淺談如何借助“意外”打造高質(zhì)數(shù)學(xué)課堂

張 潔

湖北省大冶市第一中學(xué)

在新課改的推動(dòng)下，數(shù)學(xué)課堂逐漸向多元化發(fā)展，更加關(guān)注學(xué)生主體作用的發(fā)揮，“自主、合作、探究”已成為高效數(shù)學(xué)課堂不可或缺的三要素，其在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮著不可估量的作用.為了提升數(shù)學(xué)課堂有效性，使課堂更加高效，教師在數(shù)學(xué)課堂上需要打破單一的、保守的“講授式”教學(xué)模式，將數(shù)學(xué)課堂打造成開放的動(dòng)態(tài)課堂[1].為了打造高效動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)課堂，在教學(xué)中就需要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷自主學(xué)習(xí)和合作探究，雖然在此過程中可能會(huì)出現(xiàn)一些不確定的因素，但這些“不確定”往往可能就是隱藏的意外驚喜.為此，在教學(xué)中，教師要鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行交流和探究，使不同思維碰撞出耀眼的火花，彰顯數(shù)學(xué)之美.

為了激發(fā)學(xué)生的積極性和探究欲，將課堂引入更深處，筆者結(jié)合教學(xué)中出現(xiàn)的“意外”，淺談了探究在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要意義，以期共鑒.

1 教學(xué)實(shí)錄

為了加深學(xué)生對(duì)圓錐曲線與方程的理解，教師在復(fù)習(xí)階段結(jié)合對(duì)下面一道例題的引導(dǎo)，以讓學(xué)生通過類比進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)知識(shí)的內(nèi)化.

例已知兩定點(diǎn)F1(-2,0)，F(xiàn)2(2,0)，試分別求滿足下列條件的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程.

(1)|PF1|=|PF2|;

(2)|PF1|+|PF2|=6;

(3)|PF1|-|PF2|=2;

按照課前預(yù)設(shè)，該過程由小組探究合作完成，探究后學(xué)生板演求解過程，借助不同解題思路交流解題經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而拓寬思維廣度.按照預(yù)期學(xué)生順利地完成了預(yù)設(shè)目標(biāo)，教師想繼續(xù)進(jìn)行下面的復(fù)習(xí)內(nèi)容時(shí)，聽見有幾個(gè)學(xué)生在竊竊私語(yǔ)，他們?cè)谟懻摑M足|PF1|·|PF2|為固定值的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程該是什么樣子.面對(duì)教學(xué)中產(chǎn)生的這個(gè)“意外”，若教師選擇與學(xué)生一起探究可能會(huì)影響課程計(jì)劃，不利于教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，但若置之不理將抹殺學(xué)生探究的積極性，不利于學(xué)習(xí)能力的提升，為此，教師選擇充分利用這次“意外”，讓學(xué)生通過探究消除疑惑，深化理解[2].

師：我們完成了前面四個(gè)題目，有些同學(xué)似乎又有新想法，我們一起來(lái)聽一聽.(教師引導(dǎo)學(xué)生大膽說(shuō)出自己的疑惑.)

師：很好！確實(shí)我們上面只關(guān)注了|PF1|與|PF2|的“和、差、商”，忽視了“積”，那么這樣的曲線到底是什么呢？

師：現(xiàn)在大家思考一下|PF1|·|PF2|這個(gè)定值該如何表示？其與動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F1和F2的距離大小又有什么關(guān)系？(為了給學(xué)生指引探究的方向，教師將探究分成若干小問題，以淡化問題的抽象感，激發(fā)學(xué)生探究的熱情.)

生2：結(jié)合問題(2)和問題(3)，設(shè)定值為a2，并且將a分成a>2，a=2，a<2三種情況進(jìn)行比較.

師：很好！那么我們就從特殊值入手，看看從這三種特殊情況中能否發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律.取a=1，2，3這三個(gè)特殊值來(lái)探究曲線的圖形.即|PF1|·|PF2|=12，|PF1|·|PF2|=22，|PF1|·|PF2|=32三種情況.那么我們?cè)撊绾芜M(jìn)行探究呢？

生3：應(yīng)根據(jù)特殊值a=1，a=2，a=3分別求出曲線方程，接下來(lái)結(jié)合曲線方程的幾何性質(zhì)逐一進(jìn)行探究.

師：我們常用哪些幾何性質(zhì)來(lái)探究呢？

生3：對(duì)稱性、頂點(diǎn)坐標(biāo)、x的取值范圍等.

師：很好！看來(lái)大家已經(jīng)掌握了研究解析幾何的精髓，實(shí)現(xiàn)“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化.現(xiàn)在一共三種情況，分三個(gè)大組進(jìn)行探究，探究后請(qǐng)各小組參照表1的要求填寫求解結(jié)果.(教師根據(jù)學(xué)生反饋設(shè)計(jì)了表1，以讓學(xué)生更好地將各種情況進(jìn)行類比，進(jìn)而使計(jì)算結(jié)果更加清晰明了，便于學(xué)生觀察和理解.)

表1 曲線的圖形與性質(zhì)

通過小組合作探究，各小組都順利地求解并繪制出了草圖.在關(guān)于對(duì)稱性的探究中，有些學(xué)生出現(xiàn)了思維障礙，教師借助師生交流的方式為學(xué)生釋疑.

