高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一題多解

許 冶

黑龍江省哈爾濱師范大學(xué)教師教育學(xué)院

在高中階段，課堂時(shí)間有限，只有45分鐘，除了要重視概念的講解，還應(yīng)該充分利用好每一個(gè)習(xí)題.素質(zhì)教育下,數(shù)學(xué)學(xué)科以培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為目標(biāo),學(xué)生的解題過程是綜合運(yùn)用核心素養(yǎng)的過程,是培養(yǎng)學(xué)生思維的有效途徑.

一題多解從不同角度看待問題,思考問題,從而學(xué)生會有不一樣的收獲.因此，一題多解是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的途徑之一.然而，一題多解需要學(xué)生基礎(chǔ)知識扎實(shí),且能夠融會貫通.在解題的時(shí)候?qū)︻}目進(jìn)行深層次分析,有利于打破學(xué)生的思維定式,培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維,讓學(xué)生的思維全面發(fā)展.但很多學(xué)生對于一題多解還存在一定的難度，這就要依賴于教師引導(dǎo).所以作為高中數(shù)學(xué)教師,要對“一題多解”進(jìn)行深入研究,該如何設(shè)計(jì)課題讓學(xué)生體會到它的魅力所在.

1 一題多解教學(xué)的原則

1.1 目的性原則

“教師在使用一題多解時(shí)要明確使用目的，不是為了多解而多解”[1]，而是明確多解的目的.故一題多解不是解法越多越好，也不是解法越新奇越好，而是通過此種解法學(xué)生能獲得發(fā)展，思維能獲得提升.所以，對學(xué)生發(fā)展無用的解法，教師應(yīng)該及時(shí)舍棄.

1.2 引導(dǎo)性原則

引導(dǎo)性原則是指教師在進(jìn)行一題多解時(shí)，要對學(xué)生進(jìn)行充分地啟發(fā)與引導(dǎo)，循序漸進(jìn)地設(shè)計(jì)教學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生得出答案；而不是把課堂當(dāng)成一個(gè)人的表演，只是一味地按照課件或者教輔去講解.當(dāng)學(xué)生思考新解法有困難時(shí)，教師可以提供一種思考方向和解題思路，但教師提供的是一個(gè)外部支持，隨著解題的進(jìn)行，要逐步減少外部支持，將解題任務(wù)交給學(xué)生，并不是直接告訴學(xué)生答案.

1.3 反思性原則

一題多解的目的是鞏固知識、靈活運(yùn)用知識，所以這就要求學(xué)生在解題后要進(jìn)行反思，反思解題思路、解題過程，并思考下次遇到此類題該怎么做.一題多解教學(xué)法是一種變式教學(xué)法，一個(gè)習(xí)題所包含的知識點(diǎn)是不同的，學(xué)生課上可能對使用這些定義定理靈活解題理解得沒那么好，通過反思，可以從不同角度理解知識、鞏固知識.

2 一題多解教學(xué)中教師可能存在的問題

一題多解在高中數(shù)學(xué)課堂中的應(yīng)用越來越廣泛,同時(shí)部分教師對于一題多解也出現(xiàn)了一些偏離初心的問題.

2.1 片面追求多解,增加學(xué)生負(fù)擔(dān)

一題多解最主要目的是發(fā)展學(xué)生的思維,然而有部分教師在課堂教學(xué)中只是為了多解而多解,想要讓學(xué)生多掌握一種方法,體現(xiàn)數(shù)學(xué)教育家們所提出的通過“一題多解”發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng),但并未對學(xué)生的整體水平做評估,并未考慮學(xué)生是否可以接受以及是否超出學(xué)生的最近發(fā)展區(qū),“毫無目的的教學(xué)只會增加學(xué)生的負(fù)擔(dān),然而對于學(xué)生本身能力并沒有提升”[2].

圖1

案例一2019年全國I卷理科第18題第(2)問

如圖1，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4,AB=2, ∠BAD=60，E,M,N分別是BC,BB1,A1D的中點(diǎn).

(1)證明：MN∥平面C1DE；(注：此問不做詳細(xì)介紹)

(2)求二面角A-MA1-N的正弦值.

解法1：建平面直角坐標(biāo)系法.

解法2：矢量積法.

上述方法相同，在求向量時(shí)可以采用矢量積法，則

然后運(yùn)用公式求出二面角的正弦值.

分析：解法1主要是利用聯(lián)立法來求平面的法向量,所運(yùn)用的方法是學(xué)生比較熟悉的；而解法2涉及了大學(xué)的知識點(diǎn),教師需要花費(fèi)大量時(shí)間補(bǔ)充矢量積、矩陣、行列式的有關(guān)知識,普通班級的學(xué)生聽著費(fèi)力,又消化不了,可能對自己產(chǎn)生懷疑,從而對數(shù)學(xué)失去學(xué)習(xí)興趣,這種“一題多解”就偏離了它的初心.

2.2 羅列多種解法,不分析其中的思想方法

在課堂教學(xué)中若對于一道多解題,不分析多解背后的數(shù)學(xué)思想方法以及每種解法之間的關(guān)聯(lián).導(dǎo)致學(xué)生只是會解這一道題,當(dāng)遇到變式題時(shí)仍沒有思路.這也偏離了“一題多解”的初心.故教師在備課時(shí),應(yīng)該問自己：這道題我為什么呈現(xiàn)多種解法？我要達(dá)到什么目的？怎么樣做才能達(dá)到這種目的？

案例二高一新授課“基本不等式”例題[3]

分析：解法1是直接利用基本不等式,解法2是利用了“1”的特殊性,解法3是采用了平方法.若教師不作本質(zhì)的分析,學(xué)生可能不久就會遺忘.教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生分析其數(shù)學(xué)思想方法,解法1，2，3都運(yùn)用了基本不等式,即已知兩個(gè)正數(shù)的和,求他們乘積的最小值或者已知他們的乘積求和的最大值，其本質(zhì)都運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,一步步把已知轉(zhuǎn)化成我們所需要的.

