變式訓(xùn)練教學(xué)在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用技巧

于素娟

摘 要：高中數(shù)學(xué)以培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)為教學(xué)目標(biāo).將變式訓(xùn)練教學(xué)用于高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)當(dāng)中，可以使學(xué)生從不同角度和不同層面分析、探究、解答數(shù)學(xué)問題，從而提升其思維的靈活性.文章立足高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)實(shí)際，對變式訓(xùn)練教學(xué)的應(yīng)用意義展開分析，同時從落實(shí)針對性變式教學(xué)、落實(shí)深層化講解教學(xué)、探究多元化解法教學(xué)三個層面出發(fā)，提出幾點(diǎn)高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)應(yīng)用變式訓(xùn)練的建議，以供參考.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；解題教學(xué)；變式訓(xùn)練；應(yīng)用技巧

區(qū)別于傳統(tǒng)解題教學(xué)模式，變式訓(xùn)練教學(xué)強(qiáng)調(diào)通過問題變式驅(qū)動學(xué)生對知識的多元應(yīng)用，從而培養(yǎng)學(xué)生靈活的解題思維.將變式訓(xùn)練教學(xué)用于高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)當(dāng)中，有利于解決傳統(tǒng)解題教學(xué)的套路化、單一化教學(xué)問題，使學(xué)生在分析、探究、解答更多具有代表性問題的過程中提升自我，突破自我，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.

1 變式訓(xùn)練教學(xué)在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用意義

變式訓(xùn)練的本質(zhì)是問題條件、問題形式、問題內(nèi)容變化后的習(xí)題訓(xùn)練［1］.通過變式訓(xùn)練，可以在一定程度上降低學(xué)生的習(xí)題負(fù)擔(dān)，使學(xué)生突破自身的僵化學(xué)習(xí)思維，養(yǎng)成靈活思考、高效解題的關(guān)鍵能力.在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師應(yīng)用變式訓(xùn)練，有利于學(xué)生從不同角度反思數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用方式、應(yīng)用技巧，使其在解變式問題、回顧變式問題的過程中積累更多復(fù)雜難題的解題經(jīng)驗(yàn)，從而提升學(xué)生的解題水平.

2 變式訓(xùn)練教學(xué)在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用技巧

2.1 明確學(xué)生解題學(xué)習(xí)不足，落實(shí)針對性變式

變式訓(xùn)練教學(xué)的目的在于彌補(bǔ)傳統(tǒng)解題教學(xué)不足，促進(jìn)學(xué)生的個性化提升.為此，在應(yīng)用變式訓(xùn)練時，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)明確學(xué)生在解題學(xué)習(xí)中的不足，把握學(xué)生的個性化發(fā)展需求.基于學(xué)生的實(shí)際需求合理開展類比變式、逆向變式、條件變式等多種變式訓(xùn)練，使學(xué)生在變式訓(xùn)練過程中針對性地提升自身的類比遷移、逆向思考能力.

2.1.1 進(jìn)行類比變式教學(xué)，強(qiáng)化類比遷移意識

在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，存在學(xué)生照搬教師解題套路的問題，學(xué)生不能認(rèn)識到解決問題的底層邏輯，只會解決已經(jīng)學(xué)過的類型題［2］.長此以往，學(xué)生的解題思維僵化，將不具備解決類型新穎問題的能力.對于這種情況，教師可以在解題教學(xué)中組織類比變式訓(xùn)練，通過類比變式引導(dǎo)學(xué)生探知解決數(shù)學(xué)問題的底層邏輯，使其掌握解題的基本方法，并掌握解題方法的遷移應(yīng)用技巧，從而輕松應(yīng)對形式新穎、出題角度刁鉆的數(shù)學(xué)問題.

以滬教版數(shù)學(xué)必修第一冊“基本不等式及其應(yīng)用”一課的解題教學(xué)為例，教師可以先提出典型數(shù)學(xué)問題，演示例題解法：

例1 已知：x＞1，求x+1x-1的最小值.

