核心素養(yǎng)背景下初中生數(shù)學(xué)解題能力的培養(yǎng)

從麗華

摘 要：初中數(shù)學(xué)教學(xué)是由數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)和解題教學(xué)組成的，通過(guò)解題教學(xué)來(lái)讓學(xué)生對(duì)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行靈活地應(yīng)用，可以提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握，實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng).同時(shí)，學(xué)生的解題能力是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下，需要進(jìn)行重點(diǎn)培養(yǎng)的能力，所以教師在進(jìn)行解題教學(xué)的過(guò)程中需要培養(yǎng)學(xué)生的習(xí)題解決能力和實(shí)際問(wèn)題解決能力來(lái)提升學(xué)生的解題能力.本文將以三角形的相關(guān)試題為例來(lái)對(duì)初中數(shù)學(xué)的解題能力培養(yǎng)策略進(jìn)行研究，希望對(duì)初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)提供一定的幫助.

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng)；初中數(shù)學(xué)；解題教學(xué)；解題能力；三角形

初中數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)是讓學(xué)生能夠通過(guò)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行分析和解答.同時(shí)學(xué)生的解題能力是一種檢驗(yàn)教師教學(xué)質(zhì)量的重要手段.所以在進(jìn)行初中數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中，教師需要基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)來(lái)對(duì)學(xué)生的解題能力進(jìn)行培養(yǎng)，讓學(xué)生能夠充分利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題以及解決實(shí)際問(wèn)題.下面將通過(guò)三角形的相關(guān)試題來(lái)對(duì)其進(jìn)行說(shuō)明.

1 原題呈現(xiàn)

例題1（2022年綿陽(yáng)中考25題）：我們知道，三角形的三條中線一定會(huì)交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)就叫做三角形的重心.重心有很多美妙的性質(zhì)，如有關(guān)線段比，面積比就有一些“漂亮”的結(jié)論，利用這些性質(zhì)可以解決三角形中的若干問(wèn)題，請(qǐng)用三角形重心的概念完成如下問(wèn)題：

（1） 若O是△ABC的重心（如圖1）連接AO并延長(zhǎng)交BC于D，證明：AOAD=23;

（2） 若AD是△ABC的一條中線（如圖2），O是AD上一點(diǎn)，且滿足AOAD=23，試判斷O是△ABC的重心嗎？如果是，請(qǐng)證明，如果不是，說(shuō)明理由；

（3） 若O是△ABC的重心，過(guò)O作一條直線分別與AB，AC相交于G，H（均不與△ABC的頂點(diǎn)重合）（如圖3），S四邊形BCHG，S△AGH分別表示四邊形BCHG和△AGH的面積，試探究S四邊形BCHGS△AGH的最大值.

2 初中數(shù)學(xué)解題能力培養(yǎng)策略

2.1 培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真審題的習(xí)慣

初中數(shù)學(xué)問(wèn)題會(huì)根據(jù)題目所考查的知識(shí)點(diǎn)和出題形式的不同而進(jìn)行題型的變換，所以初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的過(guò)程中，非常重要的一步就是需要教會(huì)學(xué)生如何對(duì)試題進(jìn)行審題，讓學(xué)生養(yǎng)成良好的審題習(xí)慣.在審題的過(guò)程中，首先需要明確題目的意思，例如在例題1中采用了一長(zhǎng)段的敘述來(lái)對(duì)三角形的重心進(jìn)行了描述，然后需要通過(guò)三角形重心的性質(zhì)來(lái)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解.這里就需要學(xué)生對(duì)中線的性質(zhì)有一個(gè)明確的認(rèn)識(shí)，才能夠在后續(xù)解題的過(guò)程中能夠順利地對(duì)問(wèn)題進(jìn)行解決.然后找到題目中所隱含的已知條件，根據(jù)中線的性質(zhì)，可以知道在△ABC中必然存在BD=DC這樣的等量關(guān)系，找到這個(gè)關(guān)系與解題的聯(lián)系.