2.3 因材施教的措施不足

當(dāng)一道題有多種解法時(shí),學(xué)生的想法可能是多種多樣的,但有的是正確的,有的可能存在錯(cuò)誤或者有不成熟的地方，所以需要教師分別分析他們的解法，因材施教.但有些教師對于學(xué)生錯(cuò)誤或者不成熟的解法不予評價(jià)，忽視掉錯(cuò)誤想法，這樣學(xué)生并不會得到提高.教師應(yīng)對學(xué)生錯(cuò)誤的地方加以改正，這對學(xué)生正確的地方加以表揚(yáng).對于有不成熟方法和錯(cuò)誤方法的學(xué)生，引導(dǎo)他們?nèi)ヌ剿髂男┓椒ㄕ_哪些不正確及理由，但是為了照顧思維活躍的學(xué)生，教師可能引導(dǎo)語言不足，導(dǎo)致普通學(xué)生一知半解因而教師在一題多解時(shí)會存在因材施教的措施不足的問題.

3 一題多解的教學(xué)建議

3.1 精選解法，重在讓學(xué)生思維得到發(fā)展

“一題多解”只是發(fā)展學(xué)生思維的手段之一,所以教師不能在教學(xué)中不顧學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”而把所有的解都寫出來,這樣對學(xué)生的發(fā)展是沒有益處的.解法不在于多，而在于精，教師要站在學(xué)生角度，替學(xué)生考慮這種解法他們是否能夠接受，是否能夠啟發(fā)學(xué)生思維，學(xué)生是否能參與到解題來，以及學(xué)生是否能從不同角度來看待問題.但是，什么樣的解法才叫做精選解法呢，我們可以從以下兩點(diǎn)判斷：是否在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，學(xué)習(xí)了這種解法學(xué)生能得到怎樣的進(jìn)步；是否簡捷可以推廣.因此，教師在備課時(shí)，應(yīng)“研究好每個(gè)解法的優(yōu)點(diǎn)與不足，對自己班級的學(xué)生有足夠的了解，預(yù)想學(xué)生是否可以接受這種解法，預(yù)想學(xué)生的表現(xiàn)，提前設(shè)計(jì)問題序列”[4].

案例三已知x2-y2+x-3y-3=0，求證x2+y2>1.

問題1這道題的特點(diǎn)是什么？

預(yù)設(shè)：在二元二次方程下去證明二元二次不等式的問題.

問題2那我們研究數(shù)學(xué)問題一般從哪個(gè)角度入手？

預(yù)設(shè)：可以從數(shù)和形的角度來分析這道題.

追問1：從數(shù)的角度該如何研究？

問題3如何通過切割化弦轉(zhuǎn)化問題x2+y2.

設(shè)計(jì)意圖：這些問題一串可以讓學(xué)生明確思考方向，從而找到一般解法，運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.

除了三角換元外，你能從形的角度解答此題嗎？考慮學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平對探索后續(xù)解法有難度，故不可盲目向?qū)W生介紹.

3.2 抓住解題過程,重在分析聯(lián)系

教師在講解時(shí),應(yīng)該著重分析各種解法的依據(jù)、區(qū)別、聯(lián)系、使用條件的優(yōu)劣、本質(zhì)，以免出現(xiàn)灌輸知識的情況.教師在講解時(shí),可以通過問題串的形式,一步步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)不同方法之間的聯(lián)系．追問學(xué)生用這種解法的依據(jù)是什么？有沒有遇到障礙？你怎么解決？通過這個(gè)解法你有哪些啟發(fā)？每種解法好處在哪里？哪種解法更具有一般性？等等.教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生自己去總結(jié)，比如，自己哪種解法沒有想到？什么原因沒有想到？你學(xué)會了哪幾種解法？他們的本質(zhì)是什么？體現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)思想方法？教師在講題過程中，應(yīng)提煉解法，將學(xué)生思維與教師思維進(jìn)行對比.

3.3 使用不同教學(xué)方式，重在因材施教

每種教學(xué)方式都有各自的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)，比如，講授法的優(yōu)點(diǎn)是能在更少的時(shí)間內(nèi)傳授更多的知識.對于反應(yīng)速度慢、靈活性差的學(xué)困生，在解題時(shí)很難獨(dú)立做到一題多解，所以對于這部分學(xué)生，教師可以在講題時(shí)采用講授法，明確講什么？怎么講？在講解的過程中，怎么樣才能讓學(xué)生思維得到發(fā)展，怎么講解不是灌輸知識點(diǎn).對于思維敏捷的學(xué)生，可以采用合作法、小組討論法，這樣可以給予學(xué)生探索、思考的機(jī)會，并且教師要允許學(xué)生犯錯(cuò)誤，因?yàn)樵囧e(cuò)的過程也是解題的過程，教師要通過引導(dǎo)讓學(xué)生明確自己錯(cuò)在哪里，該如何改正.

“一題多解”是培養(yǎng)學(xué)生思維的一種手段,教師若引導(dǎo)得當(dāng),從教解題到教思維,抓住問題的本質(zhì),分析解法的聯(lián)系與區(qū)別,提高學(xué)生課堂參與的程度,那么對學(xué)生的發(fā)展來說一定是一個(gè)質(zhì)的飛躍.