基于“再創(chuàng)造”的數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)課堂教學(xué)融合

劉嘉　王秀彩

編者按：為推進(jìn)中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)改革與發(fā)展，促進(jìn)教育工作者理論素養(yǎng)和專業(yè)水平的提升，搭建優(yōu)秀教學(xué)交流平臺，在中國教育學(xué)會中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會的支持下，中國數(shù)學(xué)教育雜志社舉辦了“2022年度中國數(shù)學(xué)教育論文評選活動”. 在此次活動中，多篇選題新穎、內(nèi)涵豐富的文章脫穎而出. 為進(jìn)一步激發(fā)教育工作者的寫作熱情，并對此次活動中的獲獎?wù)弑硎咀ＹR，《中國數(shù)學(xué)教育》雜志將分批次擇優(yōu)刊登“2022年度中國數(shù)學(xué)教育論文評選活動”中的獲獎文章. 同時，歡迎各位讀者積極參與“2023年度中國數(shù)學(xué)教育論文評選活動”.

摘? 要：以“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”一課的教學(xué)為例，在弗賴登塔爾“再創(chuàng)造”理論的支持下，進(jìn)行數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)教學(xué)融合的嘗試. 對橢圓概念和橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程發(fā)生、發(fā)展的歷史進(jìn)程進(jìn)行改造和重建，包括梳理橢圓概念歷史發(fā)展過程中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，從一個環(huán)節(jié)發(fā)展到下一個環(huán)節(jié)的動因，以及數(shù)學(xué)家所面臨的困難和障礙. 在此基礎(chǔ)上，結(jié)合學(xué)情重構(gòu)相關(guān)環(huán)節(jié)，并調(diào)整一些環(huán)節(jié)的歷史順序，使之適合課堂教學(xué)，設(shè)計出一系列由易至難的問題串，引導(dǎo)學(xué)生逐步完成對知識內(nèi)容的再創(chuàng)造.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)史；數(shù)學(xué)教學(xué)；再創(chuàng)造

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出，通過數(shù)學(xué)概念和思想方法的歷史發(fā)生、發(fā)展的過程，一方面，可以使學(xué)生感受豐富多彩的數(shù)學(xué)文化，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣；另一方面，有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)概念和思想方法的理解. 但是數(shù)學(xué)概念和思想方法的歷史發(fā)生、發(fā)展過程和數(shù)學(xué)教材的呈現(xiàn)順序往往存在較大的差異. 以橢圓概念的歷史發(fā)展過程為例，從數(shù)學(xué)史上看，橢圓概念的形成大致可以分為三個時期：古希臘時期的截線定義；17世紀(jì)的動點軌跡定義；1822年比利時數(shù)學(xué)家旦德林將截線定義和動點軌跡定義統(tǒng)一. 橢圓概念的歷史發(fā)展過程如圖1所示.

在實際教學(xué)過程中，教師往往會從17世紀(jì)舒騰給出的三種作圖法之一出發(fā)：在平面內(nèi)固定兩點，繃緊一根定長（大于兩固定點之間的距離）的繩子繞兩點旋轉(zhuǎn)一圈得到橢圓，隨后給出17世紀(jì)洛必達(dá)對橢圓的定義，利用定義推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生對橢圓的性質(zhì)展開研究. 但是這種在教學(xué)中通常使用的處理方法與橢圓概念發(fā)生、發(fā)展的歷史并不是完全一致的.

數(shù)學(xué)教學(xué)中類似的例子比比皆是. 這說明：在數(shù)學(xué)教學(xué)中，不應(yīng)該只是簡單地重現(xiàn)真實的歷史，而應(yīng)該是對歷史的適當(dāng)重建，即對數(shù)學(xué)史素材進(jìn)行適當(dāng)“改造”，使之能夠更好地服務(wù)于課堂教學(xué)目標(biāo). 這與數(shù)學(xué)教育學(xué)家弗賴登塔爾提出的“再創(chuàng)造”理論基本吻合.

一、“再創(chuàng)造”理論指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)教學(xué)融合

弗賴登塔爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)教育必須面向社會現(xiàn)實，必須聯(lián)系日常生活實際，注重培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生從客觀現(xiàn)象中找出數(shù)學(xué)問題的能力，用“再創(chuàng)造”的方法進(jìn)行教學(xué). 他還認(rèn)為，“再創(chuàng)造”應(yīng)該貫穿數(shù)學(xué)教育的全過程，教師的任務(wù)就是引導(dǎo)學(xué)生參與概念、法則、定律等形成的全過程，為學(xué)生提供廣闊的天地，聽任不同的思維和方法自由發(fā)展，不要對學(xué)生的發(fā)現(xiàn)設(shè)置任何圈套.

