m-漸近負(fù)相協(xié)變量的若干強(qiáng)收斂性質(zhì)

何其慧

隨機(jī)變量的收斂性是極限理論中重要的研究方向.依概率收斂、依分布收斂、幾乎必然收斂等都在極限理論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)中起到了極其重要的作用.本文旨在較為寬泛的相依假設(shè)下研究隨機(jī)變量加權(quán)和若干強(qiáng)收斂性質(zhì).對(duì)于強(qiáng)收斂性，HSU 和ROBBINS 給出了完全收斂性的定義：稱(chēng)隨機(jī)序列{Xn,n≥1}完全收斂于μ>0，若對(duì)任給的ε>0，都有.由著名的BOREL?CANTELLI 引理容易得到Xn→μ a.s..此外，利用完全收斂性還可以得到隨機(jī)變量加權(quán)和的收斂性質(zhì)及收斂速度.令an>0,bn>0,q>0，若對(duì)?ε>0 都有，則稱(chēng)隨機(jī)變量序列{Xn,n≥1} 完全矩收斂于0.完全矩收斂的結(jié)果首次由CHOW 建立［2］.完全矩收斂性比完全收斂性更加精確地刻畫(huà)了隨機(jī)序列部分和或加權(quán)和的收斂速度，此外，完全收斂性可由完全矩收斂性得到.完全f?矩收斂性則是一種比完全矩收斂性更強(qiáng)、更寬泛的收斂性，其概念如下：設(shè)f:R+→R+為一單調(diào)遞增的連續(xù)函數(shù)且f(0)=0.設(shè){Xn,n≥1}是一隨機(jī)變量序列，cn>0，若對(duì)任意 的ε>0，,則 稱(chēng){Xn,n≥1}是完全f?矩收斂的［3］.

軟管都取出來(lái)了，王姐還不死心，纏著段主任說(shuō)：您別放棄呀，求您再給試試唄。段主任搖頭說(shuō)：沒(méi)必要了。王姐說(shuō)：那總不能讓我妹夫這樣過(guò)一輩子吧？您再給想想別的辦法。段主任說(shuō)：我這是沒(méi)辦法了，你轉(zhuǎn)到胸外科，看看他們有沒(méi)有好辦法吧。王姐說(shuō)：成，胸外科我也有熟人，您估計(jì)他們有什么好辦法？段主任說(shuō)：開(kāi)胸。

讀者們可想象一張地圖。你在心情愉悅的情況下打開(kāi)一張地圖。這張?jiān)谀隳曄碌牡貓D在漸漸變大，就像一只棘皮動(dòng)物——海星那樣，始自一個(gè)碎片，任意一個(gè)碎片，以一個(gè)對(duì)稱(chēng)圓形物的方式漸漸地?cái)U(kuò)展、變大。這其實(shí)是一個(gè)關(guān)于夢(mèng)想的比喻，即部分來(lái)自于全部。當(dāng)這個(gè)夢(mèng)想屬于畫(huà)家時(shí)更具野心：一次又一次地，當(dāng)有人說(shuō)油畫(huà)不能打破它形式上的障礙，障礙消失了；當(dāng)有人說(shuō)繪畫(huà)沒(méi)有界限，繪畫(huà)國(guó)度的國(guó)境線就被挑戰(zhàn)了；當(dāng)某種藝術(shù)形式的拓荒者人頭濟(jì)濟(jì)，已棲居扎根的移民就會(huì)渴望返回。

由于在很多實(shí)際問(wèn)題中數(shù)據(jù)都呈現(xiàn)出或多或少的相依性，從而獨(dú)立的假設(shè)在很多時(shí)候都是非常不合理的.因此，統(tǒng)計(jì)學(xué)家們陸續(xù)提出各種相依隨機(jī)變量的概念并將獨(dú)立場(chǎng)合下的結(jié)果推廣到這些相依情形下.其中JOAG?DEV和PROSCHAN提出了如下關(guān)于負(fù)相協(xié)（NA）隨機(jī)變量的概念[4].稱(chēng)隨機(jī)變量{Xi,1≤i≤n}是NA的，如果對(duì){1,2,…,n} 的任意非空不交子集A與B都有

其中：f1與f2是具有相同單調(diào)性且使上式有定義的函數(shù).在NA 的相依假設(shè)下，文獻(xiàn)［5］證明了如下結(jié)論.

