“平面向量基本定理”深度教學(xué)分析與設(shè)計(jì)

李璐　陳算榮

摘? 要：平面向量基本定理是高中數(shù)學(xué)重要的定理之一，基于深度學(xué)習(xí)的理念，在高觀點(diǎn)視角下分析平面向量基本定理，并在問(wèn)題驅(qū)動(dòng)下引導(dǎo)學(xué)生自主探究，導(dǎo)向?qū)W生的深度學(xué)習(xí)，以實(shí)現(xiàn)深度教學(xué)目標(biāo)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：平面向量基本定理；教學(xué)設(shè)計(jì)；深度學(xué)習(xí)

一、問(wèn)題提出

題目 （2020年高考數(shù)學(xué)江蘇卷·13）在[△ABC]中，[AB=4]，[AC=3]，[∠BAC=90°]，點(diǎn)D在邊BC上，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)P，使得[AP=9]，若[PA=mPB+32-mPC]（m為常數(shù)），則CD的長(zhǎng)度是? ? ? ? .

此題是填空題的倒數(shù)第二題. 解答此題需要學(xué)生具備向量的基礎(chǔ)知識(shí)，在數(shù)形結(jié)合思想的指導(dǎo)下借助基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)抽象出數(shù)學(xué)模型，在數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的支持下開(kāi)展探究. 在該題中，可以建立平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合函數(shù)與方程思想計(jì)算出CD的長(zhǎng)度，這是學(xué)生容易想到的方法，但是計(jì)算量較大. 如果有效利用平面向量基本定理，找出“三點(diǎn)共線”向量表達(dá)式的特征，再利用“表示唯一性”這一特點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算，便能夠快速得出AP與PD之間的比例關(guān)系，從而降低計(jì)算量. 在考試中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，在問(wèn)題中改進(jìn)教學(xué). 這道試題映射出了在平面向量基本定理這一課時(shí)中，教師不僅要重視知識(shí)點(diǎn)的講解，還要教會(huì)學(xué)生如何關(guān)聯(lián)已有知識(shí)進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，即教方法、教思想，最終指向深度學(xué)習(xí). 基于深度學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)課堂是提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效陣地，也是對(duì)教知識(shí)、教方法、教思想的教學(xué)理念的較好詮釋.

深度學(xué)習(xí)是在學(xué)生理解的基礎(chǔ)上解決具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題和發(fā)展高階思維的學(xué)習(xí)方式. 相對(duì)于以教師為主導(dǎo)的傳統(tǒng)教學(xué)模式，基于深度學(xué)習(xí)理念的課堂教學(xué)更能彰顯學(xué)生的主體性，能有效發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解. 向量是抽象的數(shù)學(xué)概念，很多學(xué)生對(duì)于該知識(shí)的理解浮于表面，停留在機(jī)械計(jì)算. 例如，學(xué)生能進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算，但是卻不知道向量為什么能用坐標(biāo)表示. 平面向量基本定理作為高中數(shù)學(xué)教材中為數(shù)不多的“基本定理”之一，是溝通向量與坐標(biāo)表示的橋梁，是代數(shù)化解決向量問(wèn)題的理論基礎(chǔ)，對(duì)于學(xué)生整體掌握向量的知識(shí)體系是至關(guān)重要的.

通過(guò)對(duì)“平面向量基本定理”的相關(guān)文獻(xiàn)進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)當(dāng)前很多教學(xué)設(shè)計(jì)存在以下幾點(diǎn)問(wèn)題：（1）缺乏對(duì)向量共線定理和平面向量基本定理之間聯(lián)系的揭示；（2）教學(xué)活動(dòng)及例題和習(xí)題的設(shè)置比較單一，缺乏對(duì)學(xué)生思維的深度挖掘；（3）固化“一個(gè)定理，三點(diǎn)注意，定理應(yīng)用”的教學(xué)模式，簡(jiǎn)化定理的探究過(guò)程，忽略定理的本質(zhì)，使得學(xué)生對(duì)定理的理解浮于表面，知其然而不知其所以然.