在求解這一問題之前，教師可以提出啟發(fā)性問題，引導(dǎo)學(xué)生廣泛思考，如：本題能直接用不等式求最值嗎？我們可以為題目補(bǔ)充什么條件？應(yīng)當(dāng)選擇所學(xué)的哪個基本不等式？

解：因?yàn)閤-1＞0，由“任意a，b∈R+，有a+b2≥ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立”可知：x+1x-1=x-1+1x-1+1≥2（x-1）·1x-1+1=3，

當(dāng)且僅當(dāng)x-1=1x-1，即x=2時，等號成立.

所以x+1x-1的最小值是3.

解決此題后，教師還可引導(dǎo)學(xué)生反思解題細(xì)節(jié)，如，這一問題的解題步驟是什么？在解題時應(yīng)當(dāng)注意的事項(xiàng)有哪些？通過提出反思性問題，使學(xué)生注意“一正、二定、三等”的基本方式，從而強(qiáng)化學(xué)生對此問題的解題認(rèn)識.為使學(xué)生學(xué)會解決不同類型的不等式問題，教師可進(jìn)行類比變式：若把例1中的條件x＞1去掉，還有最小值嗎？那可改為求什么呢？通過與學(xué)生對話，確定類比教學(xué)問題：

例2 已知x≠1，求x+1x-1的取值范圍.

在例2習(xí)題教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生類比例1的解題方法，求解數(shù)學(xué)問題.如：

解：當(dāng)x-1＜0時，由基本不等式“任意a，b∈R+，有a+b2≥ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立”可知：x+1x-1=-（1-x）+11-x+1≤-2（1-x）·11-x+1=-1，

當(dāng)且僅當(dāng)1-x=11-x，即x=0時，等號成立.

所以x+1x-1的取值范圍是（-∞，-1］∪［3，+∞）.

如此，學(xué)生在教師演示、指導(dǎo)的過程中掌握了應(yīng)用不等式求解問題的數(shù)學(xué)方法.接著，教師在原有例題的基礎(chǔ)上進(jìn)行類比變式教學(xué)，并讓學(xué)生脫離教師的指導(dǎo)自主解題，使學(xué)生在自主解題的過程中逐漸形成類比、遷移的解題學(xué)習(xí)思維.

2.1.2 進(jìn)行逆向變式教學(xué)，培養(yǎng)多元解題思維

受傳統(tǒng)教學(xué)影響，多數(shù)學(xué)生傾向于應(yīng)用正向思維解決數(shù)學(xué)問題［3］.然而，高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)內(nèi)容豐富，僅使用常規(guī)的解題思維，很難快速解答問題，反而會使學(xué)生陷入解題學(xué)習(xí)的迷霧當(dāng)中，影響學(xué)生解題學(xué)習(xí)體驗(yàn).對于這一教學(xué)問題，教師可以在解題教學(xué)中組織逆向變式訓(xùn)練，通過出示逆向變式練習(xí)題引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用逆向思維分析、求解數(shù)學(xué)問題，使學(xué)生擺脫慣性思維，掌握多元分析問題、快速求解問題的解題技巧.

以滬教版數(shù)學(xué)必修第三冊“概率初步”一單元的解題教學(xué)為例，為使學(xué)生形成逆向思考的解題意識，教師可以對常規(guī)的概率問題加以創(chuàng)新，設(shè)計如下問題：

例3 一個不透明圓筒中有大小、形狀相同的10個藍(lán)球與5個黑球，現(xiàn)在我們從中任意摸出4個球，求至少摸出一個黑球的概率.

按照常規(guī)的解題思路來看，學(xué)生必須經(jīng)過較為繁瑣的步驟才能解答問題，且承擔(dān)較高的計算錯誤風(fēng)險.這時，教師可引導(dǎo)學(xué)生從問題的對立面出發(fā)，逆向思考該問題，從而提高學(xué)生的答題準(zhǔn)確率.

解：假設(shè)摸出的4個球全是藍(lán)色的事件記為A.

顯然，P（A）=C410C415=213.

故摸出4個球全是藍(lán)色的概率為213.