定理1 假設(shè){X,Xn,n≥1} 為NA 隨機(jī)序列且具有同一分布，{ani,1≤i≤n,n≥1} 為滿足

的常數(shù)列，其中0 <α≤2.記，其中常數(shù)γ>0.并且假設(shè)當(dāng)1 <α≤2時(shí)，EX=0.如果

則對(duì)任意的ε>0，都有

自從文獻(xiàn)［5］建立了定理1 中的結(jié)論，很多學(xué)者都對(duì)其進(jìn)行了推廣.其中文獻(xiàn)［6］對(duì)α>γ時(shí)建立了ρ*?混合變量下的結(jié)果；文獻(xiàn)［7］在ρ*?混合變量下得到了α=γ時(shí)的結(jié)果；文獻(xiàn)［8］則在α<γ下將定理1 推廣到了ρ*?混合變量的情形；文獻(xiàn)［9］在負(fù)超可加相依（NSD）序列下建立了與定理1 一致的結(jié)論；在隨機(jī)控制的假設(shè)下，文獻(xiàn)［10］將定理1 推廣到漸近負(fù)相協(xié)（ANA）序列并建立了如下完全矩收斂性的結(jié)果：

0)且a?=?aI(a<0).

ANA 隨機(jī)變量的概念是由文獻(xiàn)［11］所提出的.定義混合系數(shù)

因此當(dāng)n充分大時(shí)，對(duì)任意的t≥1 都有

最近，文獻(xiàn)［12］又將ANA 隨機(jī)變量的概念推廣到m?ANA，其定義如下：若對(duì)于任意n≥2 以及滿足|ik?ij|≥m，1≤k≠j≤n的ik,i2,…,in都有Xi1,Xi2,…,Xin是ANA的，則稱(chēng)隨機(jī)序列{Xn,n≥1} 是m?ANA 的.顯然ANA 為m?ANA 中當(dāng)m取1 時(shí)的特例.

則稱(chēng)隨機(jī)序列{Xn,n≥1} 是ANA的.ANA 是包含ρ*?混合和NA 的一類(lèi)非常寬泛的相依結(jié)構(gòu).

政府間事權(quán)和支出責(zé)任的劃分是個(gè)技術(shù)性問(wèn)題，確實(shí)需要提出政府間事權(quán)和支出責(zé)任劃分的具體方式、方法，但其并不僅僅是技術(shù)性問(wèn)題，還是嚴(yán)格意義上的制度問(wèn)題。應(yīng)通過(guò)法律的形式明確界定政府作為整體所應(yīng)承擔(dān)的事權(quán)和支出責(zé)任邊界、明確各級(jí)政府的專(zhuān)有事權(quán)和支出責(zé)任、細(xì)化政府間共同事權(quán)和支出責(zé)任、規(guī)范政府間委托事權(quán)和支出責(zé)任（李苗、崔軍，2018），形成相對(duì)穩(wěn)定的制度安排并成為各級(jí)政府都必須遵守的共同規(guī)則，由此才能保證各級(jí)政府間的事權(quán)和支出責(zé)任劃分能落到實(shí)處，并有助于在集權(quán)與分權(quán)之間實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定均衡?！?/p>

不過(guò)，在搭建宮殿之前，大林先要解決早餐。于是，他對(duì)倩倩說(shuō)，爸爸去煮面條，不過(guò)，燒水的這段時(shí)間我們也別浪費(fèi)，玩一個(gè)短游戲。

本文將定理1 的結(jié)果推廣到m?ANA 序列并且得到更強(qiáng)的完全矩收斂性，此外，還將建立更一般的完全f?矩收斂的結(jié)果.這些結(jié)果推廣并改進(jìn)了文獻(xiàn)［5?10］相應(yīng)的結(jié)果.在本文中，C始終代表某個(gè)大于0 的常數(shù)，I(A)=，a+=aI(a≥

俗話說(shuō)“面由心生”，面部是一個(gè)人情緒最直接的外在表現(xiàn)，面部表情是我們傳遞情感的一個(gè)方式，通過(guò)面部表情可以判定一個(gè)人喜悅與否，在與人的交往中我們首先是通過(guò)眼神、姿態(tài)、語(yǔ)氣語(yǔ)調(diào)來(lái)感受對(duì)方，而舞蹈是通過(guò)肢體語(yǔ)言來(lái)傳達(dá)情感的，在無(wú)聲的傳遞中，面部表情顯得尤為重要，它是技術(shù)動(dòng)作的延伸，也是情感的傳遞，起到畫(huà)龍點(diǎn)睛的作用，甚至有時(shí)會(huì)起到舉足輕重的作用。

其中：q<α.