基于以上問(wèn)題分析，結(jié)合深度學(xué)習(xí)理念，探索深度教學(xué)設(shè)計(jì). 下文的設(shè)計(jì)經(jīng)過(guò)多次實(shí)踐反思后打磨而成，力求構(gòu)建具有探究性、理解性和批判性的數(shù)學(xué)課堂，在高觀點(diǎn)視角下分析平面向量基本定理，在問(wèn)題驅(qū)動(dòng)下引導(dǎo)學(xué)生自主探究，幫助學(xué)生理解定理的實(shí)質(zhì)，真正體驗(yàn)深度學(xué)習(xí)，感受由平面向量基本定理所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)之美.

二、教學(xué)內(nèi)容分析

1. 教材分析

“平面向量基本定理”是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)》）必修課程“幾何與代數(shù)”主題“平面向量及其應(yīng)用”中的內(nèi)容，要求學(xué)生理解平面向量基本定理及其意義，掌握平面向量基本定理的應(yīng)用. 結(jié)合高等數(shù)學(xué)來(lái)看，平面向量基本定理是線性代數(shù)中向量線性表示的特殊情況. 結(jié)合人教A版《普通高中教科書(shū)·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱(chēng)“教材”）進(jìn)行分析，該節(jié)課位于教材必修第二冊(cè)“平面向量及其應(yīng)用”一章的第三小節(jié)，在內(nèi)容上起到了承上啟下的作用，既與向量的運(yùn)算密不可分，又為向量的坐標(biāo)表示奠定了基礎(chǔ).

2. 深度教學(xué)目標(biāo)

確立深度教學(xué)目標(biāo)是導(dǎo)向?qū)W生深度學(xué)習(xí)的前提. 根據(jù)布魯姆教育目標(biāo)分類(lèi)學(xué)，機(jī)械記憶和淺層理解屬于淺層學(xué)習(xí)，而應(yīng)用、分析、評(píng)價(jià)和創(chuàng)造可以歸為深度學(xué)習(xí)的范疇，能觸發(fā)學(xué)生高水平的認(rèn)知，調(diào)動(dòng)學(xué)生的高階思維.

依據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》及具體內(nèi)容的分析，“平面向量基本定理”的教學(xué)目標(biāo)設(shè)置如下：（1）能夠用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述平面向量基本定理，理解平面向量基本定理及其意義（理解層次）；（2）結(jié)合平面向量的概念和運(yùn)算探究平面向量基本定理，分析定理的實(shí)質(zhì)和意義（分析層次）；（3）能應(yīng)用定理解決相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題，能依據(jù)具體問(wèn)題靈活利用“基底不唯一性”“表示唯一性”等性質(zhì)（應(yīng)用層次）；（4）積極參與質(zhì)疑、思考和交流活動(dòng)，在探究活動(dòng)中體會(huì)反證法的證明過(guò)程，深化數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的基本思想，體會(huì)探究數(shù)學(xué)定理的基本方法（評(píng)價(jià)層次）.

教學(xué)重點(diǎn)：平面向量基本定理的形成過(guò)程，以及平面向量基本定理的應(yīng)用.

教學(xué)難點(diǎn)：平面向量基本定理的探究.

三、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

1. 創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引發(fā)深度思考

問(wèn)題1：如圖1，在直線l上取向量[OA]，那么直線l上的任一向量可以如何表示？

【設(shè)計(jì)意圖】根據(jù)向量共線定理，可知對(duì)于直線上任一向量a，都存在唯一的實(shí)數(shù)m，使得a[=mOA]. 這實(shí)際上揭示了任意非零向量都可以構(gòu)成一維向量空間的基，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注任一向量與實(shí)數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，引出一維向量的坐標(biāo)表示. 由此讓學(xué)生體會(huì)向量共線定理的魅力，建立向量與實(shí)數(shù)之間的聯(lián)系，為引出平面向量基本定理及后續(xù)探究活動(dòng)做鋪墊.

