初中數(shù)學(xué)非標(biāo)準(zhǔn)題型解題思路研究
——以“換元法”為例

福建省南安市僑光中學(xué)

鄭海萍

學(xué)生在日常解題中，一旦遇到非標(biāo)準(zhǔn)、非典型的題目，如果按照傳統(tǒng)解題思路和模式進(jìn)行解題，就會(huì)處處碰壁，出現(xiàn)甚至解題錯(cuò)誤等情況.教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生另辟蹊徑，引入一個(gè)或若干個(gè)新元素替代問(wèn)題中的“元”，借助變量代換的方式，通過(guò)化繁為簡(jiǎn)、化難為易，逐漸降低解題難度.同時(shí)，鑒于換元法的特點(diǎn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)和應(yīng)用中，也逐漸拓展了自身的解題思路，培養(yǎng)了創(chuàng)新意識(shí)，促進(jìn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.

1 換元法概述

換元法又稱為“輔助元素法”“變量代換法”，主要是運(yùn)用一個(gè)新的變量，代替原本題目中的某一個(gè)元素，即運(yùn)用一個(gè)新的元素，代替問(wèn)題中原來(lái)的“元素”，進(jìn)而使得原本非標(biāo)準(zhǔn)、非典型的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得更加標(biāo)準(zhǔn)、典型，有效降低學(xué)生的解題難度.從本質(zhì)內(nèi)涵上來(lái)說(shuō)，換元法就是變量代換、轉(zhuǎn)化，其關(guān)鍵就在于合理選擇出“新元”，并將其代入到數(shù)學(xué)問(wèn)題中，進(jìn)行適當(dāng)?shù)拇鷵Q，促進(jìn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，以便于快速找到解題思路，順利解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.

縱觀初中數(shù)學(xué)解題現(xiàn)狀，在實(shí)施“換元法”時(shí)，基本上都是遵循“換元—求解—檢驗(yàn)”步驟進(jìn)行的.常用的換元方法主要包括局部換元、三角換元、均值換元三種.其中，局部換元就是指在數(shù)學(xué)解題中，某一個(gè)代數(shù)式反復(fù)出現(xiàn)了幾次，可采用一個(gè)字母進(jìn)行代替，促使繁雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化.通常，這一換元方式應(yīng)用于不等式問(wèn)題的求解中；三角換元?jiǎng)t是在解決去根號(hào)、變換為三角形的問(wèn)題中，運(yùn)用已知代數(shù)式和三角知識(shí)間的內(nèi)在連接點(diǎn)進(jìn)行換元，常常將函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的三角函數(shù)進(jìn)行解答；均值換元?jiǎng)t常常應(yīng)用于“兩個(gè)未知量的和是已知”的情況，借助均值換元的模式，運(yùn)用新的變量將兩個(gè)未知量表示出來(lái)，進(jìn)而完成數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答[1].

2 換元法在初中數(shù)學(xué)非標(biāo)準(zhǔn)題型解題中的具體運(yùn)用

2.1 運(yùn)用換元法解決方程問(wèn)題

在初中數(shù)學(xué)解題中，換元是一種常用的解題方法.尤其是解決一些復(fù)雜的方程問(wèn)題時(shí)，如果按照常規(guī)的解題方式，問(wèn)題就會(huì)變得非常復(fù)雜，甚至超出學(xué)生的能力范圍，致使學(xué)生難以解答.其實(shí)，這些題目中常常蘊(yùn)含著換元的條件，如果對(duì)其仔細(xì)分析，找出可替換的“元”，并運(yùn)用新的未知數(shù)進(jìn)行代替，那么，原本復(fù)雜的方程問(wèn)題會(huì)變得簡(jiǎn)單，以便于學(xué)生快速解出正確答案.

例1解方程(x2+5x+4)(x2+5x+6)=1.

如此一來(lái)，例1通過(guò)換元法的應(yīng)用，避免了高次方程的出現(xiàn)，排除了學(xué)生無(wú)法解決問(wèn)題的困擾，真正提升了學(xué)生的解題效率.學(xué)生經(jīng)過(guò)一段時(shí)間訓(xùn)練之后，也能從換元解題中，感受到換元法的內(nèi)涵，喚醒學(xué)生的數(shù)學(xué)解題動(dòng)機(jī)[2].

2.2 運(yùn)用換元法解決方程組問(wèn)題

在初中數(shù)學(xué)解題中，如果方程組求解的難度相對(duì)比較高，學(xué)生無(wú)法按照常規(guī)的方式解決時(shí)，就可引導(dǎo)學(xué)生借助換元法，將原本復(fù)雜的方程組進(jìn)行轉(zhuǎn)化，比如將高次方程組轉(zhuǎn)化為低次方程組.另外，在解方程組的過(guò)程中，有的方程組雖然可運(yùn)用傳統(tǒng)的方式解答，但計(jì)算量比較大，學(xué)生在繁瑣的計(jì)算中，常常會(huì)出現(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤.鑒于此，也可借助換元法解題，減少計(jì)算量，避免解題錯(cuò)誤.

