用微分從屬定義的某亞純多葉函數(shù)的性質(zhì)

楊穎，方芳

微分從屬的性質(zhì)和應(yīng)用是解析函數(shù)論的重要研究內(nèi)容之一，已經(jīng)在復(fù)變函數(shù)論、Banach空間、微分方程等多個相關(guān)學科領(lǐng)域中得到了越來越廣泛地應(yīng)用，具有重要的理論意義和應(yīng)用價值.早在1981 年MILLER 和MOCANU就開始研究關(guān)于一階微分從屬的理論，尤其是在單葉函數(shù)中的一些有趣應(yīng)用［1?2］；CHO 和LEE 等利用一階微分從屬進一步發(fā)展和優(yōu)化了前人的部分理論［3］；LIU 在2019 年給出了微分從屬在貝賽爾函數(shù)中的應(yīng)用［4］.近年來，國內(nèi)外的一些學者引入和研究多種用微分從屬定義的單葉或亞純多葉函數(shù)的子類，并給出了其包含關(guān)系、不等式關(guān)系、從屬關(guān)系和系數(shù)估計等性質(zhì)［5?9］.受其啟發(fā)，本文利用微分從屬定義的一類亞純多葉函數(shù)，并研究了其包含關(guān)系、不等式關(guān)系和最佳界等性質(zhì).

1 預(yù)備知識

定義1 令∑np為形如

定義f1(z)和f2(z)的Hadamard 卷積為：

則稱f(z) ∈Hn（A，B；λ）.這里?1≤B<1，B0.

這里：Reμ≥0，μ≠0，則g(z) ?h(z).

2 主要結(jié)論

定理1 對λ>0，k>0，?1≤B<1，B

這表明f(z) ∈Hn（A，B；λ）.

定理2 令f(z) ∈Hn（A，B；λ），如果令

上述邊界對fn(z)是最佳的.

證明 對|ξ|≤σ(σ<1) 有

積分后得到了

由式（10）和式（12），對于|z|=r<1 有

因此fn(z)∈Hn（A，B；λ），由式（13）可以得出式（6）、式（7）是最佳的.

由式（6）、式（14）得出：

由式（6）和式（14）得出式（8）.顯然對于式（5）給出的fn(z)，式（8）是最佳的.

定理3 令f(z)∈Hn（A，B；λ），且AB≤1.則對|z|=r<1,有

以上邊界是最佳的.

證明：因為AB≤1，對||ξ≤σ<1有

由式（12）和式（17）得對于||z=r<1，

得出式（15）.因為

由式（19）得出式（16）.

式（15）和式（16）對于函數(shù)fn(z) 是最佳的.

3 結(jié)語

本文利用一階微分從屬定義了一類亞純多葉函數(shù)的子類Hn（A，B；λ），研究了其包含關(guān)系、不等式關(guān)系及最佳界等性質(zhì).用微分從屬定義的亞純多葉函數(shù)還有更多的性質(zhì)等待我們?nèi)ヌ剿骱脱芯?