問(wèn)題2：數(shù)學(xué)中，人們總是追求用最少的量來(lái)表示一類(lèi)問(wèn)題. 那么，平面內(nèi)的任一向量可以如何表示？

【設(shè)計(jì)意圖】由一維問(wèn)題類(lèi)比提出二維問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生進(jìn)階思考. 這個(gè)問(wèn)題作為懸念設(shè)置，不要求學(xué)生立刻作答，而是引出新的課題和研究任務(wù).

承接這一問(wèn)題，教師提出：在物理矢量的學(xué)習(xí)中，是否有過(guò)將一個(gè)矢量用其他兩個(gè)矢量表示的經(jīng)歷？自然引出下面的情境.

2. 巧設(shè)物理情境，抽象分解模型

問(wèn)題3：如圖2，某渡口處，江水以速度v1向東流，小船在靜水中的速度為v2. 若使得小船垂直過(guò)江，該如何確定小船的航向？

【設(shè)計(jì)意圖】該問(wèn)題從矢量分解出發(fā)，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)遷移，讓學(xué)生初步體會(huì)向量分解的過(guò)程. 學(xué)生不難得到通過(guò)平行四邊形法則可以將一個(gè)向量分解成兩個(gè)方向不同的分向量，從而表示成兩個(gè)分向量代數(shù)和的形式.

問(wèn)題4：?jiǎn)栴}3的解答的實(shí)質(zhì)是什么？

問(wèn)題5：根據(jù)平行四邊形法則，向量可以分解成多組大小、方向不同的兩個(gè)分向量，并表示為分向量的和. 若給定兩個(gè)分向量，平面內(nèi)任一向量可以如何表示呢？

【設(shè)計(jì)意圖】從問(wèn)題3到問(wèn)題4是引導(dǎo)學(xué)生透過(guò)具體的物理實(shí)例看問(wèn)題的本質(zhì)，即一個(gè)平面向量可以唯一分解到給定的兩個(gè)方向上，使學(xué)生形成初步感知. 問(wèn)題5可以幫助學(xué)生建立完整認(rèn)知，即至少需要給定兩個(gè)向量才能表示平面內(nèi)任一向量.

教師進(jìn)一步提問(wèn)：給定的兩個(gè)向量需要滿足什么條件？

【設(shè)計(jì)意圖】問(wèn)題4啟發(fā)學(xué)生明白平面內(nèi)任一向量可以用給定的兩個(gè)不共線的向量表示，并且在不給定方向的情況下，可以分解到兩個(gè)不同的方向上，這個(gè)過(guò)程體現(xiàn)了學(xué)生認(rèn)知的進(jìn)階性.

3. 助推知識(shí)建構(gòu)，發(fā)展高階思維

探究活動(dòng)1：如圖3，在同一平面內(nèi)，如何將給定的向量a用兩個(gè)不共線的向量e1，e2線性表示.

【設(shè)計(jì)意圖】有了前面對(duì)平面向量分解的進(jìn)階認(rèn)知基礎(chǔ)，創(chuàng)設(shè)這一具體的操作活動(dòng)，幫助學(xué)生內(nèi)化這一認(rèn)知，得到向量a可以表示成[λ1]e1+[λ2]e2的形式，并且發(fā)現(xiàn)這樣的分解是唯一的.

向量a是平面內(nèi)的給定向量，而平面內(nèi)的任一向量都可以通過(guò)改變向量a的大小和方向獲得. 因此，我們想要探究任一向量的情況，不妨分解成以下兩個(gè)探究活動(dòng).

探究活動(dòng)2：不改變向量a的方向，改變向量a的大小，所得到的向量可以由不共線向量e1，e2線性表示嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】分別從數(shù)和形的角度著手. 從形的角度分析，可以將所得向量按平行四邊形法則分解；從數(shù)的角度分析，所得向量可以表示為ma，若[a=λ1e1+][λ2e2，] 則[ma=mλ1e1+mλ2e2]. 這一活動(dòng)有助于學(xué)生進(jìn)行知識(shí)關(guān)聯(lián)，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，這也是深度學(xué)習(xí)的重要體現(xiàn)之一.