師：對(duì)于對(duì)稱性你們是怎么驗(yàn)證的呢？

生4：設(shè)點(diǎn)P(x,y)在曲線上，若點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱，則對(duì)稱點(diǎn)P′(x,-y)也應(yīng)在曲線上，代入后即可驗(yàn)證曲線是否關(guān)于x軸對(duì)稱.同理，通過該方法還可以進(jìn)一步驗(yàn)證曲線是否關(guān)于y軸和原點(diǎn)對(duì)稱.

師：很好！我們根據(jù)x的取值范圍并結(jié)合曲線的對(duì)稱性繪制出了草圖，若我們想進(jìn)一步精確繪制曲線圖形還需要知道什么？

生5：需要知道y的范圍.

師：那么y的范圍如何求解呢？

生6：可以利用求函數(shù)值域的思路求解.(生6的思路給出后，學(xué)生提出了質(zhì)疑.)

生7：函數(shù)中x值與y值是一一對(duì)應(yīng)的，曲線方程不能滿足這一條件，因此其轉(zhuǎn)化不等價(jià)，不能這樣求解.

師：那該如何實(shí)現(xiàn)等價(jià)轉(zhuǎn)化呢？

生8：剛剛已經(jīng)知曉該曲線方程關(guān)于x軸，y軸和原點(diǎn)對(duì)稱，那么我們?cè)谇蠼鈺r(shí)可以僅考慮第一象限的圖形，第一象限的圖形繪制完成后利用對(duì)稱性完成整個(gè)圖形的繪制.第一象限的x值與y值顯然是一一對(duì)應(yīng)的，這樣就可以應(yīng)用值域的思路求解了.

師：說(shuō)的太好了！利用曲線方程的對(duì)稱性完成了函數(shù)與曲線方程的轉(zhuǎn)化，這樣，我們后期就可以利用研究函數(shù)的思路進(jìn)一步研究曲線.

為了實(shí)現(xiàn)特殊向一般的轉(zhuǎn)化，教師引導(dǎo)學(xué)生借助曲線方程的一般形式繼續(xù)探究，其一般形式為[(x+c)2+y2][(x-c)2+y2]=a4(a>0).

探究至此，學(xué)生可以結(jié)合圖形性質(zhì)繪制出圖形.本節(jié)課雖然并未按照預(yù)期的效果完成預(yù)定教學(xué)目標(biāo)，但通過利用“意外”學(xué)生收獲多多.通過類比探究不僅深化了對(duì)知識(shí)的理解，在此過程中函數(shù)與方程、特殊與一般的轉(zhuǎn)化也應(yīng)用得淋漓盡致，大大地提升了課堂有效性.

2 教學(xué)反思

2.1 讓預(yù)設(shè)與生成同步發(fā)展

在教學(xué)設(shè)計(jì)階段，教師要善于從學(xué)生的角度進(jìn)行思考，預(yù)判學(xué)生可能提出的問題，從而提前做出教學(xué)預(yù)案，這樣即使課堂中出現(xiàn)一些突發(fā)“小意外”時(shí)，教師也可以掌控教學(xué)方向，統(tǒng)籌全局.當(dāng)然，只有教師課前精心地做好預(yù)設(shè)，課上才能及時(shí)捕捉這些“小意外”，實(shí)現(xiàn)精彩演繹.可見，預(yù)設(shè)與生成既對(duì)立又統(tǒng)一，教學(xué)中必須應(yīng)用好這一對(duì)對(duì)立統(tǒng)一體，促進(jìn)多元、動(dòng)態(tài)課堂生成.

2.2 讓尊重扎根課堂

教學(xué)中要利用好思維差異的優(yōu)勢(shì)，多鼓勵(lì)學(xué)生從不同角度提出問題，尊重學(xué)生的新想法和新思路，引導(dǎo)學(xué)生積極探究，進(jìn)而達(dá)到發(fā)散思維、培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)的目的.同時(shí)，教師要為學(xué)生營(yíng)造平等、民主的學(xué)習(xí)氛圍，切勿只關(guān)注學(xué)優(yōu)生的新思路而對(duì)學(xué)困生的問題置之不理，久而久之，勢(shì)必會(huì)挫傷學(xué)困生的積極性和自信心，不利于實(shí)現(xiàn)全員發(fā)展.

2.3 讓探究貫穿課堂始終

在新課改的推動(dòng)下，學(xué)生的學(xué)習(xí)模式逐漸實(shí)現(xiàn)了由“接受式”向“探究式”的轉(zhuǎn)化，學(xué)生的學(xué)習(xí)模式也由“被動(dòng)接受”向“主動(dòng)建構(gòu)”逐漸過渡，有助于課堂有效性的提升.同時(shí)，經(jīng)歷探究使學(xué)生敢于聯(lián)想、勇于質(zhì)疑、勤于思考，進(jìn)而使學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度更加嚴(yán)謹(jǐn)，思維更加靈活，有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)習(xí)慣的形成.另外，通過探究，讓學(xué)生親身經(jīng)歷知識(shí)生成的過程，有助于學(xué)生實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力的提升.為此，在教學(xué)中，教師要鼓勵(lì)學(xué)生參與探究，去發(fā)現(xiàn)、去解決、去反思、去創(chuàng)新，進(jìn)而使課堂變得生動(dòng)又高效.

總之，課堂生成性資源是寶貴的教學(xué)資源，教師在教學(xué)中切勿只追求進(jìn)度而忽視課堂生成性資源的利用，要鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行多角度、全方位地思考，引導(dǎo)其提出有價(jià)值的問題，讓學(xué)生在交流、合作、探究中不斷成長(zhǎng)，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)品質(zhì)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生綜合能力全面提升.