動態(tài)理解圖形 培養(yǎng)幾何直觀

孫亞燕

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“課標(biāo)”）指出，課程教學(xué)要以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，并且把幾何直觀作為核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一。課標(biāo)指出，幾何直觀有助于把握問題的本質(zhì)，明晰思維的路徑。下面以“探索直線平行的條件”教學(xué)為例，談自己在教學(xué)中的一些實踐。

一、教材與學(xué)情分析

“探索直線平行的條件”是蘇科版數(shù)學(xué)七年級下冊第7章“平面圖形的認(rèn)識（二）”第一節(jié)的內(nèi)容。學(xué)生在七年級上冊認(rèn)識了簡單的平面圖形（線和角），初步研究了簡單圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，嘗試進(jìn)行推理，初步學(xué)會用數(shù)學(xué)語言有條理地表達(dá)。

本節(jié)課作為章起始課，既要喚醒學(xué)生對所學(xué)知識的回憶，又要培養(yǎng)學(xué)生研究幾何問題的方法和思維，為后續(xù)研究內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角提供學(xué)習(xí)支持。本課通過幾何畫板提供動態(tài)的圖形變換，引導(dǎo)學(xué)生理解圖形，挖掘概念內(nèi)涵，建立空間觀念，培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀，從而促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。

二、教學(xué)目標(biāo)

依據(jù)課標(biāo)，從單元設(shè)計視角出發(fā)，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)：

1.通過幾何畫板，借助幾何直觀，理解同位角的概念。

2.在復(fù)雜圖形中，正確識別同位角。

3.掌握基本事實：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。

4.經(jīng)歷探索直線平行的過程，發(fā)展空間觀念和幾何直觀，培養(yǎng)有條理表達(dá)的能力和推理能力。

其中，教學(xué)重點是正確識別同位角，掌握“同位角相等，兩直線平行”的判定方法；教學(xué)難點是培養(yǎng)有條理表達(dá)的能力和推理能力。

三、教學(xué)過程

（一）認(rèn)識一些角

師：同學(xué)們，上學(xué)期我們認(rèn)識了角。如圖1，角是由公共端點出發(fā)的兩條射線組成的圖形。

問題1：這個公共端點O叫做角的? ?，這兩條射線OA、OB叫做角的? ?。

（設(shè)計意圖：從學(xué)生熟悉的知識入手，低起點，小步走，讓學(xué)生的思緒逐漸回歸數(shù)學(xué)課堂。）

師：本節(jié)課我們來認(rèn)識兩條相交線中的一些角的關(guān)系。

問題2：如圖2，∠1和∠2有什么不同點？獨立思考后同伴交流。

生：（1）角的度數(shù)不同（數(shù)量關(guān)系）；（2）角的頂點不同（位置關(guān)系）。

追問1：∠1和∠2有什么相同點？學(xué)生獨立思考后同伴交流。

生：（1）頂點在同一直線上；（2）角的一條邊在同一直線上（“共線”）（要求學(xué)生用紅筆描出“共線”）；（3）角在“共線”的右側(cè)（同一側(cè)）；（4）角在另一射線（邊）的下方（同一方）（要求學(xué)生用紅筆描出角的另一邊）。

歸納：

不同點：數(shù)量關(guān)系不同、角的位置不同（不同頂點）。

相同點：兩個角的一條邊在同一條直線上，在“共線”的同一側(cè)，在另一邊的同一方，即∠1和∠2都位于“右側(cè)下方”。

歸納同位角的概念：在兩條直線a、b被第三條直線c所截而成的8個角中，像∠1和∠2這樣的一對角稱為同位角。直線a、b是被截直線，c是截線，即“共線”。可以描述為：∠1和∠2是直線a和直線b被直線c所截形成的同位角。

（設(shè)計意圖：通過觀察、思考、交流，找到同位角的概念屬性，引導(dǎo)學(xué)生在觀察兩個對象時可以尋找兩者的異同點，讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)眼光觀察問題，清晰地分析問題；引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識的形成過程，主動表達(dá)自己的想法，從而激發(fā)學(xué)生的求知欲。）

師：在圖2中，你能找出其余的同位角嗎？

問題3：請你找出圖中其余的同位角。并說一說你是如何找到的。

學(xué)生上黑板描述找到的同位角。教師用幾何畫板對應(yīng)顯示學(xué)生的答案。（如圖3）

歸納尋找同位角的方法：首先描出兩個角的兩邊，其次找到“共線”（確定截線），判斷在“共線”的同一側(cè)，然后找到另兩條邊（確定被截直線），在另兩邊的同一方。教師引導(dǎo)學(xué)生描述成“∠3和∠4是直線a和直線b被直線c所截形成的同位角”的句式。

追問：找出的這些同位角像什么字母？

生：像字母“F”。

（設(shè)計意圖：問題2中讓學(xué)生用紅筆描一描同位角的邊，問題3中用多媒體突出顯示同位角，發(fā)現(xiàn)形如字母“F”，幫助學(xué)生從復(fù)雜圖形中簡化、抽象圖形，從而增強(qiáng)學(xué)生的幾何直觀。）

（二）復(fù)雜圖形中尋找同位角

師：在圖2“三線八角”中，我們找到了4組同位角。如果轉(zhuǎn)動直線a，改變∠1的大小，∠1和∠2還是同位角嗎？其余的同位角關(guān)系還存在嗎？（見圖4）