2.2 根據(jù)審題來(lái)尋找試題的求解方式

通過(guò)審題來(lái)對(duì)試題進(jìn)行梳理之后就需要結(jié)合審題所得到的相關(guān)關(guān)系來(lái)對(duì)試題的解題方式進(jìn)行梳理，根據(jù)三角形重心的性質(zhì)，可以在解題的過(guò)程中作出三角形的另一條中心，連接CO并延長(zhǎng)交AB于P，就可以得到BP=PA的關(guān)系，這樣再將D，P進(jìn)行連接就能夠得到PD=12AC，此時(shí)可以利用相似三角形的方式來(lái)證明AOAD=23，同時(shí)利用這樣的條件也很快能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)第二個(gè)問(wèn)題的證明.然后是第三個(gè)問(wèn)題，這里題目中給定了這條直線是過(guò)三角形的重心，與三角形兩邊的交點(diǎn)不與三角形的頂點(diǎn)重合，要求面積比的最小值，那么首先就需要來(lái)對(duì)這兩個(gè)面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，S四邊形BCHG=S△ABC-S△AHG，這樣就可以將原式S四邊形BCHGS△AGH轉(zhuǎn)化為S△ABC-S△AHGS△AGH，所以這里就需要對(duì)△ABC和△AHG的面積進(jìn)行表示，然后就需要將三角形的面積關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角形的邊長(zhǎng)關(guān)系，利用三角形重心的性質(zhì)來(lái)對(duì)邊長(zhǎng)關(guān)系進(jìn)行分析，這里可以知道△ABC和△AHG有一個(gè)共同的∠A，根據(jù)三角形的面積計(jì)算公式S=absinC2，可以對(duì)兩個(gè)三角形的面積進(jìn)行表示，能夠得到S△ABC=AB·AC·sin∠BAC2，S△AHG=AG·AH·sin∠BAC2，這樣就可以將S△ABC-S△AHGS△AGH轉(zhuǎn)化為AB·ACAG·AH-1的形式.因此只需要找到 AB·ACAG·AH中線段存在的關(guān)系就可以對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解.如圖所示，連接CO并延長(zhǎng)交AB于F，連接BO并延長(zhǎng)交AC于E，然后過(guò)點(diǎn)O分別作OM∥AB，ON∥AC，利用（1）中所證明的AOAD=23關(guān)系可以得到OM=13AB，ON=13AC，在△AGH中有OM∥AG，ON∥AH，可以得到OMAG=OHGH，ONAH=OGGH，因?yàn)镺G+OH=GH，所以O(shè)MAG+ONAH=1，利用OM=13AB，ON=13AC就能夠得到AB·ACAG·AH 的值來(lái)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行解答.

2.3 正確進(jìn)行試題的解答

試題的正確解答是初中數(shù)學(xué)解題能力培養(yǎng)的關(guān)鍵，在解題的過(guò)程中需要理清條件和結(jié)果之間的邏輯關(guān)系來(lái)保證試題的解答有理有據(jù)，所以在解題的過(guò)程中需要通過(guò)正確的試題解答邏輯來(lái)對(duì)解題的步驟進(jìn)行表達(dá).同時(shí)良好的邏輯關(guān)系的展現(xiàn)能夠讓學(xué)生在解題過(guò)程中充分掌握相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，在后續(xù)的相似問(wèn)題的解答過(guò)程中也能夠更加從容地對(duì)問(wèn)題進(jìn)行解決.下邊將通過(guò)對(duì)例題1的解題步驟來(lái)進(jìn)行說(shuō)明.

解：（1） 證明：如圖所示，連接CO并延長(zhǎng)交AB于P，連接PD.

∵點(diǎn)O是△ABC的重心，

∴P為AB的中點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，

∴PD是△ABC的中位線，即PD∥AC，PD=12AC.

∴∠DPC=∠ACP，∠PDA=∠CAD.

∴△OPD∽△OCA.

∴ODOA=PDAC=12.

∴AOAD=23.