探究活動(dòng)3：如果不改變向量a的大小，只改變向量a的方向，所得到的向量可以由不共線向量e1，e2線性表示嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】探究活動(dòng)3有助于學(xué)生深度體驗(yàn)無(wú)論向量的方向如何改變，都可以按e1，e2的方向分解，從而表示成[λ1e1+λ2e2]的形式，并可以運(yùn)用信息技術(shù)展現(xiàn)動(dòng)態(tài)變化過(guò)程.

探究活動(dòng)4：e1，e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量，對(duì)于平面內(nèi)任一向量a，能找到幾組[λ1，λ2，] 使得[a=λ1e1+][λ2e2]？

問(wèn)題6：結(jié)合上述探究活動(dòng)，分別用文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言說(shuō)一說(shuō)你得到了什么結(jié)論.

【設(shè)計(jì)意圖】探究活動(dòng)4從幾何直觀出發(fā)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)向量與實(shí)數(shù)對(duì)之間的關(guān)系，并運(yùn)用反證法證明，促使學(xué)生深刻理解“表示唯一性”的含義. 問(wèn)題6旨在讓學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行抽象概括，有利于化被動(dòng)接受為主動(dòng)學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

歸納總結(jié)：請(qǐng)同學(xué)們進(jìn)一步完善自己的結(jié)論. 阿基米德說(shuō)過(guò)，只要給我一個(gè)支點(diǎn)，我就能撬起地球. 同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量就是該平面內(nèi)所有向量的“支點(diǎn)”，我們將其稱(chēng)為基底（base），同時(shí)將該定理稱(chēng)為平面向量基本定理.

4. 設(shè)計(jì)變式練習(xí)，深化知識(shí)理解

例? 如圖4，在[△ABC]中，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，[CD=][12AB]，用向量方法證明[△ABC]是直角三角形.

變式1：用[CA]，[CB]表示[CD].

變式2：若[AP=tAB]（t ∈ R），用[CA]，[CB]表示[CP].

【設(shè)計(jì)意圖】例題的設(shè)置有利于促進(jìn)學(xué)生的認(rèn)知從“知之”到“用之”，實(shí)現(xiàn)知識(shí)結(jié)構(gòu)與知識(shí)應(yīng)用的統(tǒng)一，避免“惰性學(xué)習(xí)”，激發(fā)“有活力的知識(shí)”. 該例題在一個(gè)問(wèn)題模型的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)變式練習(xí)，囊括了用基底表示任一向量和怎樣選擇合適的基底等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，幫助學(xué)生從整體上把握知識(shí)，學(xué)以致用，深化學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解.

5. 融入高觀點(diǎn)思維，引領(lǐng)深度反思

問(wèn)題7：如圖5，平面向量基本定理與向量共線定理有什么區(qū)別和聯(lián)系嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】深度教學(xué)基于教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容的深度理解，高觀點(diǎn)下看平面向量基本定理，實(shí)際上是向量線性表示在二維空間的特殊情況，揭示該內(nèi)容背后的本質(zhì)，對(duì)于三維空間乃至n維空間向量的學(xué)習(xí)都起到了指引作用. 通過(guò)思維導(dǎo)圖引導(dǎo)學(xué)生感受兩個(gè)定理之間的區(qū)別與聯(lián)系，建立向量與實(shí)數(shù)之間的聯(lián)系，為平面向量的坐標(biāo)表示的學(xué)習(xí)做鋪墊，并為空間向量的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).