分析：如果按照傳統(tǒng)的方法解方程組，學(xué)生就會(huì)面臨著復(fù)雜的計(jì)算，進(jìn)而在繁雜的計(jì)算中，出現(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤，嚴(yán)重制約了學(xué)生的解題效率.鑒于此，例2可借助單參數(shù)換元的方法，設(shè)2(x+1)=3(y-1)=6k，對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn)，得出x=3k-1，y=2k+1，并將其代入到第二個(gè)方程中，得到5(3k-2)=3(2k+2)-7，解出k=1.所以x=3k-1=2，y=2k+1=3.

例2借助了換元法，將原來(lái)方程中比較復(fù)雜的代數(shù)式，運(yùn)用一個(gè)簡(jiǎn)單的字母進(jìn)行代替，使得原本的方程變得簡(jiǎn)單.需要說(shuō)明的是，在借助這一方法解方程組時(shí)，應(yīng)按照“設(shè)元—換元—求新元—回代—求解—驗(yàn)根”的步驟進(jìn)行，真正提升數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的效率[3].

2.3 運(yùn)用換元法解決因式分解問(wèn)題

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，多項(xiàng)式的因式分解是考查的重點(diǎn)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn).學(xué)生在因式分解時(shí)，需明確因式分解和整式乘法的關(guān)系，并在新舊知識(shí)對(duì)比中，掌握因式分解的方法.在諸多的因式分解方法中，換元法尤為常用，并以其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，深受教師和學(xué)生的青睞.

例3分解因式(x2+3x+2)(x2+7x+12)-120.

分析：在解答這一問(wèn)題時(shí)，如果按照常規(guī)的解題思路，先利用乘法公式展開再分解，問(wèn)題就會(huì)變得非常困難，而直接運(yùn)用換元法似乎也不太可能.此時(shí)，學(xué)生必須要認(rèn)真分析題目的結(jié)構(gòu)，將其初步變形，得到(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-120，之后對(duì)其重新組合，變形成為[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]-120，并化簡(jiǎn)為(x2+5x+4)(x2+5x+6)-120；之后，就可借助換元法，設(shè)x2+5x+4=y，則原式就等于y(y+2)-120=y2+2y-120=(y+12)(y-10)，之后再代回原來(lái)的表達(dá)式，得(x2+5x+4+12)·(x2+5x+4-10)，經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)得出最終結(jié)果，即(x+6)(x-1)(x2+5x+16).

在例3的解答中，如何找到替換的“元”是關(guān)鍵.學(xué)生在解答該題之前，應(yīng)對(duì)原式進(jìn)行仔細(xì)觀察和分析，將其適當(dāng)變形，通過(guò)分解和重新組合，找到替換的“元”.之后，再借助換元法完成問(wèn)題的解答.

2.4 運(yùn)用換元法加強(qiáng)整式運(yùn)算

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，一些非標(biāo)準(zhǔn)型的整式運(yùn)算相對(duì)比較復(fù)雜，學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)，常常面臨著無(wú)法下手、不知道如何解決的現(xiàn)象.鑒于此，可借助換元法，將整式中相同的部分視為一個(gè)整體，并借助新元進(jìn)行代換，進(jìn)而將復(fù)雜的整式運(yùn)算轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題.

例4計(jì)算：

(1-2-3-……-998)(2+3+4……+999)-(1-2-3-……-999)(2+3+4+……+998).

分析：在計(jì)算這一整式時(shí)，常規(guī)方法根本無(wú)法解決，唯有借助換元法的思想內(nèi)涵，比如將(2+3+4+……+999)設(shè)為a，將(2+3+4+……+998)設(shè)為b，則原來(lái)的整式就可變?yōu)?1-b)a-(1-a)b，并據(jù)此進(jìn)行求解.如此，通過(guò)換元法的應(yīng)用，使得原本復(fù)雜的整式計(jì)算變得非常簡(jiǎn)單，真正提升了學(xué)生的解題效率[4].

綜上所述，在初中數(shù)學(xué)解題中，學(xué)生常常會(huì)遇到非標(biāo)準(zhǔn)、非典型的問(wèn)題，無(wú)法按照傳統(tǒng)的方式進(jìn)行解題，甚至在解題中頻頻出現(xiàn)錯(cuò)誤.鑒于此，可基于換元法的特點(diǎn)，采用新“元”替換的方式，將原本復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單化，以便于學(xué)生順利解決這些問(wèn)題.