度量是轉(zhuǎn)化的原理 更是幾何的本質(zhì)
——關(guān)于《平行四邊形的面積》一課的教學思考

文|曹 炯 沈 杰

《平行四邊形的面積》是圖形與幾何領域的重要內(nèi)容，是學生第一次接觸“用轉(zhuǎn)化的方式”解決圖形面積問題，強調(diào)通過對比、轉(zhuǎn)化等活動突顯度量的數(shù)學價值和思想方法。筆者基于教學與學生實際情況，概括了以下四方面的教學現(xiàn)象和誤區(qū)：

現(xiàn)象一：視角差異——空間直覺的牛角尖

五年級的學生，受限于認知思維水平，缺乏空間知覺的加工意識與能力，對形體的表象描述還比較依賴于感覺器官的直觀體會，還無法自覺建立圖形在大腦中的正確映射與對應表征。在本案例中，當教師出示木質(zhì)平行四邊形隨著向下拉動，詢問學生面積變化時，竟有一半的學生認為面積沒有改變，理由是向斜角凸出的部分和向下減少的部分是相等的。這說明學生的空間直覺對面積的感知還存在較大偏差，對平行四邊形面積的本質(zhì)缺乏認識，造成思維在非本質(zhì)因素間徘徊游蕩。

現(xiàn)象二：結(jié)構(gòu)干擾——鄰邊乘底的負遷移

無論是動手操作還是空間想象，學生對圖形的感知一般都會偏重于對象直觀性較強的屬性特征部分，而忽略了對象圖形中其他內(nèi)隱、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)特征的解讀與揣摩。在本案例中，鄰邊與底邊相接，在視覺感官方面給學生帶來了負遷移的直觀沖擊，直接影響了空間判斷能力，導致學生誤認為鄰邊所具有的數(shù)學結(jié)構(gòu)意義與長方形中的寬相一致，進而做出“鄰邊×底”的面積推導結(jié)論。說明長方形面積的結(jié)構(gòu)性干擾對平行四邊形的面積推導的確存在負遷移作用，較多學生對面積的概念還停留于感官的基礎上。

現(xiàn)象三：理解模糊——公式表面的知其然

在傳統(tǒng)教學中，整個教學過程只是為了求得公式，在對“讓學生充分經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、分析、提出、解決問題”“嘗試進行合情推理的歸納概括過程”等方面教學缺少相應的力度和深度，只針對一種“最容易想到的割補法”探討，忽視學生自我構(gòu)建、合作交流多種形式割補方法的學習，導致學生在推導過程中所感受的數(shù)學活動、積累的數(shù)學經(jīng)驗、生成的數(shù)學思維大打折扣，割補方法的多樣性與有效性及其背后面積單位的密鋪原理的一知半解，最終數(shù)學思考、核心素養(yǎng)的落地亦會成為空中樓閣。

現(xiàn)象四：遷移乏力——模塊構(gòu)筑的假面具

《平行四邊形的面積》是學生第一次接觸“用轉(zhuǎn)化的方式”解決圖形面積問題，而且這種轉(zhuǎn)化的方法將一直推廣到三角形、梯形、圓等圖形面積的學習，具有較強的普適性、連續(xù)性。但轉(zhuǎn)化背后數(shù)學的核心本質(zhì)——面積單位密鋪原理，如果不解釋清楚、不探究明白，那學生的思維層次只能停留于面積公式的應用水平，解決一些簡單機械的計算問題，無法將這種轉(zhuǎn)化方法上升到數(shù)學思維水平，并遷移類推到其他平面圖形的面積中。這樣窄化、固化式的學習結(jié)果使得學生有效構(gòu)筑模塊型、結(jié)構(gòu)化的數(shù)學空間能力體系變得毫無力度、渠道日趨減少，最后只能淪為惰性知識，增加學生記憶負擔。

平行四邊形屬于二維圖形，它與線段等一維圖形度量的最大差別在于動態(tài)轉(zhuǎn)換。線段的長度只要借助合理測量工具和單位長度連續(xù)疊加就能完成測量，而二維平面圖形面積并不是都能直接運用單位面積進行連續(xù)疊加，特別是一些不具備直角的不規(guī)則非對稱平面圖形，測量起點與面積單位無法有效重合，需要進行轉(zhuǎn)化為具備單位面積連續(xù)疊加的圖形方能進行后續(xù)測量。為此，平行四邊形面積的學習是學生空間結(jié)構(gòu)化的一次飛躍，是從簡單靜止對稱圖形的測量思考轉(zhuǎn)向更復雜動態(tài)非對稱圖形的測量思考，其意義深遠重大。夯實平行四邊形面積學習能對之后三角形、梯形、圓等二維圖形，甚至是長方體、圓柱等三維圖形的內(nèi)容起到拋磚引玉、舉一反三、遷移類推的數(shù)學思考方法示范作用。