問(wèn)題8：這節(jié)課你收獲了哪些知識(shí)與技能？令你印象最深刻的探究活動(dòng)是哪一個(gè)？你有什么啟示？你還有哪些困惑？

【設(shè)計(jì)意圖】在課堂小結(jié)部分盡量引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)與技能、過(guò)程與方法和情感上分別談一談自己的體會(huì)，并引導(dǎo)學(xué)生思考平面向量基本定理的價(jià)值. 教師在學(xué)生反饋的基礎(chǔ)上進(jìn)一步歸納、提升，將本節(jié)課的內(nèi)容歸納為“一、二、三”（一個(gè)定理，兩個(gè)數(shù)學(xué)方法，三個(gè)數(shù)學(xué)思想），即認(rèn)識(shí)了平面向量基本定理，通過(guò)類(lèi)比矢量的分解學(xué)習(xí)向量的分解，并且初步了解了反證法，在解決問(wèn)題的過(guò)程中用到了數(shù)形結(jié)合思想，以及轉(zhuǎn)化與化歸思想. 平面向量基本定理使得平面內(nèi)所有向量都可以由一個(gè)基底唯一表示，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美.

四、結(jié)束語(yǔ)

深度教學(xué)是促進(jìn)核心素養(yǎng)在課堂上落地的有效途徑，那么如何在教學(xué)中體現(xiàn)“深度”？深度教學(xué)要求教師超越機(jī)械性、表層性和記憶性的知識(shí)講解，挖掘本質(zhì)性、關(guān)聯(lián)性和應(yīng)用性的深度思考，實(shí)現(xiàn)知識(shí)結(jié)構(gòu)與知識(shí)應(yīng)用的統(tǒng)一，促進(jìn)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的教學(xué)與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育的融合. 深度學(xué)習(xí)理念應(yīng)貫穿于教學(xué)過(guò)程的始終，通過(guò)對(duì)《標(biāo)準(zhǔn)》、教材及學(xué)情的深度分析，建構(gòu)深度教學(xué)目標(biāo)，在教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)和實(shí)施的過(guò)程中，緊扣深度教學(xué)目標(biāo)，借助探究活動(dòng)聚焦學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育，創(chuàng)設(shè)深層追問(wèn)推進(jìn)學(xué)生高階思維的發(fā)展，以深度教學(xué)導(dǎo)向?qū)W生的深度學(xué)習(xí).

在“平面向量基本定理”的教學(xué)設(shè)計(jì)中，以一維問(wèn)題引出二維問(wèn)題，揭示向量坐標(biāo)表示的本質(zhì)，總結(jié)類(lèi)似問(wèn)題的研究路徑，提出富有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)任務(wù). 通過(guò)巧設(shè)物理情境，引導(dǎo)學(xué)生初步感知平面向量的分解，并用探究活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生步步深入，真正體驗(yàn)定理的生成過(guò)程，經(jīng)歷問(wèn)題解決的思維過(guò)程，從而得到平面內(nèi)任一向量都可以由一個(gè)基底唯一表示的結(jié)論. 這個(gè)過(guò)程促進(jìn)了學(xué)生的深度認(rèn)知，激發(fā)了學(xué)生的主觀能動(dòng)性，從而驅(qū)動(dòng)了學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，培育了學(xué)生的邏輯推理和直觀想象等素養(yǎng). 在認(rèn)識(shí)平面向量基本定理之后，用例題進(jìn)一步深化學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，并以直線、平面、空間為問(wèn)題軸，用思維導(dǎo)圖的形式啟發(fā)學(xué)生類(lèi)比學(xué)習(xí)，鼓勵(lì)學(xué)生自主探究，幫助學(xué)生形成整體認(rèn)知.

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基金項(xiàng)目：揚(yáng)州大學(xué)2021年度研究生教育教學(xué)改革與實(shí)踐課題——新情境下教育碩士實(shí)踐創(chuàng)新能力提升行動(dòng)研究（JGLX2021_008）.

作者簡(jiǎn)介：李璐（1999— ），女，碩士研究生，主要從事數(shù)學(xué)教育研究；

陳算榮（1972— ），女，副教授，博士，主要從事數(shù)學(xué)教育、課程與教學(xué)、教師教育研究，系本文通訊作者.