利用補(bǔ)集的關(guān)系，至少摸出一個黑色球的事件B正好是摸出4個全是藍(lán)色球事件的對立事件，其概率為P（B）=1-P（A）=1-213=1113.

解題教學(xué)后，教師還可組織學(xué)生總結(jié)此種類型題的解題技巧，使學(xué)生在總結(jié)過程中掌握逆向思考數(shù)學(xué)問題的訣竅，學(xué)會從問題的對立面思考問題的簡便解法，實(shí)現(xiàn)快速解題的目標(biāo).

2.1.3 進(jìn)行情境變式教學(xué)，培養(yǎng)解題學(xué)習(xí)興趣

部分學(xué)生對變式訓(xùn)練的認(rèn)識不夠全面，存在抵觸變式訓(xùn)練的不良學(xué)習(xí)心理.這種情況下，教師仍然沿用灌輸教學(xué)方式，只能造成學(xué)生的淺層學(xué)習(xí).對于這一教學(xué)問題，教師可以在解題教學(xué)中組織情境變式活動，通過創(chuàng)設(shè)變式情境引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使其主動探究不同條件下、不同設(shè)問下問題的解決方法.

以滬教版數(shù)學(xué)必修第二冊“平面向量”一單元的解題教學(xué)為例，教師可以先創(chuàng)設(shè)“求真”情境：真命題小分隊(duì)外出采購，有假命題混進(jìn)了真命題當(dāng)中，作為命題森林的守衛(wèi)，你能從下列幾個命題中挑選出真命題，確保真命題順利回歸命題森林嗎？接著，教師給出如下命題：

① 向量AB的長度與向量BA的長度相等；

② 向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反；

③ 兩個有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同；

④ 兩個公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；

⑤ 向量AB與向量CD是共線向量，則點(diǎn)A，B，C，D必在同一條直線上.

基于這一情境，讓學(xué)生利用向量的基本概念對每一個命題進(jìn)行分析與判斷，從而找出真命題.如，對于①，向量AB的長度與向量BA的長度相等，方向相反，所以①正確；對于②，向量a與b平行時，a與b為零向量時，不滿足條件，所以②錯誤.通過一一判斷，使學(xué)生從中找出正確命題①與③.通過這一習(xí)題練習(xí)，學(xué)生基本掌握了向量的基本概念.接著，教師可以基于原情境，進(jìn)行變式訓(xùn)練：有假命題混入了命題森林當(dāng)中，假如你是假命題警察，你能從下列命題中找出假命題，把他們趕出命題森林嗎？接著，教師給出如下命題：

① 若|a|=|b|，則a=b；

② 兩個向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同；

③ 所有非零向量的單位向量都相等；

④ 若AB=DC，則A，B，C，D四點(diǎn)是平行四邊形的四個頂點(diǎn)；

⑤ 在平行四邊形ABCD中，一定有AB=BC.

通過改變問題情境，驅(qū)動學(xué)生結(jié)合向量的定義、向量的幾何意義逐項(xiàng)判斷命題真假，使其明確①～⑤五個命題都為假命題.學(xué)生解決問題后，教師應(yīng)及時給予其正面評價，使學(xué)生產(chǎn)生積極的解題心態(tài)，從而主動參與到變式習(xí)題訓(xùn)練當(dāng)中.

如此，在創(chuàng)設(shè)基本習(xí)題情境，改變問題情境的過程中，賦予學(xué)生不同的解題學(xué)習(xí)體驗(yàn)，使其在思考問題、探析問題和解決問題的過程中產(chǎn)生變式練習(xí)的學(xué)習(xí)興趣，為變式訓(xùn)練的高效應(yīng)用奠定基礎(chǔ).

2.2 推動學(xué)生解題能力提升，落實(shí)深層化講解

“師者，傳道授業(yè)解惑也.”應(yīng)用變式訓(xùn)練進(jìn)行高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)時，教師要注意發(fā)揮自身的引導(dǎo)作用，針對學(xué)生迷惑的、存在錯誤認(rèn)知的問題進(jìn)行精確講解，使學(xué)生把握問題本質(zhì)，掌握問題的核心解法，真正提升學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力［4］.為此，教師應(yīng)當(dāng)做好高中數(shù)學(xué)“數(shù)”、“形”數(shù)學(xué)問題的變式訓(xùn)練講解工作，從根本上豐富學(xué)生的解題經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)生的解題能力.