一、樹立核心理念——轉(zhuǎn)換的根本目的是度量

在實際新授教學中，能想到借助割補三角形的方法求平行四邊形面積的學生不占少數(shù)。但是當學生提出這個方案之后，緊接著馬上就出示底和高或動態(tài)演示割補法，學生就真的理解“平行四邊形的面積就是底×高”了嗎？從哲學角度分析理解有兩重含義：一是意義復原，就是針對理解對象本身的深入剖析達到認知重構(gòu)；二是視界融合，將理解對象放置在特定的認知環(huán)境中，與其他同等類似對象產(chǎn)生結(jié)構(gòu)意義上的關(guān)聯(lián)。顯然，這樣匆忙的割補過程，學生無法真正理解其實質(zhì)的數(shù)學意義。

數(shù)學知識的本質(zhì)常常是一些隱藏著的、決定數(shù)學現(xiàn)象的基本概念、一般原理、特定方法等，具有較強的內(nèi)隱性與抽象性。當學生面臨推理瓶頸、歸納無序時，教師可以依據(jù)數(shù)學內(nèi)在邏輯發(fā)展軌跡，由表及里地引導學生觸及探究對象所處的認知脈絡和結(jié)構(gòu)源頭?；谶@樣考慮，不妨在講解直角三角形割補之后，放慢一下教學腳步，靜靜聆聽學生思維拔節(jié)的聲音。從辯證思維角度入手，設置兩個值得深入辨析的問題：切割的三角形有什么具體要求？為什么要拼成長方形？通過這兩個問題的思考與討論，不斷接近、指向圖形面積計算實質(zhì)——度量面積單位個數(shù)。轉(zhuǎn)化只是數(shù)學行為，而度量才是這個特定數(shù)學行為背后的真正意義。只有讓學生聚焦于度量，揭示直角三角形轉(zhuǎn)換為長方形背后的數(shù)學意義，從直觀上理解平行四邊形的面積其實是包含了度量單位（如1 平方厘米）的個數(shù)，才能更好地感悟轉(zhuǎn)化的價值和平面圖形面積的類推法則。

二、布局認知沖突——大小的判斷依據(jù)是度量

皮亞杰的兒童空間概念發(fā)展研究理論表明：兒童對空間概念發(fā)展及空間關(guān)系的認識是一個從模糊、拓撲狀態(tài)向間接、概括反映的發(fā)展過程，從低到高依次分為拓撲、歐式圖形學習、測量和射影幾何四個空間概念水平層次，并與其認知發(fā)展理論中的感知運動（0—2 歲）、前運算（2—7 歲）、具體運算（7—11 歲）、形式運算（11—16 歲）階段相匹配。上述理論呈現(xiàn)出“測量”與“具體運算”之間緊密的聯(lián)動性。具體而言，測量物體的“形”，然后用“數(shù)”或“數(shù)的運算結(jié)果”表示形的某個屬性的大小。測量是用單位數(shù)值化的過程，是構(gòu)建數(shù)形結(jié)合的橋梁，能有效補充數(shù)與運算概念。

在本案例中，平行四邊形面積的推導過程應當充分落實測量與具體運算的雙軌學習機制。既要有長方形和平行四邊形面積用數(shù)來刻畫量的比較過程，也應有平行四邊形面積轉(zhuǎn)化成長方形面積的公式推理過程。基于這樣的想法，可以在新課的引入部分，出示一個可拉動的平行四邊形，傾斜方向為左，讓學生指一指平行四邊形的面積。緊接著將這個平行四邊向右拉動，形成一個“等底等鄰邊不等高”的平行四邊形，讓學生判斷哪個面積大。

測量的主旨是為了確定某個具有可測量性的量的大小。當學生無法從視角空間直觀判斷兩個平行四邊形的實際大小時，往往會采用已經(jīng)學過的數(shù)學方法和經(jīng)驗嘗試解決面積大小問題，思維水平也從直觀辨認向探索特征邁進，教師需要及時點撥學生思考往單位面積方向靠攏。因而上述“拉動”過程，不僅僅是事實性學習材料的生成過程，更是以任務的方式驅(qū)動學生對平行四邊形面積大小從數(shù)學直觀走向理性思考，打破視覺空間對學生思維的局限與干擾，由淺入深，突破意識表層，將學生帶入深刻而又理性思考的數(shù)學完美世界中。