由于學(xué)生個體學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的進(jìn)程和數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史之間存在一些相似之處，所以教師可以創(chuàng)設(shè)與相關(guān)數(shù)學(xué)概念、法則、定律等發(fā)生、發(fā)展過程相似的情境，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷這些概念、法則、定律等產(chǎn)生的過程，并引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合自己獨立的學(xué)習(xí)體驗，完成對概念、法則、定律等的再創(chuàng)造.

正如數(shù)學(xué)教育學(xué)家波利亞所說：我們應(yīng)該讓兒童重演人類心理演進(jìn)的重大步驟. 當(dāng)然，我們不用讓他重復(fù)過去一千零一個錯誤，而只是重復(fù)“重大步驟”. 由于相關(guān)概念、法則和定律發(fā)生、發(fā)展的歷史并不一定符合學(xué)生的思維習(xí)慣，因此教師在創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)史情境引導(dǎo)學(xué)生完成對數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的再創(chuàng)造時，往往需要對歷史素材進(jìn)行改造和重建. 下面以橢圓概念的再創(chuàng)造為例進(jìn)行說明.

如前所述，橢圓概念的發(fā)生、發(fā)展歷史和目前大多數(shù)教師常用的教學(xué)設(shè)計并不太一致. 之所以這樣，是因為盡管從平面截圓錐引入橢圓非常自然，且符合學(xué)生的已有認(rèn)知基礎(chǔ)，但是要從橢圓的截線定義過渡到橢圓的軌跡定義是非常艱難的. 因此，教師放棄了平面截圓錐的引入方式.

但是近年來由于信息技術(shù)在教育領(lǐng)域的廣泛使用，使得我們可以借助信息技術(shù)突破從橢圓的截線定義過渡到橢圓的軌跡定義的難點，因此教學(xué)中也可以考慮基于數(shù)學(xué)史素材創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷橢圓概念的演變過程，并重復(fù)其中的“重大步驟”，完成對橢圓概念的再創(chuàng)造.

1. 創(chuàng)設(shè)情境，引入橢圓的截線定義

如圖2，使用學(xué)生生活中常見的橢圓形的建筑、傾斜燒杯中的水面橢圓等引入橢圓，這樣符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律. 學(xué)生很容易指出這些圖形叫橢圓.

緊接著，教師便可以拋出歷史素材：古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)用平面截圓錐可以得到不同的曲線，今天我們將這些曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線. 其中，當(dāng)截面和底面夾角小于母線和底面夾角時，所截得的曲線稱為橢圓（如圖3）.

我們在這里對歷史素材進(jìn)行了改造. 實際上，在阿波羅尼奧斯之前，古希臘的學(xué)者們在研究倍立方問題時被引到了對圓錐曲線的研究上. 例如，歐幾里得在《幾何原本》第6卷中談到了用垂直于母線的平面截銳角圓錐、直角圓錐、鈍角圓錐所得的曲線. 這里我們忽略了這部分歷史，正如波利亞所說，我們只需引導(dǎo)兒童經(jīng)歷其“重大步驟”.

2. 探究新知，發(fā)現(xiàn)橢圓的軌跡定義

由截線定義所得的橢圓和學(xué)生已有認(rèn)知中的橢圓完全相符. 因此，學(xué)生接受起來十分自然. 接下來，我們可以借助信息技術(shù)引導(dǎo)學(xué)生完成從橢圓的截線定義到橢圓的軌跡定義的過渡.

這里，我們需要再次對歷史進(jìn)行改造和重建. 我們可以將1822年旦德林的工作放到17世紀(jì)洛必達(dá)的軌跡定義之前，之后再進(jìn)行作圖驗證，最后得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，如圖4所示.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，像這種對數(shù)學(xué)概念、法則、定律等發(fā)生、發(fā)展的歷史順序進(jìn)行改造重建的例子非常多. 例如，從指數(shù)的逆運算引入對數(shù)更簡潔，但是歷史上卻是在對數(shù)誕生數(shù)百年后，才由數(shù)學(xué)家歐拉指出了指數(shù)和對數(shù)的關(guān)系. 有時候，數(shù)學(xué)的發(fā)展史并不一定符合學(xué)生的認(rèn)知習(xí)慣，因此對數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史順序進(jìn)行改造和重建非常必要.

如圖5，大球和小球都和圓錐面相切，平面和大球相切于點[F1，] 與小球相切于點[F2.] 通過度量，學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)點[P]在橢圓上運動時，[PF1+PF2]為定值. 之后可以設(shè)計探究活動，引導(dǎo)學(xué)生思考、論證為何[PF1+][PF2]的值為定值. 事實上，由于[PF1，PN]均為大球的切線，所以[PF1=PN.] 同理，[PF2=PM.] 所以[PF1+][PF2=MN，] 為定值.

通過此探究活動，學(xué)生借助信息技術(shù)帶來的直觀體驗，實現(xiàn)了對橢圓概念的再創(chuàng)造：橢圓是平面內(nèi)到兩定點距離之和為定值（大于兩定點間的距離）的點的軌跡.

