一題多解，多解同道
——以2022年全國高中數(shù)學聯(lián)賽四川預賽第6題為例

張 君 李武學

四川省溫江中學

1 預賽試題

2022年全國高中數(shù)學聯(lián)賽四川預賽第6題如下：

若△ABC的三邊a，b，c滿足a2+b2+3c2=7，則△ABC面積的最大值為.

這是只有一個條件的求三角形面積的最值問題，屬于中檔題.注意到已知等式中a，b，c均帶平方，且a與b是對稱的，所以在選擇面積的表示方法時，要充分考慮到這些因素，為下一步求最大值做好鋪墊.

2 解法探究

設(shè)△ABC面積為S.

解法2：

解法3：設(shè)AB邊上的高為h，則

所以c2≤14-6c2-4h2,即7c2+4h2≤14.

解法4：設(shè)AB邊的中點為D，則

3 題后反思，探求多種解法中的一般規(guī)律

這五種解法都包含面積的表示方法和求最大值的方法兩個主要方面.

(1)面積的表示方法.因為三角形的面積公式比較多，而且用同一個公式也有不同的切入點，這就導致了這類題的解法多樣，這五種方法就是這樣產(chǎn)生的.不同的表示方法也基本決定了后面解題過程的走向和難易程度，所以選一個好的面積表示方法很重要.

(2)求最大值的方法.這五種方法求最大值的過程看起來都不一樣，但基本方法其實有共同之處：都對式子進行放縮，直到得出定值，只要掌握了選擇放縮對象的方法，基本就等于掌握了解這類題的鑰匙.因為成功的放縮必須保證等號能成立，而基本不等式一般有兩大特點：式子具有對稱性，等號成立的條件多數(shù)是變量相等.注意到條件a2+b2+3c2=7中a和b是對稱的，所以，五種解法都把由a和b組成的對稱式作為放縮的對象，這樣能保證等號成立.

從以上分析可知，選擇一種好的表示方法(在構(gòu)造出對稱式有對稱變量的情況下)作為放縮對象就是解這類問題的鑰匙.

4 變式推廣，由會解一道題到會解一類題

因為四邊形是由兩個三角形構(gòu)成的，因此，容易想到與本題條件相似的四邊形面積的最值問題，也能用類似的方法解決.

原創(chuàng)題設(shè)平面凸四邊形ABCD的四邊長分別為AB=a,BC=b,CD=c,DA=d.

(1)若a+b+c+d=8，求四邊形ABCD面積的最大值；

(2)若a2+b2+2c2+2d2=8，求四邊形ABCD面積的最大值；

(3)若3a2+3b2+3c2+d2=6，求四邊形ABCD面積的最大值.

解：設(shè)四邊形ABCD的面積為S.

當且僅當∠B+∠D=π且a=b=c=d=2，即ABCD為正方形時,S=4.

所以四邊形ABCD面積的最大值等于4.

(2)由(1)知

(3)由(1)知

16S2≤(b+c+d-a)(a+c+d-b)(a+b+d-c)·(a+b+c-d)

我們經(jīng)常說要跳出題海，提高效率.怎么才能做到這一點呢？這種解題后進行反思歸納，提煉出解題的一般規(guī)律，進而掌握一類問題解法的做法，可以收到事半功倍的效果，對提高學習效率大有好處.Z