三、演繹運動三性——方格的思維價值是度量

張奠宙先生認為，對于面積本質(zhì)的真正理解，需要借助現(xiàn)代數(shù)學中的測度理論。也就是說，數(shù)學意義上的面積測量，其實質(zhì)是要對某些平面圖形指定一個合適的數(shù)，而這個數(shù)表達的數(shù)學意義需要滿足運動的三個特性，即正則性、有限可加性、運動不變性。在平面圖形面積領域，這三個運動特性與單位面積計量密切相關(guān)，是刻畫圖形運動軌跡、度量圖形面積變化的重要依據(jù)與原理。

正則性：指存在度量單位并規(guī)定度量單位為“1”。“數(shù)方格”是小學生面積學習中最早接觸的度量策略，在數(shù)方格算圖形面積之前，往往會統(tǒng)一計量單位——1 小格是1 平方厘米，這“賦予面積值為1”的過程便是正則性。正則性的學習主要集中在面積單位和長方形（正方形）面積，因而平行四邊形面積一課重點不在于正則性的學習，而是將它以“尺子的身份”成為度量工具，并借助方格圖這一載體進行數(shù)學合情推理，從而突出正則性的邏輯性、功能性，基于度量單位統(tǒng)一的本質(zhì)，幫助學生提供測量工具、簡化測量難度、降低測量風險。

有限可加性：以面積為例，如作為度量單位的小正方形密鋪的結(jié)果即為圖形的面積。當學生已經(jīng)有“直角三角形切割與轉(zhuǎn)化”思想萌芽之后，可以放緩出示底×高的結(jié)構(gòu)表達式。通過觀察補全完整的長方形，讓學生仔細觀察，橫向密鋪的一行有幾個，就代表有幾個面積單位，可以用字母a 表示，又因為每一行都有a 個面積單位，共有幾行，可以用字母h 表示，所以由平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形的面積可以表示為a×h。這個字母結(jié)構(gòu)表達式準確度量了平行四邊形大小的同時，也真實反映了有限可加性的特征。

運動不變性：指面積單位的移動會引起圖形形狀的變化，但面積單位個體總數(shù)守恒。運動不變性不僅僅存在于“直角三角形切割”中，同樣也存在于每一行“湊整1 個面積單位”的過程中，只是在便捷程度上有所差別。在圖形空間結(jié)構(gòu)表征方面，運動不變性的特征顯得尤為重要。以多元開放的方式打開學生空間想象的思維盒子，進一步促進學生圖形空間想象與表征、數(shù)學語言表達、結(jié)構(gòu)化思考等能力的不斷提升和完善。

布魯納在《教育的過程》中寫道：任何課程的主題應該由發(fā)展學生的基本理解能力而確定，這種能力可以通過掌握構(gòu)成某一主題的基本結(jié)構(gòu)的潛在原理而實現(xiàn)。正則性、有限可加性、運動不變性正是平行四邊形面積主題的數(shù)學原理，完善演繹了幾何特點。借助方格紙學生充分經(jīng)歷、驗證平行四邊形的面積轉(zhuǎn)化守恒原理，在計算擺放單位面積小正方形的過程中豐滿了對面積兩個關(guān)鍵量（底和高）的概念性理解，結(jié)合度量方法深刻領悟圖形經(jīng)過幾何變換前后的度量變化，兩個量之間的某些變化關(guān)系，開啟直觀描述向形式演繹過渡的進程，強化了對面積概念本質(zhì)和轉(zhuǎn)化意識能力等空間觀念的培養(yǎng)。

四、滲透出入相補——開放的多元形式是度量

出入相補（又稱以盈補虛）原理，最早由三國時代魏國數(shù)學家劉徽創(chuàng)建，它是指一個幾何圖形（平面或立體）被分割成若干部分后，面積或體積的總和保持不變。平行四邊形的出入相補大致有六種方法，如下圖所示。

直角三角形的割補只是最基礎的一種，而其他幾種相補法則更為抽象，只有牢牢抓住面積單位數(shù)量運動不變性和有限可加性等特點，讓學生經(jīng)歷平行四邊形面積相補不同類型的發(fā)生、發(fā)展過程，從更整體、全景的視角認清平行四邊形面積變化的本質(zhì)，不斷地向單位面積守恒規(guī)律邁進，從多樣復雜的現(xiàn)象中看清其本質(zhì)，感受到數(shù)學的簡約，并在探索的過程中培養(yǎng)學生嚴謹、求真、理性的學習態(tài)度，進一步上升到數(shù)學思想方法、學習策略層面的討論，才能使學生所獲得的轉(zhuǎn)化方法不再是零散、孤立的碎片化結(jié)論，而是更加上位的、具有遷移類推的一般化思想。