǎn)化為圖形或圖象可使問題更加直觀，使解題更加高效.

圖1

本題所考查的內(nèi)容為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，解題時(shí)若不能結(jié)合圖象進(jìn)行分析，將舉步維艱.將已知轉(zhuǎn)化為圖象，結(jié)合圖象進(jìn)行分析，解題也就變得水到渠成了.

在解此類題目時(shí)，學(xué)生首先應(yīng)有數(shù)形結(jié)合意識(shí)并可以根據(jù)已知準(zhǔn)確地繪制圖象，故學(xué)生的作圖能力是解決數(shù)形結(jié)合問題的關(guān)鍵.為提升學(xué)生作圖能力應(yīng)重視日常訓(xùn)練，讓學(xué)生熟練掌握各種圖象或圖形，進(jìn)而可以高效地將文字語言轉(zhuǎn)化為圖形語言.高考數(shù)形結(jié)合題目大多為函數(shù)問題，因此在復(fù)習(xí)函數(shù)時(shí)，應(yīng)著重訓(xùn)練學(xué)生根據(jù)已知條件將函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象，進(jìn)而使學(xué)生在解決此類問題時(shí)可以得心應(yīng)手.

4 添加輔助線法

添加輔助線是解答幾何問題的常用方法，輔助線往往可以成為已知通往未知的橋梁，通過合理的添加不僅可以讓已知條件更加清晰，而且可有效降低求解難度，提高解題效率.

圖2

例5已知長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=3 cm,AA1=2 cm，則四棱錐A-BB1D1D的體積為.

本題雖然考查學(xué)生對錐體體積的認(rèn)識(shí)，但解題的關(guān)鍵為添加輔助線，在高考幾何題目求解時(shí)添加輔助線為常用策略.恰當(dāng)?shù)靥砑虞o助線往往可以將題目中隱含的信息顯現(xiàn)出來，進(jìn)而幫助學(xué)生順利求解.因此，添加輔助線可謂是幾何證明的重點(diǎn)，學(xué)生要充分結(jié)合已知條件和圖形特點(diǎn)，通過觀察、分析合理添加，以此作為題目的突破口，提高解題效率和準(zhǔn)確率.

5 漸進(jìn)法

高考題有一定的難度，尤其后面的綜合題目，其不像選擇、填空題那樣，可以一目了然地知道題目所要考查的考點(diǎn)，在求解時(shí)需要逐層分析，不斷推進(jìn)，故解決此類問題時(shí)不能一蹴而就.學(xué)生首先要樹立解題的信心，通過多角度分析將問題進(jìn)行分解拆分，轉(zhuǎn)化為可以觸手可及的小問題，從而在解決簡單問題后，通過聯(lián)想、轉(zhuǎn)化找到解決綜合題目的突破口，進(jìn)而順利求解.然而通過對高考試卷的分析，發(fā)現(xiàn)在解決綜合題目時(shí)，大多數(shù)學(xué)生容易出現(xiàn)思維障礙，主要原因有兩個(gè)：其一是知識(shí)不夠系統(tǒng)化，不能找到知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系，進(jìn)而影響了遷移；其二是學(xué)生常產(chǎn)生此類題目較難的心理暗示，分析問題時(shí)急于求成，故限制了思維的發(fā)展，從而影響了解題準(zhǔn)確率.

圖3

(2)若F1C⊥AB，求橢圓離心率e的值.

本題為一個(gè)逐層深入的漸進(jìn)題，首先將BF2的方程與橢圓方程聯(lián)立進(jìn)而得到點(diǎn)A與點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)F1C⊥AB得到橢圓的離心率e.

此類問題為高考的常見題型，前面的小問題較為基礎(chǔ)，因此學(xué)生在解題時(shí)要保證基礎(chǔ)題的準(zhǔn)確率，進(jìn)而保障后面問題的順利求解.為了更好地解決此類問題，需要按章節(jié)、模塊進(jìn)行教學(xué)，從而使學(xué)生宏觀地把握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，進(jìn)而由淺入深地聯(lián)想逐層擊破難點(diǎn)，提升學(xué)生綜合知識(shí)的應(yīng)用能力.

總之，好的策略需要好的實(shí)踐，在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生從題目出發(fā)，根據(jù)實(shí)際考查內(nèi)容合理地選擇策略，通過不斷嘗試和拓展，提升解題能力.同時(shí)也要注意，各個(gè)解題策略并非孤立存在，將其有機(jī)結(jié)合往往會(huì)獲得更多驚喜.Z