（2） 點(diǎn)O是△ABC的重心，

證明：如上圖作△ABC的中線PC，兩條中線的交點(diǎn)為Q，則點(diǎn)Q為△ABC的重心，

由（1）可知AQAD=23，

∵AOAD=23，

∴點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合.

∴點(diǎn)O是△ABC的重心.

（3） 如圖，連接CO并延長(zhǎng)交AB于F，連接BO并延長(zhǎng)交AC于E，然后過(guò)點(diǎn)O分別作OM∥AB，ON∥AC，

∵點(diǎn)O是△ABC的重心，

∴AOAD=BOBE=COFC=23.

∴OM=13AB，ON=13AC.

∵在△AGH中有OM∥AG，ON∥AH，

∴OMAG=OHGH，ONAH=OGGH.

∵OG+OH=GH，

∴OMAG+ONAH=1，即13ABAG+13ACAH=1，

∴ABAG+ACAH=3.

∵S四邊形BCHGS△AGH=S△ABC-S△AHGS△AGH，且S△ABC=AB·AC·sin∠BAC2，S△AHG=AG·AH·sin∠BAC2，

∴S四邊形BCHGS△AGH=AB·ACAG·AH-1.

AB·ACAG·AH=ABAG·ACAH，令A(yù)BAG=x，則ACAH=3-x.

∴S四邊形BCHGS△AGH=x（3-x）-1=-x-322+54.

∴當(dāng)ABAG=x=32時(shí)，S四邊形BCHGS△AGH有最大值，此時(shí)S四邊形BCHGS△AGH=54.

2.4 試題回顧，尋找一題多解優(yōu)化解題思路

初中數(shù)學(xué)的很多問(wèn)題都可以采用不同的方式來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)問(wèn)題的求解，所以在進(jìn)行解題教學(xué)的過(guò)程中教師需要通過(guò)對(duì)試題進(jìn)行多種解答方式的分析，來(lái)對(duì)學(xué)生的解題思路進(jìn)行拓展.實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生的解題能力進(jìn)行培養(yǎng).在例題1的解題教學(xué)中，上述（3）是較為常規(guī)的解題方式，當(dāng)然也可以分別過(guò)B，C作BE∥AD∥CF（如圖所示）與直線GH交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，這樣就構(gòu)建了△BEG∽△AOG，△CFH∽△AOH，從而就可以得到CFAO=AC-AHAH，BEAO=AB-AGAG，同時(shí)根據(jù)梯形的性質(zhì)可以知道OD=12（BE+CF），且由AOAD=23可得AO=2OD，就能夠得到CFAO+BEAO=1，進(jìn)而就可以得到AGAB+AHAC=1，此時(shí)根據(jù)上述（3）中的后續(xù)解答方式就可以對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解了.當(dāng)然還可以采用如圖所示地過(guò)A，B，C，D四點(diǎn)分別作直線GH的垂線的方式來(lái)進(jìn)行求解，這里具體的解題思路就不進(jìn)行贅述了.通過(guò)這樣多樣化的解題策略能夠有效地拓寬學(xué)生的解題思路，提升學(xué)生的解題能力.

3 結(jié)語(yǔ)

綜上所述，本文通過(guò)一道三角形的相關(guān)例題來(lái)對(duì)初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中提升學(xué)生解題能力的策略進(jìn)行了說(shuō)明，在進(jìn)行解題教學(xué)的過(guò)程中需要讓學(xué)生養(yǎng)成審題的習(xí)慣，通過(guò)審題來(lái)分析題目中的已知條件，找到隱含條件，為解題創(chuàng)造有利條件.然后需要根據(jù)審題所得到的信息對(duì)試題進(jìn)行詳細(xì)的分析，再開(kāi)始進(jìn)行試題的解答，并且在解答的過(guò)程中需要讓解題的步驟邏輯嚴(yán)謹(jǐn).最后通過(guò)對(duì)試題進(jìn)行再次分析以尋找多樣化的解題思路從而拓寬解題思維，實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生解題能力的提升.希望對(duì)初中數(shù)學(xué)的解題教學(xué)提供一定的幫助.

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