3. 應(yīng)用新知，設(shè)計橢圓繪圖工具

從歷史上看，17世紀(jì)笛卡兒在《幾何學(xué)》中對圓錐曲線方程的研究引起了數(shù)學(xué)家對圓錐曲線作圖方法的探究. 法國數(shù)學(xué)家舒騰給出了橢圓的三種作圖工具（如圖6），其中圖6（b）就是利用了橢圓上的點到橢圓兩焦點距離之和為常數(shù).

課堂上，教師也可以設(shè)計活動，讓學(xué)生經(jīng)歷這個歷史過程，既有助于學(xué)生對橢圓概念的理解，又能夠培養(yǎng)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識運用到處理實際問題中的能力. 因此，在得到橢圓的定義后，教師可以進(jìn)一步讓學(xué)生設(shè)計一種能夠繪制橢圓的工具. 根據(jù)探究所得，學(xué)生能夠想到在平面內(nèi)固定兩點，繃緊一根定長的繩子（大于兩定點間的距離）繞兩點旋轉(zhuǎn)一圈繪制的圖形便是橢圓.

如果學(xué)情允許，教師可以進(jìn)一步提供舒騰的另外兩種繪制橢圓的工具，讓學(xué)生運用所學(xué)知識得到橢圓的概念，并論述使用這些工具繪制的曲線的確為橢圓.

4. 鞏固新知，推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程

在學(xué)生完成橢圓繪制工具的設(shè)計后，教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷橢圓概念發(fā)展歷史中的又一“重大步驟”，即橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的建立. 這始于17世紀(jì)笛卡兒在其著作《幾何學(xué)》中的工作. 同時，對橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)往往也是橢圓起始課的一個重要教學(xué)目標(biāo). 數(shù)學(xué)史素材的使用，始終是為達(dá)成教學(xué)目標(biāo)而服務(wù)的.

可以發(fā)現(xiàn)，洛必達(dá)的方法能避免二次平方帶來的煩瑣運算，使學(xué)生體會到對稱的思想，提升他們的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

至此，教師通過對橢圓概念發(fā)生、發(fā)展的歷史進(jìn)行改造和重建，使其變成了適合學(xué)生課堂探究的素材，并引導(dǎo)學(xué)生完成了對橢圓的概念和標(biāo)準(zhǔn)方程的再創(chuàng)造.

二、結(jié)論

教師通過對數(shù)學(xué)史素材進(jìn)行篩選、改造和重建，利用歷史素材創(chuàng)設(shè)適合學(xué)生“再創(chuàng)造”的情境，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)內(nèi)容發(fā)生、發(fā)展的歷史過程，有助于增強學(xué)生的學(xué)習(xí)動機，促使學(xué)生保持對數(shù)學(xué)的興趣，解釋數(shù)學(xué)在社會中的作用及數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的關(guān)聯(lián). 同時，歷史上數(shù)學(xué)概念、法則、定律等發(fā)展的障礙，有助于學(xué)生認(rèn)識到學(xué)習(xí)中的困難. 數(shù)學(xué)家突破這些障礙的事跡，以及在突破障礙過程中運用的思想方法等，有助于學(xué)生增強克服困難的勇氣和決心. 通過近距離感受數(shù)學(xué)大師的風(fēng)采，使學(xué)生更深刻地理解學(xué)習(xí)的內(nèi)容.

教師在“再創(chuàng)造”理論指導(dǎo)下進(jìn)行數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)教學(xué)融合的設(shè)計，對教師也提出了更高的要求. 教師要了解所講授知識內(nèi)容的歷史發(fā)展過程，能確定歷史發(fā)展過程中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，從一個環(huán)節(jié)發(fā)展到下一個環(huán)節(jié)的動因，以及數(shù)學(xué)家所面臨的困難和障礙，并在此基礎(chǔ)上，重構(gòu)這些環(huán)節(jié)，使之適合課堂教學(xué). 同時，要在此基礎(chǔ)上設(shè)計一系列由易至難的問題串，引導(dǎo)學(xué)生逐步完成對知識內(nèi)容的再創(chuàng)造.

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］汪曉勤，王苗，鄒佳晨. HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計：以橢圓為例［J］. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2011，20（5）：20-23.

［3］鄒佳晨. 橢圓的歷史與教學(xué)［D］. 上海：華東師范大學(xué)，2010.

基金項目：北京市教育學(xué)會“十四五”規(guī)劃立項課題——基于核心素養(yǎng)培養(yǎng)的數(shù)學(xué)史與高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)深度融合研究（CYYB2021-346）.

作者簡介：劉嘉（1983— ），男，中學(xué)高級教師，主要從事數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)融合研究；

王秀彩（1971— ），男，正高級教師，北京市特級教師，主要從事高中數(shù)學(xué)大單元主題教學(xué)結(jié)構(gòu)化研究.