1 預(yù)備知識(shí)

很快，救護(hù)車(chē)到了，哎喲一聲那人捂著腦袋被抬上了救護(hù)車(chē)。警車(chē)又到了，一堆燈光又閃爍開(kāi)來(lái)，左小龍恍惚間好像又回到了和泥巴在旅店的二樓看樓下的情景。警察查了半天，現(xiàn)場(chǎng)沒(méi)查明白那人是怎么頭破血流的，左小龍也沒(méi)犯什么法，只不過(guò)當(dāng)眾爆缸而已，屬于產(chǎn)品使用不當(dāng)。警察再次驅(qū)散了人群，人們歡呼著，睡覺(jué)去嘍。

引理2［12］令{Xn,n≥1} 為均值為0 的m?ANA 隨機(jī)變量序列且存在p>2 使得E|Xi|p<+∞，則存在僅依賴(lài)于m，p及ρ?(?)的正常數(shù)C使得對(duì)所有的n≥1，

引理3［8］令{ani,1≤i≤n,n≥1} 為一滿足式（1）的常數(shù)陣列，其中α>0，X為一隨機(jī)變量.令bn=n1α(logn)1γ，其中常數(shù)γ>0，則

引理4［8］令{ani,1≤i≤n,n≥1} 為一滿足式（1）的常數(shù)陣列，其中α>0，X為一隨機(jī)變量.令bn=n1α(logn)1γ，其中常數(shù)γ>0，則對(duì)任意的q>max(α,γ)，都有

2 主要結(jié)果

由引理1 可知，{Yni,1≤i≤n,n≥1} 仍然是混合系數(shù)為{ρ?(n),n≥1} 的m?ANA 隨機(jī)變量陣列.容易驗(yàn)證

炳發(fā)呀！我今年是十九歲了，我難道一點(diǎn)兒不知道嗎？每次看到天上的月亮圓了，花園里的花開(kāi)了，想起我們的青春年少……

由Markov 不等式及引理3 可得：

故下面只需證明I2<∞.首先驗(yàn)證

最后將證明I22<+∞.由式（1）、Markov 不等式、α≤2 及q>2γ/α，得：

將玫瑰茄凍干花萼粉碎后過(guò) 20目篩，按料液比1：30加入60%乙醇浸提過(guò)夜（約12 h）。真空抽濾后繼續(xù)用 60%乙醇沖洗濾渣，合并兩次濾液。40 ℃下旋蒸并冷凍干燥后得到花色苷粗提物。

如果1 <α≤2，則由EXi=0，式（1）及式（2），可得：

引理1［12］令{Xn,n≥1} 為m?ANA 隨機(jī)變量序列，其混合系數(shù)為ρ?(n).假設(shè)f1，f2，…都為單調(diào)非降（或非增）的連續(xù)函數(shù)，則{fn(Xn),n≥1} 仍然為m?ANA 隨機(jī)變量序列，且其混合系數(shù)不大于ρ?(n).

因此式（5）成立，這意味著當(dāng)n充分大時(shí)都有取q>max{2,2γ/α}.由Markov 不等式、引理2、Cr不等式及Jensen 不等式，可得：

注意到q>max(α,γ)，由Markov 不等式、引理3 及引理4 可得：

如果0 <α≤1，則由Markov 不等式、式（1）及式（2）可得：

證明 不失一般性，仍然假設(shè)ani≥0.注意到

由定理2 可知J1<+∞.因此要證明式（4），只需要證明J2<+∞.對(duì)任意t≥1，記

隨機(jī)抽取2017年2月-2018年2月至我院接受治療的104例冠心病患者為檢驗(yàn)組(n=56),再隨機(jī)抽取同時(shí)期至我院接受健康體檢的健康者為對(duì)照組(n=48),檢驗(yàn)組男33例,女23例,年齡45-70歲,平均年齡(57.58±12.74)歲,病程1-9年,平均病程(3.47±2.39)年;對(duì)照組男23例,女25例,年齡47-74歲,平均年齡(57.79±12.83)歲,病程2-7年,平均病程(4.32±2.18)年;將兩組人員年齡、病程、性別等基本資料納入統(tǒng)計(jì)學(xué)中分析顯示無(wú)顯著差異(P>0.05),具有比較意義。

則由引理1 可知，{Zni,1≤i≤n,n≥1} 仍然是混合系數(shù)為{ρ?(n),n≥1} 的m?ANA 隨機(jī)變量陣列.注意到

由引理3 及式（2）可得：

如果0 <α≤1，則由Markov 不等式、式（1）及式（2）可得：如果1 <α≤2，則由EXi=0、式（1）及式（2）可得：

其中：?是非降函數(shù)的集合.若混合系數(shù)

