去“絕對(duì)值符號(hào)”的幾種策略

王 文

安徽省郎溪中學(xué)

高考數(shù)學(xué)對(duì)絕對(duì)值不等式既有直接考查，也有間接考查.直接考查如選做題中的不等式選講內(nèi)容；間接考查主要體現(xiàn)在以絕對(duì)值為工具，即解題中根據(jù)需要先添加絕對(duì)值，再求解.與絕對(duì)值不等式有關(guān)的問題主要有兩種考查視角：一是解絕對(duì)值不等式；二是與絕對(duì)值不等式有關(guān)的恒成立問題.處理此類問題的關(guān)鍵是去絕對(duì)值符號(hào)，本文中給出幾種去“絕對(duì)值符號(hào)”的策略，以供參考.

1 利用絕對(duì)值的定義

例1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，不等式||x-2|-1|≤1的解集是______.

解析:由絕對(duì)值的定義，得-1≤|x-2|-1≤1，則0≤|x-2|≤2，即-2≤x-2≤2，所以0≤x≤4.

故不等式||x-2|-1|≤1的解集為[0,4].

點(diǎn)評(píng):對(duì)于 |ax+b|≤c(|ax+b|≥c) 型不等式的解法問題，可依據(jù)絕對(duì)值的定義去掉絕對(duì)值符號(hào).若c>0，則|ax+b|≤c?-c≤ax+b≤c，|ax+b|≥c?ax+b≥c或ax+b≤-c，再利用a,b的取值進(jìn)行求解.若c<0，那么|ax+b|≤c的解集為空集；|ax+b|≥c的解集為實(shí)數(shù)集.

2 利用絕對(duì)值的幾何意義

例2(2021年全國(guó)高考乙卷)已知函數(shù)f(x)=|x-a|+|x+3|.當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f(x)≥6的解集.

解析:當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=|x-1|+|x+3|，|x-1|+|x+3|表示數(shù)軸上的點(diǎn)到1和-3所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，則f(x)≥6表示數(shù)軸上的點(diǎn)到1和-3所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和不小于6.當(dāng)x=-4或x=2時(shí)所對(duì)應(yīng)的數(shù)軸上的點(diǎn)到1，-3所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)距離之和等于6，所以由數(shù)軸上到1，-3所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)距離之和大于等于6得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)范圍是x≤-4或x≥2，如圖1所示.故不等式f(x)≥6的解集為(-∞,-4]∪[2,+∞).

圖1

點(diǎn)評(píng):數(shù)軸上A,B兩點(diǎn)間的距離等于|xA-xB|，據(jù)此可將絕對(duì)值不等式轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離問題求解，直觀簡(jiǎn)潔.

3 利用平方法

解析:由已知易判斷函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間(-∞,0)內(nèi)單調(diào)遞減.

故選答案：A.

點(diǎn)評(píng):本題若直接討論去絕對(duì)值，需要分四類情況討論，過程較為繁瑣.根據(jù)偶函數(shù)的定義添加絕對(duì)值符號(hào)，再利用平方法，使問題簡(jiǎn)潔得解.

4 利用分類討論思想

零點(diǎn)分段討論法，即分別令每個(gè)絕對(duì)值符號(hào)為0，得出相應(yīng)的零點(diǎn)，這些零點(diǎn)將變量的范圍分為若干區(qū)間，在每個(gè)區(qū)間討論絕對(duì)值的符號(hào)，去絕對(duì)值.

例4(2020年全國(guó)卷I)已知函數(shù)f(x)=|3x+1|-2|x-1|.

(1)畫出y=f(x)的圖象；

(2)求不等式f(x)>f(x+1)的解集.

圖2

當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)=3x+1-2(x-1)=x+3.

所以，由此可得

其圖象如圖2所示.

(2)由f(x+1)=|3x+4|-2|x|,則f(x)>f(x+1)，化為|3x+1|-2|x-1|>|3x+4|-2|x|，即|3x+1|-2|x-1|-|3x+4|+2|x|>0.

當(dāng)x≥1時(shí)，3x+1-2x+2-3x-4+2x>0，解集為空集.

點(diǎn)評(píng)：利用分類討論法解絕對(duì)值不等式時(shí)，首先讓每個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的代數(shù)式為零，并求出相應(yīng)的根，并將這些根按從小到大排列，把實(shí)數(shù)集分為若干個(gè)區(qū)間；再分別在每個(gè)區(qū)間去掉絕對(duì)值符號(hào)得若干個(gè)不等式，解這些不等式，求出解集；最后取各個(gè)不等式解集的并集就是原不等式的解集.

5 利用數(shù)形結(jié)合思想

例5(2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)理科試題)已知函數(shù)f(x)=|x-2|,g(x)=|2x+3|-|2x-1|.

若f(x+a)≥g(x)，求a的取值范圍.

圖3

解析:函數(shù)f(x+a)=|x+a-2|，如圖3，在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫出f(x),g(x)圖象.

y=f(x+a)是y=f(x)的圖象平移了|a|個(gè)單位得到的，則要使函數(shù)f(x+a)≥g(x)，需將y=f(x)的圖象向左平移，即a>0.

點(diǎn)評(píng):利用數(shù)形結(jié)合法解絕對(duì)值不等式，關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出函數(shù)的圖象，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，本題求解中利用了f(x)與g(x)圖象之間的關(guān)系，簡(jiǎn)潔構(gòu)圖得解.

6 利用絕對(duì)值三角不等式

例6(2020年全國(guó)卷Ⅱ試題)已知函數(shù)f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|.

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求不等式f(x)≥4的解集；

(2)若f(x)≥4，求a的取值范圍.

(2)若不等式f(x)≥4恒成立，則fmin(x)≥4.

由絕對(duì)值三角不等式，得

f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|≥|x-a2-(x-2a+1)|=|a2-2a+1|=(a-1)2.

故fmin(x)=(a-1)2.由(a-1)2≥4，得|a-1|≥2，即a-1≥2，或a-1≤-2，所以a≥3，或a≤-1.

故a的取值范圍為(-∞，-1]∪[3，+∞)

點(diǎn)評(píng):由絕對(duì)值不等式恒成立求參數(shù)范圍問題，通常是利用絕對(duì)值三角不等式消x，得到關(guān)于a的不等式，再求解即可.此類問題的解答，通常轉(zhuǎn)化為求最值處理.f(x)a恒成立?fmin(x)>a；f(x)a有解?fmax(x)>a.求最值的方法除了去絕對(duì)值外，還可以利用絕對(duì)值三角不等式“||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|”.Z