2.2.1 精講“形”的變式習(xí)題，提升幾何直觀能力

幾何問題是高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)內(nèi)容的重要構(gòu)成部分.高中數(shù)學(xué)幾何問題存在一定的抽象性，部分學(xué)生在解決幾何問題時存在幾何問題分析不到位、幾何解題套路化的問題，幾何習(xí)題的教學(xué)效果差強(qiáng)人意.為此，教師可以在幾何習(xí)題解題教學(xué)中進(jìn)行變式訓(xùn)練，并在訓(xùn)練中做好講解教學(xué)，通過講解引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)聯(lián)想、數(shù)學(xué)分析，使其在對比變式問題、總結(jié)問題解法的過程中掌握幾何問題的解決技巧，從而提升學(xué)生幾何問題解題能力.

以滬教版數(shù)學(xué)必修第三冊“空間直線與平面”一單元的解題教學(xué)為例，教師可先后出示同一主題、不同形式的數(shù)學(xué)例題，組織學(xué)生解答.

例4 在梯形ABCD中，∠ABC=π2，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的表面積為（? ）.

A. （5+2）π

B. （4+2）π

C. （5+22）π

D. （3+2）π

由此問題，讓學(xué)生聯(lián)系所學(xué)知識點(diǎn)，設(shè)想將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體是一個底面半徑為AB=1，高為BC=2的圓柱挖去一個底面半徑為AB=1，高為BC-AD=2-1=1的圓錐，從而得到該幾何體表面積的計算公式S=π×12+2π×1×2+π×1×12+12=（5+2）π，確定正確答案為A選項(xiàng).

基于例1解題教學(xué)情況，教師再安排變式例題.

例5 如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，AA1=AC=2，直線A1C與側(cè)面AA1B1B所成的角為30°，則該三棱柱的側(cè)面積為（? ）.

A. 4+42

B. 4+43

C. 12

D. 8+42

由此變式問題，引導(dǎo)學(xué)生連接A1B，使其根據(jù)AA1⊥底面ABC推理出AA1⊥BC，結(jié)合AB⊥BC，AA1∩AB=A推理出BC⊥平面AA1B1B，所以直線A1C與側(cè)面AA1B1B所成的角為∠CA1B=30°.又AA1=AC=2，所以A1C=22，BC=2.又AB⊥BC，則AB=2，則該三棱柱的側(cè)面積為22×2+2×2=4+42.由此判斷出A選項(xiàng)為正確選項(xiàng).

完成上述變式訓(xùn)練后，教師根據(jù)解題過程，歸納求解幾何體表面積的類型及求法，如：求多面體表面積時，只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積；求旋轉(zhuǎn)體的表面積時，可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清楚它們的底面半徑、母線長與對應(yīng)側(cè)面展開圖中的邊長關(guān)系；求不規(guī)則幾何體的表面積時，可以將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積.

通過先變式訓(xùn)練，再總結(jié)方法，進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生幾何問題變式訓(xùn)練的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，使學(xué)生在深度參與、深度體驗(yàn)的過程中形成良好的幾何直觀思維，掌握解決此類問題的關(guān)鍵能力.

2.2.2 精講“數(shù)”的變式習(xí)題，提升數(shù)學(xué)建模能力

“數(shù)”是數(shù)學(xué)學(xué)科的主要研究對象［5］.在高中解題教學(xué)中圍繞“數(shù)”的問題進(jìn)行變式教學(xué)，有利于增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模能力，使學(xué)生在解題過程中形成良好素養(yǎng).同時，教師還應(yīng)該針對學(xué)生的變式訓(xùn)練反饋給予針對性講解，使學(xué)生在精確指導(dǎo)下學(xué)會應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決“數(shù)”的問題.