取q>max{2,2γ/α}，類(lèi)似I2的處理可得：

從媒介設(shè)計(jì)上來(lái)說(shuō)，信息化視域下的旅游景區(qū)藝術(shù)形象設(shè)計(jì)需要按照人類(lèi)行為的感知特征對(duì)不同階段的對(duì)象進(jìn)行分類(lèi)。在宣傳類(lèi)設(shè)施上要統(tǒng)一地域文化的界定范圍。不同地域文化的歷史和景物不同，形成的地域環(huán)境和生活習(xí)慣的堆積是由各地域的民俗文化傳承堆積而來(lái)的，進(jìn)而在信息化視域下的旅游景區(qū)藝術(shù)形象設(shè)計(jì)上需要遵循歷史和景物堆積的人文精神，以此為依據(jù)，對(duì)歷史文化景區(qū)的藝術(shù)形象進(jìn)行設(shè)計(jì)和提煉。在提煉的過(guò)程中需要將所在地域文化的深刻認(rèn)識(shí)保留下來(lái)，以圖形和色彩的表現(xiàn)形式設(shè)計(jì)出來(lái)。

集團(tuán)以打造云南高原特色現(xiàn)代農(nóng)業(yè)的品牌管理商、技術(shù)提供商、標(biāo)準(zhǔn)制定商、渠道整合商和市場(chǎng)運(yùn)營(yíng)商為目標(biāo)，組建產(chǎn)業(yè)發(fā)展平臺(tái)，全力提供“放心、貼心、養(yǎng)心”的“三心”綠色食品，扛起了云南“綠色食品牌”領(lǐng)軍企業(yè)的大旗。

最后證明J222<+∞.注意到αq/2γ>1，由Cr不等式、Markov 不等式及式（1）可得：

隨著中國(guó)儲(chǔ)罐向大型化和集群化方向發(fā)展，油庫(kù)建設(shè)規(guī)模不斷擴(kuò)大，運(yùn)行管理難度和安全風(fēng)險(xiǎn)增大。目前儲(chǔ)罐火災(zāi)撲救中存在消防水供給強(qiáng)度低、消防設(shè)施維護(hù)檢測(cè)不及時(shí)、缺乏大功率移動(dòng)式消防設(shè)備和應(yīng)急演練不到位等問(wèn)題。本文介紹了國(guó)內(nèi)外儲(chǔ)罐火災(zāi)撲救技術(shù)的新進(jìn)展，如儲(chǔ)罐自動(dòng)泡沫滅火單元、儲(chǔ)罐罐頂自動(dòng)消防炮、移動(dòng)式大流量泡沫炮等。通過(guò)借鑒國(guó)外儲(chǔ)罐滅火先進(jìn)技術(shù)，對(duì)于提高油庫(kù)安全性和可靠性具有重要意義。

因此，定理3 是比定理2 更強(qiáng)的結(jié)果，此外還推廣了文獻(xiàn)［6?9］相應(yīng)的結(jié)論.然而，相比文獻(xiàn)［10］并不能直接看出定理3 是否改進(jìn)了其結(jié)果，為此先利用定理3 建立如下更為一般的結(jié)果.

設(shè)f:R+→R+為一單調(diào)遞增的連續(xù)函數(shù)且f(0)=0.令g:R+→R+為f的反函數(shù)，即g(f(t))=t,?t≥0.假設(shè)存在正常數(shù)δ使得

證明 容易驗(yàn)證

由定理2 即得K1<+∞.下面證明K2<+∞.由Markov 不等式、定理3 及式（5）可得：

在定理4中，若取f(t)=tq,其中0

容易看出，作為定理4 的應(yīng)用，推論1 即為文獻(xiàn)［10］所建立的完全q?階矩收斂的結(jié)果.故而定理3 和定理4 推廣并改進(jìn)了文獻(xiàn)［10］的結(jié)果.

3 結(jié)語(yǔ)

本文主要利用m?漸近負(fù)相協(xié)變量的Rosenthal 型極大值矩不等式建立其加權(quán)和的完全收斂性進(jìn)而得到幾乎必然收斂性，并且在同樣的條件下得到了更強(qiáng)的完全矩收斂性.在此基礎(chǔ)上，本文還進(jìn)一步建立了更一般的完全f?矩收斂性，所得結(jié)果推廣并改進(jìn)了文獻(xiàn)已有結(jié)果.