歸納：

同位角與位置有關(guān)，與大小無關(guān)。

（設(shè)計意圖：用幾何畫板轉(zhuǎn)動問題2中的直線a，讓學(xué)生感受角的大小發(fā)生改變，但是∠1和∠2仍是同位角關(guān)系。學(xué)生對“同位角相等，兩直線平行”這個基本事實印象非常深刻，往往形成“同位角即相等”的錯誤觀念，通過圖形變換，讓學(xué)生直觀感受同位角只和位置有關(guān)，與大小無關(guān)。）

師：轉(zhuǎn)動圖2中的直線a，直線a和b交于點C，∠1和∠2是同位角嗎？（見圖5）

問題：你能找出除∠2外，∠1的同位角嗎？

生：∠BCF。

追問：∠1和∠BCF是直線? 和直線? 被直線? 所截形成的同位角。

追問：你能找出除∠1外，∠2的同位角嗎？

（設(shè)計意圖：將圖形封閉起來，尋找同位角是學(xué)生的難點，要求學(xué)生理解同位角的概念，從同位角的兩個頂點在同一直線上不同位置這一特征入手，有條理地進(jìn)行思考。這里要慢節(jié)奏地引導(dǎo)學(xué)生思考、嘗試和解答，從而提升學(xué)生的識圖能力，增強(qiáng)學(xué)生的幾何直觀。）

（三）探索同位角的數(shù)量關(guān)系和被截直線位置之間的聯(lián)系

師：繼續(xù)轉(zhuǎn)動圖2中的直線a，∠1和∠2的大小發(fā)生改變，在變化過程中，直線a和b會平行嗎？

生：會平行。

問題：當(dāng)∠1和∠2的大小滿足什么關(guān)系時，直線a和直線b平行？

歸納：

實踐告訴我們一個基本事實：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。簡單說：同位角相等，兩直線平行。這是判斷兩直線平行的條件。

符號語言：因為∠1和∠2是同位角，且∠1=∠2，所以a∥b。理由：同位角相等，兩直線平行。

（設(shè)計意圖：利用幾何畫板動態(tài)地演示直線的旋轉(zhuǎn)過程，既吸引了學(xué)生的眼球，又引發(fā)學(xué)生不斷地觀察、思考、探索，引導(dǎo)學(xué)生從運(yùn)動變化過程中，從被截直線一般的相交關(guān)系中發(fā)現(xiàn)特殊的位置關(guān)系，進(jìn)一步觀察發(fā)現(xiàn)特殊位置的決定因素是同位角的大小關(guān)系。）

練習(xí)：我們在七年級上冊利用三角尺和直尺這樣畫平行線的依據(jù)是什么呢？（見圖6）

（設(shè)計意圖：學(xué)生已在七年級上冊學(xué)會利用三角尺和直尺畫已知直線的平行線。通過本節(jié)課所學(xué)知識來讓學(xué)生回顧熟悉的操作，既能讓學(xué)生感受知識的連貫性，又能引發(fā)學(xué)生思考，學(xué)會運(yùn)用數(shù)學(xué)思維來分析操作背后的原理，讓學(xué)生“知其然”并“知其所以然”。）

（四）課堂小結(jié)

仍以前面圖2為例，設(shè)計問題。

問題1：我們認(rèn)識了同位角，∠1和∠2是同位角，它們一定相等嗎？

問題2：當(dāng)∠1和∠2滿足怎樣的關(guān)系時，直線a和直線b平行？

問題3：當(dāng)在圖中繼續(xù)標(biāo)上∠3、∠4（見圖7），它們和∠1又有怎樣的位置關(guān)系？對直線a和b的位置關(guān)系又會形成怎樣的影響呢？

（設(shè)計意圖：課堂小結(jié)是整節(jié)課的重要環(huán)節(jié)，一是帶著學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)習(xí)的知識和技能，二是梳理研究問題中的思想和方法，三是激發(fā)學(xué)生對下節(jié)課所學(xué)知識的興趣。）

四、教學(xué)反思

著名教育家波利亞說，一個專心的認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個有意義的但又不太復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個完整的理論領(lǐng)域。本節(jié)課在探索過程中，借助幾何畫板對同一背景進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，讓學(xué)生在變化中深刻理解同位角的概念，并且發(fā)現(xiàn)當(dāng)同位角滿足特殊的數(shù)量關(guān)系時，可以找到兩直線特殊的位置關(guān)系，讓學(xué)生充分感受數(shù)形結(jié)合的思想和從一般到特殊的研究方法。圖形的運(yùn)動變換、同位角的描紅操作、例題的變式練習(xí)等都在潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀，讓學(xué)生形成一種思維方式、一種思維能力和一種思維品質(zhì)。

作為單元起始課，既要搭建知識架構(gòu)的框架，又要對后續(xù)研究內(nèi)容和研究思路具有統(tǒng)領(lǐng)作用。探索直線平行的條件，要讓學(xué)生深刻感受角的大小變化影響了直線位置關(guān)系的變化。通過同位角相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以采用同樣的方式對內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角進(jìn)行知識遷移，從而感受知識和方法之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)而更好地發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（作者單位：江蘇省常州市新北區(qū)龍虎塘中學(xué)）

編輯：常超波