以滬教版數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊“數(shù)列”一單元的解題教學(xué)為例，教師可出示下列一組變式問題.

例6 已知g（x）=fx+12-3是R上的奇函數(shù)，an=f（0）+f1n+…+fn-1n+f（1），n∈N*，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為（? ）.

A. an=n+1

B. an=3n+1

C. an=3n+3

D. an=n2-2n+3

例7 已知a1=2，an+1-an=2n+1（n∈N*），則an=（? ）.

A. n+1

B. 2n+1

C. n2+1

D. 2n2+1

這兩道問題的答案都為C選項(xiàng).其中，例1可以先利用函數(shù)的奇偶性得到函數(shù)的對稱中心，再用換元法得到f（t）+f（1-t）=6，最后用倒序相加法求解數(shù)列的通項(xiàng)公式；例2可以使用累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，確定問題答案.

2.2.3 著眼學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)展需求，探究多元化解法

不同學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)基礎(chǔ)、思維方式存在差異，其解題傾向也不盡相同.若教師不加以調(diào)整自己的教學(xué)策略，容易造成學(xué)生的解題思維局限，影響其長遠(yuǎn)發(fā)展.在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師有必要整合具有代表意義的習(xí)題資源，同時圍繞具體習(xí)題引導(dǎo)學(xué)生探尋不同的解答方法，使學(xué)生在教師的指導(dǎo)下轉(zhuǎn)換思考問題的角度，從而促進(jìn)學(xué)生的綜合發(fā)展［6］.

以滬教版數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊“圓錐曲線”一單元的解題教學(xué)為例，教師可以精選典型問題：已知拋物線y2=4x，直線l：y=x-1與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長.

此問題是典型的直線與圓錐曲線相交求弦長的問題.解決此題時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度思考問題，并進(jìn)行求解.如：

解法1：應(yīng)用圓錐曲線的一些通法解決問題.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

由y2=4x，

y=x-1消y得x2-6x+1=0，

解得x1=3+22，x2=3-22，

由此可得A（3+22，2+22），B（3-22，2-22），

再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得|AB|=8.

解法2：聯(lián)系直線與圓錐曲線相交后弦長公式|AB|=（1+k2）［（x1+x2）2-4x1x2］進(jìn)行求解.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

由y2=4x，

y=x-1消y得x2-6x+1=0，

所以x1+x2=6，x1x2=1，

由弦長公式得|AB|=8.

解法3：結(jié)合具體圖像（圖略），觀察到直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，從而聯(lián)想到拋物線的定義，并基于此進(jìn)行求解.

由直線方程y=x-1中可得直線過點(diǎn)（1，0），而拋物線的焦點(diǎn)也為（1，0）.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

由y2=4x，

y=x-1消y得x2-6x+1=0，

所以x1+x2=6，

由拋物線定義得|AB|=8.

解法4：聯(lián)系直線的參數(shù)方程的幾何意義進(jìn)行求解.

由直線方程y=x-1可得直線過點(diǎn)（1，0）和傾斜角為π4，

所以直線方程的參數(shù)方程為x=1+22t，

y=22t（t為參數(shù)），

把它代入拋物線方程，得t2-42t-8=0，

解得t1=22+4，t2=22-4，

由參數(shù)的幾何意義得|AB|=|t1-t2|=8.

通過引導(dǎo)學(xué)生從不同角度出發(fā)思考問題，使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)問題解法的多樣性，從而引發(fā)學(xué)生對問題的多樣思考.長此以往，學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時不再受單一解題思維的限制，其解題素養(yǎng)得到了綜合發(fā)展.

3 結(jié)束語

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中合理應(yīng)用變式訓(xùn)練教學(xué)，對于拓寬學(xué)生的習(xí)題視野，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有著積極意義.實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)認(rèn)識到變式訓(xùn)練教學(xué)的價值，同時結(jié)合高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的具體需求合理規(guī)劃變式訓(xùn)練教學(xué)方案，通過針對性變式教學(xué)、細(xì)致化變式問題講解等多種方式豐富學(xué)生的解題經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)生的解題能力.

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